數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維能力的培養(yǎng)

曾燚清

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力。

關(guān)鍵詞：思維；培養(yǎng)；分類討論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。因此要使學(xué)生盡快地適應(yīng)初中數(shù)學(xué)教材，除必須特別注意學(xué)生良好的學(xué)習(xí)態(tài)度、習(xí)慣與方法外，還必須大力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐步提高他們抽象思維能力。

一、以直覺思維引路，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力

在小學(xué)階段，關(guān)于數(shù)的計(jì)算教學(xué)還停留非負(fù)數(shù)范圍，而進(jìn)入七年級后，就開始滲透負(fù)數(shù)這個(gè)概念了。在教學(xué)中，從具有相反意義的量的客觀存在，明確引進(jìn)負(fù)數(shù)的必要性；從觀察溫度計(jì)上的刻度特別是零度以下的刻度中，理解數(shù)軸上負(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置及相關(guān)坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)。

絕對值是一個(gè)很重要的概念，它是聯(lián)系小學(xué)的計(jì)算與初中代數(shù)運(yùn)算的橋梁。有理數(shù)的運(yùn)算法則基本上是分兩步完成：第一步是先確定結(jié)果的符號，第二步轉(zhuǎn)化絕對值運(yùn)算，最后算出結(jié)果。而學(xué)生一開始也難以理解，一方面講絕對值的代數(shù)意義（分正數(shù)、負(fù)數(shù)與零的絕對值），另一方面，還根據(jù)絕對值的幾何意義，去理解不斷加深說明取絕對值后的結(jié)果非負(fù)性。同時(shí)還結(jié)合實(shí)例逆向思維，不斷加深印象。

例如：|X|=4，求X。根據(jù)“一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)離開原點(diǎn)的距離”這一意義，要求就是求到原點(diǎn)的距離等于4的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)，滿足條件的在原點(diǎn)右邊有一個(gè)，表示+4，在原點(diǎn)左邊有沒有呢？經(jīng)過觀察，學(xué)生判斷也有一個(gè)，表示-4.故所求的值有兩個(gè)，即±4。再進(jìn)一步抽象為當(dāng)|X|=a，（a≧0）時(shí)，X=±a；當(dāng)|3X-2|=b時(shí)，3X-2=±b等；而|2X+5|=-1時(shí)一定無解。

經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，開始滲透用字母表示數(shù)，我們首先說明字母a表示一個(gè)有理數(shù)，而-a一定表示負(fù)數(shù)？對否？一部分同學(xué)認(rèn)為對，因?yàn)樗胸?fù)號。首先我們說明“-a”一定表示負(fù)數(shù)，是不對的。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象出|a|=？，學(xué)生的答案就比較全面了。在學(xué)習(xí)“一元一次不等式”這一章時(shí)，學(xué)生對“不等式的解集”理解不清，首先用特值驗(yàn)證法，得出不等式一系列解，例如：2.08，2.15，1.23，0，-5，-6等等均是不等式X﹤5的解，再分析小于5的個(gè)數(shù)是無數(shù)個(gè)，最后將不等式的所以的解看成一個(gè)集合，就得到不等式的解集的概念，最后把不等式的解集表示在數(shù)軸上。這樣從直觀中來，抽象出概念、法則等，再到直觀中去，不斷加深了對一些概念、法則、原理的理解，逐步提高了學(xué)生的抽象思維的能力。

二、共同探究，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力

分類討論的能力，雖然對初中生要求不高，但初中代數(shù)第一冊中很多地方都體現(xiàn)了分類討論的思維。例如：絕對值的概念，分別就正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對值作了說明。若從絕對值等于它本身與絕對值小于它本身的數(shù)來說明，就只分兩種情形了。例如有理數(shù)的加法法則分三類：一是同號兩數(shù)相加；二是異號兩數(shù)相加；三是一個(gè)數(shù)同零相加，加以概括。這種分類討論說明法則具有條理清楚、系統(tǒng)性強(qiáng)、不易遺漏、便于理解記憶的特點(diǎn)。因此，在教學(xué)過程中，適時(shí)地滲透分類討論的思維，將有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和表達(dá)能力。

例如：|a|=3，|b|=2，求a-b的值。

解：①當(dāng)a=3，b=2時(shí)，a-b=1；②當(dāng)a=3，b=-2時(shí)，a-b=5；③當(dāng)a=-3，b=2時(shí)，a-b=-5；④當(dāng)a=-3，b=-2時(shí)，a-b=-1。

