不一樣的計(jì)算

張宏偉

[摘 要]以獨(dú)特的視角發(fā)掘了乘法筆算與空間圖形的新聯(lián)系，開(kāi)發(fā)了另辟蹊徑的“形算結(jié)合的課程”，由“指算、畫(huà)線算、方格算、十字相乘法和‘鋪地錦”五個(gè)項(xiàng)目課程的研究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了用“形”來(lái)表達(dá)算理和算法，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”在筆算乘法中的有效整合，開(kāi)闊了學(xué)生的視野，改變了學(xué)生對(duì)計(jì)算的觀念和情感，讓學(xué)生感受到計(jì)算也可以很形象、很好玩、很美麗、很優(yōu)雅。

[關(guān)鍵詞]兩位數(shù)乘兩位數(shù)；形算結(jié)合；指算；畫(huà)線算；方格算；十字相乘法；鋪地錦

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）17-0006-03

一、緣起

去年四月底，青島城陽(yáng)實(shí)驗(yàn)小學(xué)邀請(qǐng)我去上一堂高年級(jí)的研討課，負(fù)責(zé)人詢問(wèn)我：“要上一節(jié)什么課？需要學(xué)校做哪些準(zhǔn)備？”我回復(fù)：“看看學(xué)生想上什么課吧?！辈⒄?qǐng)他們代我對(duì)四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查：

“有位北京的老師來(lái)和你們一起上一節(jié)數(shù)學(xué)課，請(qǐng)選出你想上的內(nèi)容：A.應(yīng)用題；B.圖形、位置與方向；C.統(tǒng)計(jì)；D.計(jì)算；E.量的計(jì)量；F.數(shù)的認(rèn)識(shí)。”

四（6）班42名學(xué)生，選擇計(jì)算的僅1人。于是，我決定上一節(jié)計(jì)算課，以期改善學(xué)生對(duì)計(jì)算的認(rèn)識(shí)。

二、課堂

1.回應(yīng)調(diào)查

我出示調(diào)查單：“同學(xué)們，我們班只有1人選了計(jì)算課。為什么那么多同學(xué)都不喜歡計(jì)算？”

學(xué)生的意見(jiàn)：“計(jì)算很枯燥?！薄昂軟](méi)意思。”“不小心就出錯(cuò)?！薄熬褪侵貜?fù)地算算算，無(wú)聊死了?！薄疤焯於家悖軣┑?。”……

“聽(tīng)你們這么一說(shuō)，計(jì)算真是不太討人喜歡呢。唯一喜歡計(jì)算的同學(xué)是哪位？請(qǐng)你談?wù)勏矚g的理由。”

這個(gè)學(xué)生還沒(méi)站起來(lái)，就有人說(shuō)道：“他就計(jì)算好，別的都不行。”

我說(shuō)：“能先讓他談?wù)勛约旱南敕▎?？?/p>

但是，那個(gè)學(xué)生再也不愿意說(shuō)了。

我鼓勵(lì)他：“計(jì)算是數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)，計(jì)算好，其他內(nèi)容你一定也能學(xué)好。”（我沖著那個(gè)學(xué)生豎起大拇指，但是看得出，其他同學(xué)并不認(rèn)同）

“計(jì)算不是你們認(rèn)為的這個(gè)樣子，它其實(shí)是非常奇妙、非常有意思的。只是你們不讀書(shū)，不研究，不知道，才這樣認(rèn)為的。信嗎？”

沒(méi)想到全班學(xué)生竟異口同聲拉著長(zhǎng)音答道：“信——”我知道他們口是心非，只不過(guò)是習(xí)慣使然，配合我罷了。

2.“袖里乾坤”——指算

“我們先來(lái)做個(gè)游戲，你們隨便說(shuō)一個(gè)個(gè)位大于十位的兩位數(shù)。”（我把六七個(gè)學(xué)生說(shuō)的兩位數(shù)，都寫(xiě)在黑板的一側(cè)）

“把這些數(shù)乘9。不用口算，不用筆算，不用計(jì)算器，我也能算出來(lái)，你猜我會(huì)怎樣算？”

學(xué)生一臉懷疑和茫然。

“我用手指頭就能算，信嗎？”

