單通道信源數(shù)估計(jì)的改進(jìn)方法

董 志， 胡君朋， 黃芝平

(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

單通道信源數(shù)估計(jì)的改進(jìn)方法

董 志， 胡君朋， 黃芝平

(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

本文對單通道接收信號的源數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了研究， 提出了對現(xiàn)有方法的改進(jìn)措施. 將單通道數(shù)據(jù)通過延遲處理轉(zhuǎn)換為多通道形式， 然后引入陣列信號處理中的信源數(shù)估計(jì)算法， 如蓋氏圓盤估計(jì)法(Gerschgorin’s Disk Estimation, GDE)和最小描述字長法(Minimum Dscription Lengh, MDL). 基于信息理論標(biāo)準(zhǔn)(ITC)的MDL方法在低SNR條件下獲得比GDE更好的性能， 但是它無法處理包含有色噪聲的信號. GDE方法雖然可以克服有色噪聲的影響， 但是其在低SNR下的性能欠佳. 基于上述考慮， 本文對這兩種方法進(jìn)行了改進(jìn). 采用對角加載技術(shù)改善MDL方法的性能， 并引入Jackknife切法優(yōu)化數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣， 以提高GDE方法的性能. 模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明： 本文提出的方法使原有方法的性能得到很大改善.

單通道信號； 信源數(shù)估計(jì)； 自助刀切； 信息論準(zhǔn)則； 蓋氏圓； 最小描述字長(MDL)

0 引 言

單信道源數(shù)估計(jì)(SCSNE)的問題被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域， 例如圖像處理， 光纖通信[1-3]和單信道盲信號分離(SCBSS)等. 近年來， SCBSS被認(rèn)為是一些領(lǐng)域中最具挑戰(zhàn)性的研究課題之一[4-7]. 相關(guān)學(xué)者提出了許多算法來解決SCBSS問題， 例如MUSIC[8]， ESPRIT[9]和ICA[10]. 然而， 大多數(shù)盲源分離(BSS)算法和信號譜估計(jì)方法的性能將隨著源數(shù)目的不準(zhǔn)確估計(jì)而顯著惡化.

對于單通道信號的處理， 一種可接受的方式是擴(kuò)展數(shù)據(jù)維數(shù)并將單通道數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為多通道形式. 目前， 有多種方法來擴(kuò)展數(shù)據(jù)維度， 如過采樣方法[11]， 信號稀疏分解[12]和延遲處理[13]. 其中， 過采樣方法需要數(shù)據(jù)采樣前端的協(xié)作； 稀疏分解方法計(jì)算復(fù)雜度較高， 并且不是所有信號都具有稀疏特性； 延遲過程相對簡單， 復(fù)雜度低， 但它需要較大數(shù)據(jù)量.

在文獻(xiàn)中已經(jīng)出現(xiàn)了許多優(yōu)秀的信源數(shù)估計(jì)算法， 例如基于假設(shè)檢驗(yàn)方法[14,15]， 基于信息理論準(zhǔn)則(ITC)的方法[16]和蓋氏圓估計(jì)(GDE)方法[17]. 基于假設(shè)檢驗(yàn)的方法需要設(shè)置人工閾值， 這在一些條件下不是容易的決定. 基于ITC的方法， 主要由Akaike信息標(biāo)準(zhǔn)(AIC)[16]和最小描述字長(MDL)[18]表示， 建立在信號和噪聲的特征值之間的差異， 計(jì)算復(fù)雜度相對較低， 但是它們不能用于有色噪聲. GDE方法可以處理有色噪聲， 但其性能在低SNR條件下惡化.

本文詳細(xì)介紹了MDL和GDE方法估計(jì)單通道接收信號源數(shù)量的方法. 單通道數(shù)據(jù)通過延遲處理變換為多通道形式. 模擬結(jié)果表明， 當(dāng)接收信號包含有色噪聲時(shí)， MDL方法不能有效地估計(jì)源數(shù). GDE方法在低SNR下的性能較差， 盡管它可以使用有色噪聲進(jìn)行管理. 為了提高這些方法的檢測性能， 引入了用于MDL方法的對角加載技術(shù)， 并且使用自助刀切技術(shù)來優(yōu)化GDE的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣. 仿真結(jié)果表明， 本文提出的方法可以有效地獲得單通道接收信號的源數(shù)， 本文提出的改進(jìn)取得了顯著進(jìn)步.

