基于多目標(biāo)模擬退火算法的微管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化

李 鵬，劉 遠(yuǎn)，黃金勇

（華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌330013）

基于多目標(biāo)模擬退火算法的微管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化

李 鵬，劉 遠(yuǎn)，黃金勇

（華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌330013）

針對損傷自修復(fù)中微膠囊（或空心玻纖）載體在結(jié)構(gòu)上相互獨立、互不貫通等不足，研究基于多目標(biāo)模擬退火算法（multiobject simulated annealing，MOSA），對微管網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，旨在設(shè)計一種具有低體積份數(shù)和高流動效率的，具有相互貫通結(jié)構(gòu)特點的微管網(wǎng)載體。首先建立微管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型；其次采用哈迪克羅斯迭代法設(shè)計了多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，并結(jié)合非劣分層和MOSA算法對微管網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行研究；最后與非劣分層遺傳算法（non-dominated sort genetic algorithm II，NSGA-II）進(jìn)行對比研究，驗證了MOSA的優(yōu)化性能。研究結(jié)果表明：微管網(wǎng)的體積份數(shù)和沿程水頭損失呈負(fù)相關(guān)性；與NSGA-II相比，MOSA的收斂時長略長，但MOSA解集的支配度及分布均勻程度均優(yōu)于NSGA-II。

微管網(wǎng)；多目標(biāo)優(yōu)化；模擬退火；非劣分層；哈迪克羅斯迭代

復(fù)合材料因質(zhì)輕、耐磨及易加工等特點，已在航空航天、汽車、電子和建筑等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，作為一種由多種異質(zhì)/異形組元材料復(fù)合而成的新材料，其力學(xué)性能分散性較大，致使材料在生產(chǎn)和服役中易產(chǎn)生各類損傷，尤其是微裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展將引起材料力學(xué)性能的劣化，導(dǎo)致構(gòu)件過早失效。目前，復(fù)合材料的損傷修復(fù)問題已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)失效與安全服役科學(xué)中的關(guān)鍵問題之一[1]。

上世紀(jì)80年代，美國軍方首先提出了復(fù)合材料自修復(fù)的概念，其基本原理是將內(nèi)置有修復(fù)劑的載體埋入材料內(nèi)部，當(dāng)材料受損產(chǎn)生裂紋時誘發(fā)載體破裂，釋放修復(fù)劑，實現(xiàn)材料的自修復(fù)[2]。此后，美國伊利諾伊大學(xué)Carolyn Dry研究了基于空心玻纖載體的自修復(fù)體系[3]；White、Sottos和Moore等對基于微膠囊載體的自修復(fù)體系開展了大量研究，并論證了該方法的可行性[4-5]；Bond等對自修復(fù)載體的性能進(jìn)行了研究[6]。在國內(nèi)，哈爾濱工業(yè)大學(xué)的王榮國[7]和中山大學(xué)的章明秋[8-9]等先后也開展了基于微膠囊（或空心玻纖）載體的自修復(fù)研究；此外，本文作者也就空心玻纖載體與材料的兼容性等內(nèi)容開展了研究[10]。

然而，目前自修復(fù)研究中普遍采用微膠囊和空心玻纖作為修復(fù)劑載體，由于載體彼此間互不貫通，限制了材料的損傷自修復(fù)效果（如，多次修復(fù)，修復(fù)劑更換等）。因此，研究旨在設(shè)計一種具有相互貫通結(jié)構(gòu)特點的微管網(wǎng)載體，為保證載體與材料的兼容性和修復(fù)劑的流動效率，研究基于哈迪克羅斯迭代設(shè)計了多目標(biāo)函數(shù)，并結(jié)合非劣分層和多目標(biāo)模擬退火（multi-object simulated annealing，MOSA）算法，對微管網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，獲得了理想的結(jié)果。

1 微管網(wǎng)優(yōu)化模型及目標(biāo)函數(shù)

1.1 優(yōu)化模型

研究以3×3正交微管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為對象，該管網(wǎng)由長度l為20 mm的24根管道構(gòu)成9個閉環(huán)回路，各管道的內(nèi)徑取值為決策空間，管道編號如圖1所示，其中復(fù)合材料的幾何尺寸為100 mm×100 mm×4 mm，S/T分別表示修復(fù)劑入/出口[11]。

圖1 正交微管網(wǎng)模型Fig.1 Orthogonal network model

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

作為損傷自修復(fù)載體，埋入材料內(nèi)部的微管網(wǎng)要在不損壞材料初始性能的前提下，保證管道中的修復(fù)劑具有較小的沿程水頭損失（即具有良好的流動效率）。因此，微管網(wǎng)的拓?fù)鋬?yōu)化屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題，即

式中：φv為體積份數(shù)；φf為沿程水頭損失；D為管道內(nèi)徑的解向量；dk為第k根管道的內(nèi)徑。

1）體積份數(shù)φv。微管網(wǎng)占復(fù)合材料的體積份數(shù)φv可表示為

式中：k為管道編號；l為管道長度；dk為第k根管道的內(nèi)徑；p為管道壁厚；V為復(fù)合材料體積。

2）沿程水頭損失φf。修復(fù)劑流經(jīng)管道的沿程水頭損失表示了驅(qū)動修復(fù)劑流動所需能量的大小，為保證修復(fù)劑的流動效率，研究以全部管道的沿程水頭損失之和作為目標(biāo)函數(shù)：