學(xué)生：“信！”（他們很驚奇，但確是真相信。）

“初次見(jiàn)面，就對(duì)我這么相信！真感動(dòng)！”

“請(qǐng)全體起立，我們一起‘指算27乘9！”

“雙掌并列；個(gè)位是7，就從左起，彎下第七指；十位是2，就從左起數(shù)出兩根手指捏在一起。最后，這樣看結(jié)果：幾根手指捏在一起就是幾百；百和彎下的那指之間有幾根手指，就是幾十；最右側(cè)剩下幾指就是幾。因此從手上就可以看出27×9=243?！保▓D略）

學(xué)生立刻自發(fā)地用筆算或口算的方法進(jìn)行驗(yàn)證，看到得數(shù)確實(shí)是243后，都露出難以置信的驚奇表情，要求我再講講怎么彎指計(jì)算，于是我?guī)е鴮W(xué)生又一起指算了69×9（圖略）。

學(xué)生又陸續(xù)算了幾個(gè)，盡皆正確，他們無(wú)不欣喜若狂，嘖嘖稱(chēng)奇：“手竟然是天生的乘法計(jì)算器?！?/p>

忽然有個(gè)學(xué)生喊出來(lái)：“ 53×9算不出來(lái)?！?/p>

“是的，只能是個(gè)位比十位大的兩位數(shù)?！?/p>

“不乘9，乘其他數(shù)可以嗎？”有學(xué)生問(wèn)道。

“你試試?！?/p>

學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)做不到，有些遺憾和失望。

我說(shuō)：“別急，古代有很多手指算法，因?yàn)楣糯滦浜荛L(zhǎng)，一般都是手不出袖，悄悄計(jì)算，所以將這種指算稱(chēng)為‘袖里乾坤。你們回去可以上網(wǎng)查查，很好玩的。我這里還有一種對(duì)任何乘法計(jì)算都能用的奇妙方法，想不想試試？”

學(xué)生毫不懷疑，興奮地說(shuō)：“好！好！好！”

3.“穿針引線”——畫(huà)線算

“這個(gè)奇妙的方法叫畫(huà)線算，有知道的嗎？”（學(xué)生皆搖頭）

“那請(qǐng)同學(xué)們先出個(gè)題?！?/p>

我以32×12為例，和學(xué)生一起操作：

先畫(huà)線來(lái)表示32（左邊畫(huà)三條線表示十位的3，右邊畫(huà)兩條線表示個(gè)位的2）。如果你手里有足夠的小棒或者筆，也可以用它們代替線，用手?jǐn)[一擺。（個(gè)別學(xué)生選擇了擺）（如圖1）

再畫(huà)12，和剛才方向相反，十位和十位對(duì)應(yīng)，個(gè)位和個(gè)位對(duì)應(yīng)，覆蓋在剛才畫(huà)的線的上面。（如圖2）

然后，把所有的交點(diǎn)按照各自的位置分成三個(gè)區(qū)域。（如圖3）

最后把從左到右三個(gè)區(qū)域的點(diǎn)依次寫(xiě)下來(lái)，即3、8、4，積就是384。（如圖4）

學(xué)生用筆算驗(yàn)證后，非常吃驚，紛紛試著計(jì)算剛才自己提出的乘法算式。這樣，在試算中就解決了“每個(gè)分區(qū)的點(diǎn)數(shù)滿幾十就向前一個(gè)區(qū)域進(jìn)幾”的問(wèn)題。幸福、喜愛(ài)、興奮寫(xiě)在學(xué)生臉上。

4.“圈地運(yùn)動(dòng)”——方格算

我說(shuō)：“我這里還有一種計(jì)算方法呢！我稱(chēng)它為‘圈地運(yùn)動(dòng)，也叫方格算，想不想試一試？”

這時(shí)的學(xué)生個(gè)個(gè)都充滿了激情，摩拳擦掌，準(zhǔn)備嘗試。

我先讓他們從方格中圈出32乘12，然后試著將這些方格劃分成幾個(gè)能很快口算出結(jié)果的區(qū)域，最后用算式表達(dá)自己的操作過(guò)程，分享自己計(jì)算經(jīng)過(guò)和思路。學(xué)生研究的結(jié)果，不僅出現(xiàn)了圖5所示的兩種情況，還出現(xiàn)了諸如：10×10+10×10+10×10+30×2+2×2+10×2的情況，可謂“百家爭(zhēng)鳴，異彩紛呈”。