1 信號模型

多通道接收信號模型可描述如下[29-32]

(1)

在單通道條件下， 在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)只能觀察到一個(gè)數(shù)據(jù). 信號模型變?yōu)?/p>

(2)

式中： X(t)=[x(1),x(2),…,x(m)]表示觀測數(shù)據(jù)； t表示觀測時(shí)間； A=[a1,a2,…,am]是混合矩陣； S(t)=[s1(t),s2(t),…,sm(t)]T是源信號矩陣； 噪聲和信號是獨(dú)立的， 單信道信號的參數(shù)估計(jì)是一個(gè)欠定的問題.

2 多信道的構(gòu)建

單通道接收數(shù)據(jù)是一維矩陣. 為了利用多通道信源數(shù)據(jù)估計(jì)算法， 必須擴(kuò)展數(shù)據(jù)矩陣的維度. 本文使用延遲處理從單通道接收數(shù)據(jù)構(gòu)造多通道數(shù)據(jù)矩陣. 假設(shè)單通道數(shù)據(jù)表示為y(n), n-1,2,…,L， 接收信號可以用延遲處理表示為

(3)

因此， 形成了N通道接收數(shù)據(jù).

(4)

式中： d描述了每個(gè)通道的延遲長度. N是通道的總數(shù)， 不應(yīng)小于信源的數(shù)量.

每個(gè)構(gòu)造的信道的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)通過旨在對接收信道具有更現(xiàn)實(shí)響應(yīng)的濾波器. 將每個(gè)濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)置為

(5)

式中： |H0(ejω0)|表示原型FIR濾波器的振幅頻率響應(yīng). φi(ω)表示每個(gè)通道的相位頻率響應(yīng). 因此， 最終的多通道數(shù)據(jù)矩陣可以表示為

(6)

式中： hi, i=1,2,…,l是每個(gè)通道的濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù). 通過上述過程， 具有1×L接收數(shù)據(jù)的單信道接收信號被變換為具有N×(d+l-1)維度的多信道信號.

3 信源數(shù)估計(jì)算法

3.1MDL方法

假設(shè)噪聲和源信號相互獨(dú)立且無關(guān). 則可以重寫觀測信號的協(xié)方差矩陣為

(7)

式中： RS=E{S(t)ST(t)}是信號協(xié)方差矩陣； σ2I表示噪聲的協(xié)方差矩陣； RX通過特征值分解(EVD)進(jìn)行變換以獲得其特征值

(8)

λi, i=1,…,p是特征值， ui, i=1,…,p是對應(yīng)的特征向量.

由于噪聲和信號是獨(dú)立的， RX的特征值可以被分解為λ1=μ1+σ2,λ2=μ2+σ2,…,λn=μn+σ2,λn+1=λn+2=…=λm=σ2. 理想情況下， 信號的特征值遠(yuǎn)大于噪聲的特征值. 源號等于大于預(yù)設(shè)閾值的特征值的量.

然而， 由于快照的數(shù)量有限和多徑傳播的影響， 噪聲和信號的特征值是混雜的. 需要引入一些標(biāo)準(zhǔn)來精確估計(jì)源的數(shù)量.MDL用于基于最短碼長度的概念來選擇模型， 由Rissanen提出[18,31].MDL的估計(jì)函數(shù)可以表示為.

(9)

(10)

其中

(11)

并且可以通過最小化MDL的函數(shù)來產(chǎn)生源的數(shù)量

(12)

MDL的方法通過信號和噪聲之間的特征值的差來估計(jì)源數(shù). 它的計(jì)算復(fù)雜度相對較低， 但它不能處理帶有色噪聲的信號.

本文引入克服有色噪聲影響的對角加載技術(shù)[33-35]

(13)

式中： λi, i=1,2,…,p是RX的原始特征值； λDL是負(fù)載值； βi是具有對角荷載的最終特征值.

對角加載過程對較大的特征值產(chǎn)生很小的影響， 并且對應(yīng)于噪聲的較小特征值將收斂到接近負(fù)載值. 因此， 通過對角加載過程， 噪聲特征值近似相等， 并且該過程的效果等同于使有色噪聲白化.

