基于有限元法的一維光子晶體光學特性分析

李志鵬， 高悅豪， 王震宇， 麻鴻祥， 武校剛

(寧波工程學院 建筑與交通工程學院， 浙江 寧波 315211)

基于有限元法的一維光子晶體光學特性分析

李志鵬， 高悅豪， 王震宇， 麻鴻祥， 武校剛

(寧波工程學院 建筑與交通工程學院， 浙江 寧波 315211)

運用電磁學的里茲變分法， 建立一維光子晶體理論分析的有限元模型. 通過建立的有限元模型， 采用有限元方法對一維光子晶體進行研究. 數(shù)值模擬出完整一維光子晶體的透射譜、 含缺陷層的一維光子晶體TE偏振光和TM偏振光的透射譜以及缺陷層厚度對一維光子晶體的透射特性的影響.

有限元法； 一維光子晶體； 缺陷層； 禁帶

0 引 言

自1987年由S.John和E.Yablonovitch在討論周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)對材料中光傳播行為的影響時分別開創(chuàng)性地獨立提出光子晶體(Photonic Crystals,PC)的概念以來[1,2]， 光子晶體已經(jīng)被越來越廣泛和深入的研究. 所謂光子晶體， 就是介質(zhì)在空間呈現(xiàn)周期性排列形成的人造新型光學材料. 當光在折射率呈周期性變化且與光波長有著相同的數(shù)量級厚度的材料介質(zhì)中傳播時， 某些頻率范圍內(nèi)的光會受到抑制形成光子禁帶[3,4]， 因此， 又可稱為光子帶隙(PBG)材料. 一維光子晶體是由材料的折射率在一個方向上周期性變化形成的， 如果一維光子晶體在某個位置上電介質(zhì)排列的周期性被打破了， 即晶體中出現(xiàn)了缺陷， 即形成一維缺陷光子晶體.

對一維光子晶體的理論研究， 人們大多使用的是特征矩陣法. 本文提出另外一種研究方法， 即有限元方法. 有限元方法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值技術(shù)方法， 用許多子域來代表各個連續(xù)區(qū)域， 在子域中， 未知函數(shù)用帶有位置系數(shù)的簡單插值函數(shù)來表示[5]. 因此， 無限個自由度的原邊值問題轉(zhuǎn)化成了有限個自由度的問題. 然后， 用里茲變分原理或伽遼金方法得到一組方程組， 通過求解方程組得到邊值問題的解.

1 一維光子晶體有限元模型

圖 1 一維光子晶體示意圖Fig.1 Schematic diagram of one-dimensional photonic crystal

一維光子晶體是折射率在一個方向上的周期性排列形成的人工微結(jié)構(gòu)材料. 這種結(jié)構(gòu)在垂直于介質(zhì)層方向上的折射率是空間位置的周期性函數(shù)， 而在平行于介質(zhì)層平面的方向上折射率不隨空間位置而變化. 如圖 1 所示的是一種典型的一維光子晶體， 由介質(zhì)A和介質(zhì)B交替疊層而成. 介質(zhì)A的折射率為na， 幾何厚度為a， 介質(zhì)B的折射率為nb， 幾何厚度為b， 折射率空間變化周期(晶格常數(shù))為d=a+b， 且d的量級為光波長量級.

在一維光子晶體均勻介質(zhì)層中， 電磁場必須滿足亥姆霍茲方程

(1)

滿足亥姆霍茲方程最基本的解是平面電磁波解. 其解

(2)

式中：k是布洛赫矢量. 梯度算子變化的結(jié)果為

該問題可簡化為

(3)

有限元方法首先是區(qū)域離散化. 一維區(qū)域離散化示意圖如圖 2 所示， 因此， 根據(jù)一維光子晶體的結(jié)構(gòu)， 可以將晶體的每一個介質(zhì)層作為一個單元. 如果光子晶體有N個周期， 那么就可以劃分為2N個有限單元， 每個單元的介質(zhì)折射率和幾何厚度交錯相同.

圖 2 一維區(qū)域的有限單元劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of one-dimensional region finite element division

之后是選擇插值函數(shù). 為簡單起見， 我們可以應用線性插值， 因此， 在e個單元內(nèi)， 場值φ(x)可以近似為

式中：ae和be是待定系數(shù). 每一單元內(nèi)均有兩個節(jié)點， 根據(jù)兩個節(jié)點處的值， 可以解出ae和be. 得到

由變分原理推導出式(3)的泛函可寫成

(4)

(5)

(6)

應用局部和全局結(jié)點編碼的關(guān)系， 我們能夠?qū)Ke]擴展成4×4矩陣， 并將{φe}擴展成4×1列向量， {be}擴展成4×1列向量， 則由所有單元相加后得出下列矩陣形式

(7)

式中： [K]是(2N+1)×(2N+1)矩陣， [φ], [b] 是(2N+1)×1列向量， 其中， [b]是與區(qū)域邊界有關(guān)的矩陣. 通過高斯消元法求出各點的φ值， 再通過解后處理可以求得所需要的關(guān)系值. 下面以電場為例， e單元內(nèi)的有效反射系數(shù)為

(8)

(9)

(11)

2 計算結(jié)果舉例

2.1 不含有缺陷層的一維光子晶體

圖 3 垂直入射時不含缺陷層的一維光子晶體透射譜Fig.3 Transmission spectrum of one-dimensional photonic crystal with no defect for normal incidence

由介質(zhì)TiO2和CaF2周期性排列， 構(gòu)成一維光子晶體， 入射層和初涉層均為空氣層. 兩介質(zhì)的折射率分別為n1=2.70(TiO2)， n2=1.32(CaF2)， 各個介質(zhì)層的厚度為光學厚度， 即均為n1d1=n2d2=λ/4， 中心波長為λ0=630nm. 周期數(shù)N=10. 光垂直入射即入射角為0°. 如圖 3 所示.

