利用隱含條件列方程解題

云南省澄江縣第三中學(xué) 龔紹林

善于抓住數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系，正確列出方程，最后通過解方程完成問題的解答是應(yīng)用方程思想處理數(shù)學(xué)問題的基本要求，這也是九年義務(wù)教育大綱的要求之一。

學(xué)生通過教材例題的學(xué)習(xí)和練習(xí)的模仿性練習(xí)，基本掌握列方程解題的的方法是不成問題的，但對(duì)于相等關(guān)系較為隱蔽，已知量與所求量之間的運(yùn)算關(guān)系相對(duì)復(fù)雜的問題，多數(shù)學(xué)生列方程解題就以難如愿了。

學(xué)生不能順利地通過列方程完成此類問題的解答，原因多種多樣。其中往往忽視隱含條件就列出方程，結(jié)果讓人沮喪，這往往會(huì)造成浪費(fèi)學(xué)生有限的考試時(shí)間，進(jìn)而影響成績(jī)。

本文就初中數(shù)學(xué)利用隱含條件列方程解題進(jìn)行探討。

一、出現(xiàn)“難”的原因

【例1】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)同向出發(fā)，甲經(jīng)過B地后，在經(jīng)過3時(shí)12分在C地追上乙，這時(shí)兩人所走路程的和為36千米，而A、C兩地的距離等于乙走5小時(shí)的路程，求A、B兩地的距離？

易錯(cuò)解法：如圖1

（圖1）

設(shè)A、B兩地路程為x千米，則B、C兩地的路程為（36-x）/2千米，甲的速度為千米/小時(shí)，乙的速度為千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得：

╳5=x+╳3.02

最后出現(xiàn)0=0

從解題過程可以看出:(1)路程=速度╳時(shí)間，方程左右各使用2次，(2)AC=甲速度╳甲走完AC時(shí)間，(3)甲走完AC時(shí)間=乙走完BC時(shí)間，方程兩邊均未使用。所以所列方程處于不確定狀態(tài)，導(dǎo)致出現(xiàn)“0=0”

事實(shí)上，在題目無誤的情況下，列方程解題可重復(fù)使用的相等關(guān)系只能是基本等量關(guān)系，而隱含條件的使用必須做到不重、不漏。

從上面分析可知，解題出現(xiàn)失誤的基本原因就是沒有完全使用題目中的數(shù)量關(guān)系。所列方程只是用含所設(shè)未知數(shù)的兩個(gè)表面不同形式而內(nèi)容完全相同的表達(dá)式作為方程的左邊和右邊，所以結(jié)果肯定會(huì)“0=0”

二、避免出現(xiàn)“難的對(duì)策

從根本上來說，列方程解應(yīng)用題要避免出現(xiàn)“難”的結(jié)果，只需要認(rèn)真審題，找出題目中所有的數(shù)量關(guān)系，并確保列方程時(shí)每一個(gè)數(shù)量關(guān)系的表達(dá)式正確無誤，準(zhǔn)確利用隱含條件，那么列出的方程就能完成問題的解答。

但具體面對(duì)一個(gè)題目，情況千變?nèi)f化，要快速找出全部等量關(guān)系有時(shí)并非易事，因此探求一些具體的方法作為補(bǔ)充，能方便、有效、快速的把握住隱含條件，正確地列出方程。解題時(shí)注意下面幾個(gè)方面。

1.避免重復(fù)使用題目等量關(guān)系列方程

一般而言，列方程解題如果題目所具有的題目等量關(guān)系出現(xiàn)紕漏，是列不出方程的。而要在不使用被遺漏的題目等量關(guān)系的情況下強(qiáng)列方程，必然重復(fù)使用已找出的等量關(guān)系，那結(jié)果可想而知。

因此在列方程時(shí)，應(yīng)注意檢查所列方程是否重復(fù)使用了題目等量關(guān)系，是否遺漏了隱含條件，若非得重復(fù)使用題目等量關(guān)系才能列出方程，得及時(shí)回頭認(rèn)真分析題意，找出被遺漏的隱含條件，在行列方程。

2.注意尋找隱含條件

列方程時(shí)，學(xué)生往往會(huì)忽視隱含條件，所以要認(rèn)真分析題意，借助圖形、圖表等直觀有效的手段找出題目中的隱含條件，是列方程的有效方法。

3.解幾何求值問題時(shí)要注意分清表示等量關(guān)系的同一個(gè)定理用于圖形不同部分的不同題目等量關(guān)系

列方程解幾何求值問題時(shí)，如果圖形中有幾個(gè)部分同時(shí)滿足同一個(gè)定理的條件，那么分別對(duì)這幾個(gè)部分使用同一個(gè)定理則屬于幾個(gè)不同題目的等量關(guān)系。不能誤認(rèn)為幾個(gè)部分使用了同一個(gè)定理就認(rèn)為重復(fù)使用了題目等量關(guān)系

【例2】在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=4，AD、DE分別為BC邊上的中線和高，求DE的長(zhǎng)。

(圖2)

解：(如圖2)設(shè)C E=x，則DE=x-3，BE=x+6，由勾股定理可得

-=-

解得 x=1

∴DE=x+3=3+1=4

本體解法列方程左邊在Rt△ABE中使用勾股定理，右邊在Rt△ACE中使用勾股定理，不屬于重復(fù)使用題目的等量關(guān)系。

4注意弄清常規(guī)應(yīng)用題與可列方程解答的幾何求值問題決定相等關(guān)系的題目背景材料的差異，以尋找相等關(guān)系有的放矢

（1）把握基本等量關(guān)系

常規(guī)應(yīng)用題的基本等量關(guān)系是由題目所涉及的實(shí)際問題決定的，同一類實(shí)際問題的任何題目都具有相同的相等關(guān)系。如行程問題的基本等量關(guān)系是：路程=速度╳時(shí)間，工程問題的基本等量關(guān)系是：工作量=工作效率╳工作時(shí)間，商品銷售問題的基本等量關(guān)系是：利潤(rùn)=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)貨價(jià)╳100%；等等。而在可列方程解答的幾何求值問題中，基本等量關(guān)系是由題目圖形的性質(zhì)決定的。通常是圖形性質(zhì)中反映相等關(guān)系的幾何定理，如三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，切割線定理等。

（2）題目等量關(guān)系

由于題目中的等量關(guān)系可以由題目語句直接給出，幾何題目中還可以由題目圖形給出，及題目語句結(jié)合題目圖形給出。

所以，我們應(yīng)充分尋找題目中的隱含條件，常規(guī)應(yīng)用題結(jié)合題目語句，借助圖形、圖表、文字記錄相等關(guān)系等直觀手段；可列方程解答的結(jié)合求值問題應(yīng)把題目語句與題目圖形二者緊密結(jié)合起來。確定題目的基本等量關(guān)系，找出隱含的數(shù)量關(guān)系。并在此基礎(chǔ)上，抓住可作進(jìn)一步推理的每一條題目信息，通過觀察、比較、分析與綜合、歸納等思維過程，進(jìn)行深層次推理發(fā)掘，找出題目隱含的等量關(guān)系，列出方程，直到列出的方程完成題目的解答為止。

筆者幾年來的教學(xué)實(shí)踐證明，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)進(jìn)而掌握尋找題目中的隱含條件，對(duì)學(xué)生正確列方程解應(yīng)用題是及其有效的。