特征函數(shù)在概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

陳曉

摘 要 在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中，經(jīng)常求獨(dú)立隨機(jī)變量和分布的問(wèn)題，分布函數(shù)發(fā)較為繁瑣，是處理這些問(wèn)題的有力工具是特征函數(shù)，它能把尋求獨(dú)立隨機(jī)變量和分布運(yùn)算轉(zhuǎn)換成乘法運(yùn)算，本文闡述了特征函數(shù)的基本概念以及特征函數(shù)的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 特征函數(shù) 獨(dú)立性 指數(shù)分布 卡方分布

1特征函數(shù)的定義

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱， 為的特征函數(shù)。因?yàn)椋钥偸谴嬖诘?，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的。特征函數(shù)只依賴于隨機(jī)變量的分布，分布相同則特征函數(shù)也相同，所以常稱為某分布的特征函數(shù)。

2特征函數(shù)的應(yīng)用

2.1指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差

已知隨機(jī)變量服從參數(shù)的指數(shù)分布，隨機(jī)變量的特征函數(shù)，，由此可得 ， 。

用特征函數(shù)求指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差， 要比從定義計(jì)算反常積分簡(jiǎn)便不少。

2.2 利用特征函數(shù)方法證明泊松定理

證：設(shè)隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，又，所以

而是參數(shù)為的泊松分布的特征函數(shù)，又有特征函數(shù)的唯一性可知結(jié)論成立。

2.3在求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布上的應(yīng)用

設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)（0，1）分布的正態(tài)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量由于，根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可得相應(yīng)隨機(jī)變量的特征函數(shù)為

。

由特征函數(shù)的性質(zhì)可得隨機(jī)變量的特征函數(shù)為。

有概率論知識(shí)可知這是的特征函數(shù)可以看出卡方分布是伽馬分布的特例，通過(guò)特征函數(shù)的算法結(jié)果更直觀，也更能揭示本質(zhì)。同樣地，我們可以按照以上推導(dǎo)方法，可以得到正態(tài)分布二項(xiàng)分布，泊松分布和伽馬分布也具有可加性，利用特征函數(shù)就要方便得多，而且對(duì)多個(gè)隨機(jī)變量的和可直接討論。

2.4證明分布函數(shù)的弱收斂性

設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為€%Z，€%d的伽馬分布，當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量按分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 即 .

證：設(shè)的特征函數(shù)為，兩邊取對(duì)數(shù)，，并將展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式，

所以 ，而正是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的唯一性可得：。

在求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布上的應(yīng)用，利用獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)為特征函數(shù)的乘積性質(zhì)的推廣，往往能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。

參考文獻(xiàn)

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