由圖 3 可以看出， 一維完整光子晶體在波長為518.8～792nm范圍內(nèi)存在禁帶， 在此波長范圍內(nèi)的光被嚴格禁止， 不能在晶體內(nèi)傳播， 而波長在其他范圍內(nèi)的光可以透過.

2.2 含有缺陷層的一維光子晶體

由介質(zhì)TiO2和CaF2周期性排列構(gòu)成一維光子晶體基本單元， 缺陷層介質(zhì)為Si,入射層和出射層均為空氣層. 其中， 兩介質(zhì)的折射率分別為n1=2.70(TiO2)， n2=1.32(CaF2)， 兩介質(zhì)層的厚度為光學厚度， 即均為n1d1=n2d2=λ/4， 缺陷層的折射率為n′=3.3(Si)， 該層厚度為30nm， 中心波長為λ0=630nm， 缺陷層前后均為5個周期. 光的入射角為30°. 結(jié)果如圖 4 所示.

由圖4可以看出， 在相同情形下，TE偏振光和TM偏振光的光學特性有著顯著的不同，TE偏振光的禁帶出現(xiàn)在504.2 ～825.1nm波長范圍內(nèi)， 而TM偏振光的禁帶出現(xiàn)在467.9 ～840.2nm波長范圍內(nèi). 由于引入了缺陷層， 破壞了一維光子晶體的周期性結(jié)構(gòu)， 因而，TE偏振光和TM偏振光在各自的禁帶中均出現(xiàn)了透射峰， 其中，TE偏振光的透射峰出現(xiàn)在波長為572.4nm左右，TM偏振光的透射峰出現(xiàn)在波長為573.9nm左右. 這與矩陣法計算的結(jié)果是完全吻合的.

在以上含有缺陷層一維光子晶體的各個參數(shù)不變的情況下， 改變?nèi)毕輰雍穸确謩e為50nm、 70nm. 為了不受其他參數(shù)變化的影響， 還把光定為30°角入射， 因此， 可以TE偏振模式光為例， 結(jié)果如圖 5 所示.

圖 4 入射角為75°的一維缺陷光子晶體的透射譜Fig.4 Transmission spectrum of one-dimensional photonic crystal with defect for the incident angle 75°

圖 5 含不同缺陷層厚度的一維光子晶體透射譜Fig.5 Transmission spectrum of one-dimensional photonic crystal with different thickness defect layer

由圖4(a)和圖5可以看出， 缺陷層厚度為30nm時， 禁帶內(nèi)的透射峰出現(xiàn)在波長為572.4nm左右； 缺陷層厚度為50nm時， 禁帶內(nèi)的透射峰出現(xiàn)在波長為637.5nm左右； 缺陷層厚度為70nm時， 禁帶內(nèi)的透射峰出現(xiàn)在波長為700.2nm左右. 因此， 隨著缺陷層厚度的增加， 禁帶內(nèi)的缺陷峰引起向著波長增加的方向移動.

3 結(jié) 論

本文詳細推導了一種理論分析一維光子晶體光學特性的方法——有限元法. 通過示例計算討論了一維光子晶體的光學傳輸特性. 本文方法所得結(jié)果與用其他方法如特征矩陣法、FDTD等方法所得結(jié)果完全一致， 表明本文方法對一維光子晶體理論分析的適用性和有效性. 而且， 本文方法更加適用于對二維光子晶體的研究， 將在以后另文發(fā)表.

[1]YablonovitchE.Inhibitedspontaneousemissioninsolid-statephysicsandelectronics[J].Phys.Rev.Lett., 1987, 58： 2059-2062.

[2]JohnS.Stronglocalizationofphotonsincertaindisorder-eddieletricsuperlattice[J].Phys.Rev.Lett., 1987, 58： 2486-2490.

[3]FangYuntuan,ShenTinggen,TanXilin.Studyonone-dimensionalphotoniccrystalwithimpuritydefects[J].ActaOpticaSinica, 2004, 11(24)： 1557-1560.

[4]GuGuochang,LiHongqiang,ChenHongtao,etal.Proper-tiesoflightpropagationin1-Dperiodicdielectricstructure[J].ActaOpticaSinica, 2000, 6(20)： 728-733.

[5] [美]金建銘. 電磁場有限元方法[M]. 陜西： 西安電子科技大學出版社， 2001.

Analysis of Optical Properties of One-Dimensional Photonic Crystals Based on Finite Element Method

LI Zhipeng, GAO Yuehao, WANG Zhenyu, MA Hongxiang, WU Xiaogang

(School of Civil and Transportation Engineering, Ningbo University of Technology, Ningbo 315211, China)

By use of the Ritzvariational method, the finite element theoretical analysismodel of one-dimensional photonic crystal is established. Based on the finite element model, the characteristics of one-dimensional(1D)photonic crystals are analyzed by finite element method. The numerical simulation of the transmission spectrum of one-dimensional complete photonic crystals, the transmission spectrum of TE and TM polarized light for one-dimensional photonic crystals with defect, and the influence of the defect layer thickness on the transmission properties of one-dimensional photonic crystal, are carried out.

finite element method; one-dimensional photonic crystals; defect; band gap

1671-7449(2017)03-0250-04

2016-12-07

浙江省科技創(chuàng)新活動計劃資助項目(2016R424002)

李志鵬(1995-)， 男， 本科， 主要從事光通信技術(shù)研究.

武校剛(1984-)， 男， 講師， 碩士， 主要從事光子晶體及光通信技術(shù)的研究.

O433

A

10.3969/j.issn.1671-7449.2017.03.011