又如：什么樣的數(shù)的倒數(shù)比它本身大？什么樣的數(shù)的倒數(shù)比它的本身??？

分析：±1的倒數(shù)分別等于它本身。0無倒數(shù)，然后再解。

解：①a﹤-1時(shí)，1/a﹥a；②a=-1時(shí)，1/a=a；③-1﹤a﹤0時(shí)，1/a﹤a；④0﹤a﹤1時(shí)，1/a﹥a；⑤a=1時(shí)，1/a=a；⑥a﹥1時(shí)，1/a﹤a。

故①a﹤-1或0﹤a﹤1時(shí)，1/a﹥a；

②-1﹤a﹤0或a﹥1時(shí)，1/a﹤a；

③a=±1時(shí)，1/a=a。

經(jīng)過不斷地滲透，學(xué)生的分類討論的思維能力有所提高，對a不等于零分類大部分學(xué)生知道a﹥0或a﹤0。對于“a-b一定小于a嗎？為什么？”不少學(xué)生也能分b﹥0，b=0與b﹤0三種情形，給出解答。

三、一題多解，開拓學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

例1 師徒兩人共同加工720個(gè)零件，師傅每小時(shí)加工144個(gè)，徒弟每小時(shí)加工96個(gè)，師傅從早上7時(shí)開始加工。徒弟比師傅遲25分鐘開始加工，問：在什么時(shí)間可以完成任務(wù)？

分析：“在什么時(shí)間可以完成任務(wù)”與“用了多少時(shí)間可以完成任務(wù)”這兩種問法的區(qū)別與聯(lián)系。前者指幾時(shí)完成任務(wù)，后者指加工了幾小時(shí)。而師徒兩人加工的時(shí)間不等。若知道其中一人加工的時(shí)間則在幾時(shí)完成任務(wù)也便可知了。反之，若知道在幾時(shí)完成任務(wù)，則師徒分別加工的時(shí)間也可表示出來。其等量關(guān)系是師徒加工的零件個(gè)數(shù)之和等于總?cè)蝿?wù)。故可得出三種解法。

解一，設(shè)在X時(shí)可以完成任務(wù)，則師傅加工的時(shí)間為（X-7）小時(shí)，徒弟加工的時(shí)間為（X-7-5/12）小時(shí)。依題意得：144（X-7）+96（X-7-5/12）=720。解方程，得X=61/6，即10點(diǎn)10分可完成任務(wù)，這是直接解法。

解二，設(shè)到任務(wù)完成時(shí)，師傅加工的時(shí)間為y小時(shí)，則徒弟加工的時(shí)間為（y-5/12）小時(shí)。依題意得：144y+96（y-5/12）=720，（y+7）的結(jié)果便是完成任務(wù)的時(shí)間。

解三，可設(shè)到任務(wù)完成時(shí)，徒弟加工的時(shí)間為Z小時(shí)，列出方程：144（Z+5/12）+96Z=720，（Z+7+5/12）的結(jié)果便是完成任務(wù)的時(shí)間。

當(dāng)然還有類似的變形解法。從略。

例2 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，風(fēng)速為24千米/小時(shí)。順風(fēng)飛行需要17/6小時(shí)，逆風(fēng)飛行需要3小時(shí)，求兩個(gè)城市的距離。首先說明必備知識：（1）飛機(jī)在順風(fēng)的速度=飛機(jī)無風(fēng)時(shí)的速度+風(fēng)速。（2）飛機(jī)在逆風(fēng)中的速度=飛機(jī)在無風(fēng)時(shí)的速度-風(fēng)速。

解1：（直接法）設(shè)兩城市的距離為X千米，依題意，得X/3+24=X/17/6-24解這個(gè)方程：17X+24*51=18X-24*51得X=2448。答：略。

解2：（間接法）設(shè)飛機(jī)在無風(fēng)時(shí)的速度是y千米/小時(shí)依題意，得17/6（y+24）=3（y-24）。

解這個(gè)方程，得y=840，3（y-24）=3（840-24）=2448。答：略。

盡管在數(shù)學(xué)教學(xué)中作了培養(yǎng)學(xué)生思維能力的各種嘗試，但部分學(xué)生的思維能力還不夠理想，故在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷提高學(xué)生思維能力是一項(xiàng)長期而艱巨的任務(wù)，需要我們?nèi)w教師不斷探索不斷加強(qiáng)，才能使學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提高思維能力。

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