負(fù)載值λDL的選擇對這種方法有很大的影響. 小的λDL值對估計(jì)幾乎沒有改進(jìn)， λDL過大可能破壞噪聲和信號之間的特征值的差異.

因此， 負(fù)載值λDL應(yīng)滿足

(14)

式中： λN表示噪聲特征值， λN表示信號特征值. 為了滿足這個(gè)條件， 一個(gè)可行的λDL表示為[33]

(15)

然后， RX的特征值被轉(zhuǎn)換為對角負(fù)載

(16)

3.2GDE方法

對于p×p矩陣， rij是行i和列j的元素. 除了該i元素之外的i行中的其它元素的總和被定義為

(17)

圓盤ith表示復(fù)平面中心rij和半徑Ci的圓.

(18)

Gerschgorin已經(jīng)證明矩陣的特征值包括在磁盤Oi, i=1,…,p的區(qū)域中. 使得R的特征值滿足以下不等式中的至少一個(gè)

(19)

信號協(xié)方差矩陣由EVD表示，

(20)

式中： U是由協(xié)方差矩陣R的特征向量構(gòu)成的p階酉矩陣. U=[u1,u2,…,up]， UUH=I. Λ是p階對角矩陣， 其對角元素是矩陣R的特征值, Λ=diag[λ1,…,λp]. R可以以塊矩陣的形式重寫為

(21)

式中： R1是通過刪除R的最后一行和列而獲得的p-1階次序子矩陣； r是由R的p列中的前面p-1元素構(gòu)成的列向量， 即r=[r1p,…,r(p-1)p]T， R1可以通過EVD轉(zhuǎn)化為

(22)

(23)

然后構(gòu)造一個(gè)p階矩陣Ud.

(24)

(25)

用Ud變換協(xié)方差矩陣R.

依據(jù)上面的方程， 矩陣S的前ρ-1Gerschgorin的圓盤半徑可以寫為

(26)

矩陣的噪聲特征向量與列向量正交， 但是信號特征向量不是正交的， 而是滿秩矩陣， 因此， 可以進(jìn)一步簡化協(xié)方差矩陣.

(27)

Gerschgorin磁盤S分為兩組. 具有非零半徑和較大中心點(diǎn)的屬于實(shí)際信號， 而其它的對應(yīng)于噪聲. 因此，S中的非零Gerschgorin磁盤半徑數(shù)量等于估計(jì)的源數(shù)量. 在實(shí)際應(yīng)用中， 由于快照的數(shù)量有限， 將存在一些偏差， 并且噪聲的盤半徑不總是為零， 于是介紹了GDE方法來確定源的數(shù)量

(28)

式中：D(N)是值在0和1之間的調(diào)整因子.

計(jì)算式(27)從k=1到k=p， 當(dāng)?shù)谝淮稳∝?fù)值時(shí)， 計(jì)算將停止， 估計(jì)的數(shù)量為k=1.

GDE方法通過利用變換的協(xié)方差矩陣半徑的大小來獲得源數(shù). 與基于ITC的方法相比， 它具有在有色噪聲的條件下保持良好行為的優(yōu)點(diǎn).

然而， GDE方法受到其在低SNR下性能差的限制， 采用Jackknife切法技術(shù)優(yōu)化數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣， 可以降低噪聲的影響， 以提高GDE在低SNR下的性能.

Jackknife是統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中使用的有效策略. 它可以充分利用接收的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的檢測和估計(jì)[19]. 對于Jackknife， 通過每次刪除一部分?jǐn)?shù)據(jù)來重構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)， 并且它可以減少估計(jì)器的偏差.

通過延遲處理從單通道數(shù)據(jù)獲得了數(shù)據(jù)矩陣

(29)

Y被視為具有N元素的集合. 隨機(jī)地從Y中選擇M個(gè)元素以形成子集

(30)

(31)

重復(fù)上述處理時(shí)間K次， 獲得一系列協(xié)方差矩陣Rj, j=1,2,…,K. 計(jì)算這些矩陣的平均值

(32)

4 實(shí) 驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果來證明上述每種信源數(shù)估計(jì)方法的性能.