我引導(dǎo)學(xué)生把算式和圖形進(jìn)行比較，讓學(xué)生感悟數(shù)形之間的內(nèi)在聯(lián)系：“32是我們?nèi)Φ倪@塊地的什么？12是這塊地的什么？384又是這塊地的什么？”

因?yàn)樗哪昙?jí)學(xué)過(guò)面積計(jì)算，學(xué)生即刻就想到了長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)×寬=面積。

5.“團(tuán)結(jié)互助”——十字相乘法

我讓學(xué)生觀察因數(shù)和積的關(guān)系（如圖6）后，研究如何用因數(shù)的4個(gè)數(shù)字計(jì)算出3、4和8。有了方格算的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了其運(yùn)算規(guī)律（如圖7）。

此時(shí)，學(xué)生都自覺(jué)舉例驗(yàn)證，并在試用中解決了十字相乘中的進(jìn)位問(wèn)題。

最后，我引導(dǎo)學(xué)生把十字相乘法和畫(huà)線算法進(jìn)行比較（如圖8），學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)的一致性，感受到計(jì)算的和諧、一致與美麗。

三、余音

“同學(xué)們，時(shí)間過(guò)得真快，馬上就要下課了，我們就要告別了，我想了解一下，現(xiàn)你對(duì)計(jì)算有什么看法？”

“沒(méi)想到計(jì)算還有這么多方法！”

“計(jì)算原來(lái)也很有意思?！?/p>

“這樣比光算好玩多了?！?/p>

“我喜歡這樣計(jì)算?！薄拔议_(kāi)始喜歡計(jì)算了。”

……

我自豪地問(wèn)：“怎么樣，張老師聰明吧？”

學(xué)生無(wú)限欽佩地表示：“聰明！”并自發(fā)地給我鼓起了掌！

“錯(cuò)了，張老師一點(diǎn)都不比你們聰明，張老師只是比你們多看了一點(diǎn)關(guān)于計(jì)算的書(shū)，多上網(wǎng)查了資料而已。只要平時(shí)多閱讀有關(guān)計(jì)算的書(shū)籍，多做些計(jì)算的研究，你們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，計(jì)算并不是原來(lái)認(rèn)為的樣子，它一點(diǎn)都不枯燥，而是很好玩、很有趣、很美妙。”

“最后，我推薦一本書(shū)，書(shū)的名字叫《算得快》，作者劉后一，推薦的理由是：讓你的計(jì)算超過(guò)計(jì)算機(jī)！”

“另外，我還打印了介紹‘格子算法的資料（見(jiàn)附件）。格子算法與方格算法名字相近，但絕對(duì)不同。資料里詳細(xì)介紹了格子算法的操作流程，請(qǐng)你課后仔細(xì)研究，研究出來(lái)后，教教你的父母和附近的伙伴。你們也可以登錄這個(gè)網(wǎng)站看有關(guān)視頻：http：//v.ku6.com/show/DywgC8YQZf9GSED_.html。”

四、續(xù)貂

兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，傳統(tǒng)的課程編排一般不會(huì)突破“數(shù)與代數(shù)的領(lǐng)域”，只在“計(jì)數(shù)單位的累積，以及數(shù)與數(shù)的關(guān)系”上進(jìn)行運(yùn)作，并依此對(duì)算理進(jìn)行理解和闡釋?zhuān)瑢?duì)算法進(jìn)行規(guī)范和演繹。我在研究本部分內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)了乘法筆算與空間圖形的新聯(lián)系，開(kāi)發(fā)了另辟蹊徑的“形算課程”，引入了指算、畫(huà)線算、方格算、十字相乘法和鋪地錦，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“形”來(lái)表達(dá)算理和算法，打通了“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了這兩個(gè)區(qū)域在筆算乘法中的有效整合，為學(xué)生打開(kāi)了計(jì)算的另外幾扇窗，改變了學(xué)生對(duì)計(jì)算的陳舊認(rèn)識(shí)，開(kāi)闊了學(xué)生的視野，讓學(xué)生感受到計(jì)算也可以很形象、很好玩、很美麗。