特殊直角三角形邊角關(guān)系的探索與研究

北京市平谷區(qū)教育研修中心 趙亞雙

一、問題提出的背景

京教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十二章三角形的內(nèi)容包括三角形及其性質(zhì)、全等三角形、等腰三角形與直角三角形、尺規(guī)作圖及軸對稱。其中等腰三角形中介紹了等腰三角形和等邊三角形的定義、性質(zhì)、判定。直角三角形中介紹了“斜邊直角邊”定理和勾股定理。介紹完等腰三角形、等邊三角形和直角三角形后我們在習(xí)題中經(jīng)常會(huì)遇到含有特殊角（30°45°60°角）的直角三角形，因?yàn)榻滩膬?nèi)容的限制，每當(dāng)遇到這樣的三角形時(shí)，總讓我們有隔紗觀景不能盡興的感覺，能不能在直角三角形這一節(jié)中增加一節(jié)課，把兩個(gè)特殊的直角三角形研究透？于是在教學(xué)中我們做了這樣一個(gè)大膽的嘗試，以學(xué)生活動(dòng)為主線設(shè)計(jì)一節(jié)特殊直角三角形的探究課，打開天窗說亮話。

二、本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與能力

1.初步認(rèn)識含有特殊角的直角三角形，了解圖形邊、角各具有哪些關(guān)系。

2.會(huì)根據(jù)已知條件，求解其他邊長。

（二）數(shù)學(xué)思考

借助活動(dòng)手冊，讓學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷特殊直角三角形的三邊關(guān)系的探究過程，培養(yǎng)觀察、分析、抽象、概括的能力。

（三）解決問題

能夠利用已知條件求解其他邊長。

（四）情感態(tài)度

培養(yǎng)積極思考和勇于探索的精神，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

重點(diǎn)：能夠利用已知條件求解其他邊長

難點(diǎn)：推導(dǎo)特殊直角三角形邊、角各具有哪些關(guān)系

三、學(xué)生情況分析

初二的學(xué)生具有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，他們思維活躍，敢于發(fā)表自己的見解，并希望得到別人的認(rèn)可。經(jīng)過初一的平行線和初二三角形部分的學(xué)習(xí)，他們已經(jīng)具備了初步的幾何學(xué)習(xí)能力，善于觀察，能夠獨(dú)立思考一些問題，并具有一定的識圖、分析圖的能力，借助前邊學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識應(yīng)該能夠快速解決本節(jié)課的有關(guān)問題。

四、教學(xué)呈現(xiàn)形式

借助活動(dòng)手冊，教師引導(dǎo)學(xué)生借助手中的一副三角板直觀演示，通過推理和證明得出正確結(jié)論，并應(yīng)用這些結(jié)論解決問題。

活動(dòng)一

觀察你手中的三角板，你對它們了解多少？

活動(dòng)二與

進(jìn)一步探究兩個(gè)三角板

1.在Rt△ABC 中：∠ABC=90°

設(shè)AB=BC=x,由勾股定理，得AC=__

結(jié)論：在Rt△ABC 中，AB=BC，則AB：BC：AC=__

2.在Rt△DEF 中：

∠DEF=90°，∠F=30°，測量DE和DF的長度，猜測DE和DF的數(shù)量關(guān)系：__

你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

結(jié)論：在R t△D E F 中：∠DEF=90°，∠F=30°，

則DE：EF：DF=__

活動(dòng)三與

總結(jié)：兩塊三角板的性質(zhì)

____________________________________角____________________________________邊

活動(dòng)四與

在下列特殊直角三角形中根據(jù)已知邊快速求出另兩邊長。

活動(dòng)五與

1. 如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)∠2=38°時(shí)，∠1=

A.52° B.38°

C.42° D.62°

2. 如圖，等腰直角三角板的頂點(diǎn)A，C分別在直線a，上.若a∥b，∠1=350，則∠1=的度數(shù)為

A.350B.150

C.100D.50

3.將一副三角板按圖中方式疊放，則∠α等于

A. 90° B. 75°

C. 60° D. 45°

4.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為__度.

活動(dòng)六鞏固與提升

1.將一副三角板按圖中方式疊放，則等于__

2.已知：如圖，△ABC 中：AD⊥BC于點(diǎn)D，∠B=45°，∠C=30°若，求BC長。

五、教學(xué)效果及反思

幾何學(xué)習(xí)即要重視基本概念、定理的認(rèn)知，又要重視基本圖形的學(xué)習(xí)，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把“形”放在重要位置上，逐步培養(yǎng)學(xué)生對幾何圖形的識別、組合與分解的能力。這就要求教師必須首先從一些最基礎(chǔ)、最基本、最簡單的幾何基本圖形教學(xué)入手，讓學(xué)生在頭腦中形成各種基礎(chǔ)知識的表象圖形，在復(fù)雜圖形中能夠快速識別基本圖形，應(yīng)用相關(guān)定理去解決實(shí)際問題。含有特殊角（30°45°60°角）的直角三角形是我們在幾何學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會(huì)用到的基本圖形，讓學(xué)生直觀的認(rèn)知，在今后學(xué)習(xí)過程中快速識別和計(jì)算能夠讓幾何學(xué)習(xí)更加輕松。

為了檢驗(yàn)教學(xué)效果我們選定了一所城鄉(xiāng)結(jié)合的普通中學(xué)的一個(gè)普通班進(jìn)行試驗(yàn)，該班共有學(xué)生36人，通過以上一節(jié)課的教學(xué)，班上2/3 的學(xué)生能夠理解課堂內(nèi)容，順利完成課后練習(xí)。一小部分學(xué)生不能順利完成教學(xué)任務(wù)，分析其原因，主要因?yàn)閷Ρ戎店P(guān)系不能理解，計(jì)算困難。教材中相應(yīng)部分沒有設(shè)置，主要考慮初三數(shù)學(xué)（上）部分設(shè)置了三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識也可以解決，到那時(shí)有了前面比例式一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對線段的比使用起來也會(huì)更熟練。通過該次試驗(yàn)，我認(rèn)為在初二年級上半年安排這樣的一節(jié)探究課很有必要，學(xué)生對特殊直角三角形的了解早一些，在后續(xù)學(xué)習(xí)（如初二下四邊形）中繼續(xù)鞏固強(qiáng)化，不僅可以提高計(jì)算速度，還可以加強(qiáng)學(xué)生對基本圖形的認(rèn)識。與后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)并不矛盾，為學(xué)生從特殊到一般搭建了平臺(tái)。在后續(xù)學(xué)習(xí)中我們會(huì)繼續(xù)關(guān)注。