4.1 比較接收信號包含白高斯噪聲時(shí)MDL和GDE的估計(jì)性能

圖 1 具有白噪聲的MDL和GDE的檢測概率Fig.1 Detection probability of MDL and GDE with white noise

假設(shè)單通道接收信號出現(xiàn)在3個(gè)獨(dú)立的源信號， 其在Matlab環(huán)境中構(gòu)建. 觀測數(shù)據(jù)長度設(shè)置為L=5 000， 延遲為d=600. 通過延遲過程， 虛擬通道的數(shù)量M=8. 因此， 單通道數(shù)據(jù)被擴(kuò)展為8×600的數(shù)據(jù)矩陣. 接收信號的SNR從-20dB增加到20dB. 每個(gè)條件的實(shí)驗(yàn)重復(fù)500次. 第一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖 1 所示.

從圖 1 可以推斷，MDL和GDE方法都利用白高斯噪聲實(shí)現(xiàn)了良好的估計(jì)性能. 然而， 由于Gerschgorin磁盤半徑受噪聲影響相對容易，GDE方法的性能略低于MDL在低SNR的性能.

4.2 將MDL和GDE的估計(jì)性能與有色噪聲進(jìn)行比較

本實(shí)驗(yàn)的條件與第一個(gè)相同， 只是白噪聲被有色噪聲替代. 通過500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)， 結(jié)果如圖 2 所示. 結(jié)果表明：MDL的方法已經(jīng)失去了有色噪聲的估計(jì)能力， 但GDE方法仍然可以保持良好的性能.

4.3 比較MDL， 改進(jìn)的MDL，GDE和改進(jìn)的GDE與有色噪聲的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置為與第一和第二實(shí)驗(yàn)條件相同. 圖 3 顯示了這些方法在不同SNR下的檢測概率.

圖 2 帶有彩色噪聲的MDL和GDE的檢測概率Fig.2 Detection probability of MDL and GDE with colored noise

圖 3 具有白噪聲的原始和改進(jìn)方法的檢測概率Fig.3 Detection probability of original and improved methods with white noise

由圖 3 可以得出結(jié)論：boosting使得MDL和GDE方法的性能有很大提高； 改進(jìn)的MDL方法可以消除有色噪聲的影響， 使GDE方法在低SNR下保持更好的性能.

5 結(jié) 論

使用單通道接收數(shù)據(jù)估計(jì)信源數(shù)是一個(gè)具有普遍性和挑戰(zhàn)性的問題. 本文研究了MDL和GDE方法用于解決信源數(shù)估計(jì)問題. 為了有效利用陣列信號處理中的現(xiàn)有算法， 通過延遲處理將單通道接收數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為多維形式，并構(gòu)造數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣.本文引入對角加載技術(shù)來優(yōu)化MDL方法，使其能夠克服有色噪聲的影響.同時(shí)，采用自助刀切技術(shù)來提高GDE方法在低SNR條件下的性能. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明： 本文所做的改進(jìn)使得MDL方法可以克服有色噪聲的影響， 改進(jìn)后的GDE方法獲得比原始方法更好的性能.

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Improvement of Source Number Estimation Method for Single Channel Signal

DONG Zhi, HU Junpeng, HUANG Zhiping

(School of Mechatronitics and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Source number estimation methods for single channel

signal are studied and the improvement for each method is proposed in this paper. The singlechannel datais converted to multi-channel form by delay process. Then the algorithms used in the array signal processing, such as Gerschgorin’s disk estimation (GDE) and minimum description length (MDL), are introduced to estimate the source number contained within the received signal. The MDL method, which is based on information theoretic criteria (ITC), obtains a better performance than GDE at lowSNRcondition, but it has no ability to handle the signals that contained with colored noise, while the GDE method can overcome the influence of colored noise. But its performance at lowSNRhas been less than satisfactory. Based on the above consideration, this paper makes improvement on these two methods. A diagonal loading technique is employed to ameliorate the MDL method and a jackknife technique is introduced to optimize the data covariance matrix to improve the performance of GDE method. The results of simulation experiment show that the boosting we put forward makes the performance of original methods get improvement largely.

singlechannel; source number estimation; jackknife; information theoretic criteria (ITC); Gerschgorin’s disk estimation (GDE); minimum description length (MDL)

1671-7449(2017)03-0227-08

2016-11-17

董 志(1979-)， 男， 講師， 博士， 主要從事網(wǎng)電空間測控研究.

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1671-7449.2017.03.008