式中：U為阻力因數(shù)；n和m為修復(fù)劑材料系數(shù)；Qk為第k根管道的流量，在忽略各環(huán)路之間相互影響的前提下，采用哈迪克羅斯（Hardy Cross）迭代方法獲取各管道的流量Qk[12]。

1.3 非支配解

微管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化的多目標(biāo)函數(shù) （即體積份數(shù)φv和沿程水頭損失φf）屬于非一致性優(yōu)化目標(biāo)，即隨著體積份數(shù)下降，沿程水頭損失將呈現(xiàn)上升趨勢。因此，期望獲得解空間的最優(yōu)解是困難的，研究采用非劣分層方法，獲取對多目標(biāo)函數(shù)均有效的非支配解，即對于一個解集中任意解D1，該解集不存在解D2可同時滿足① φf（D2）≤φf（D1），且 φv（D2）≤φv（D1）；② φf（D2）≤φf（D1）或 φv（D2）≤φv（D1），則該解集即為非支配解集，其中的解D1為非劣解。

圖2 MOSA算法流程圖Fig.2 The flow chart of MOSA

2 多目標(biāo)模擬退火算法

多目標(biāo)模擬退火源于對熱力學(xué)中退火過程的模擬，是基于模擬退火 （simulated annealing，SA）算法，針對多目標(biāo)優(yōu)化的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法。MOSA在搜索過程中結(jié)合逐漸趁于零且隨時間變化的概率突跳，實現(xiàn)了全局尋優(yōu)。MOSA算法包括初始解的生成、鄰域解的構(gòu)造和新解的產(chǎn)生等過程，如圖2所示。

2.1 初始解集的生成

以 24根管道的內(nèi)徑構(gòu)成解向量Di，j={dki，j}，j∈（1，2，…，800），k=1，2，…，24，其中i為迭代次數(shù)，j為當(dāng)前解中解的編號，k為管道編號。研究中采用隨機(jī)的方式產(chǎn)生規(guī)模為800的初始解集D0。

2.2 鄰域解集的構(gòu)造

2.3 新解集的產(chǎn)生及接受

新解集Di+1通過對鄰域解中支配解與非支配解進(jìn)行不同處理而獲得，由以下兩部分組成：

（2）第二部分。對于鄰域解中非支配解根據(jù)式（4）計算其內(nèi)能增量△E：

式中：T和T′分別為本次和上次迭代的溫度值；λ為衰減因子。當(dāng)內(nèi)部循環(huán)次數(shù)達(dá)到鏈長L時，執(zhí)行降溫T=λT′。優(yōu)化中，溫度初值T0=240，衰減因子λ=0.99，鏈長L=10。

2.4 終止條件

優(yōu)化迭代的終止條件主要由退火溫度來控制，當(dāng)溫度達(dá)到精度要求時迭代終止。

圖3 鄰域解構(gòu)造示意圖Fig.3 Schematic diagram of constructing neighborhood

3 優(yōu)化結(jié)果及分析

3.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

通過MOSA算法對自修復(fù)微管網(wǎng)載體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，并獲得了其迭代過程及最終非支配解，如圖4和圖5所示。

圖4 MOSA迭代過程Fig.4 The iterative process of MOSA

圖5 MOSA和NSGA-II非支配解Fig.5 Non-dominated solution of MOSA and NSGA-II

圖4中由下到上分別為MOSA第100，200，400，600，800，1 000次和1 233次迭代中的非支配解，結(jié)果表明：

1）最終收斂迭代次數(shù)為1 233；

2）隨著迭代次數(shù)增加，非劣解個數(shù)由64增至190；

3）各次迭代所獲得的非支配解，其體積份數(shù)與沿程水頭損失均呈負(fù)相關(guān)性。

圖5給出了第1 233次迭代的第一層190個非支配解，取非支配解（a），（b）和（c）進(jìn)行分析，其對應(yīng)的管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6（a），（b）和（c）分別對應(yīng)于圖5中（a），（b）和（c）處的非支配解，線條的粗細(xì)代表管徑的大小，管道下方和左方為對應(yīng)管道的直徑，單位為mm。體積份數(shù)依次為2.73%，2.88%和3.25%的3個非支配解，其相應(yīng)的沿程水頭損失分別為2.810 6×10-6，1.601 0×10-6，7.769 0×10-6m。管網(wǎng)中內(nèi)徑較大的管道一般先從入口方向開始，并逐步向出口方向延伸，形成的大直徑通道對管道中的流體起到一定的疏導(dǎo)作用，降低水頭損失。

圖6 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Topology structure of optimization resuits

3.2 MOSA算法性能分析

為驗證MOSA的優(yōu)化性能，在相同條件下，將多目標(biāo)退火算法與非劣分層遺傳算法（non-dominated sorting genetic algorithm II，NSGA-II）進(jìn)行了對比研究[13-14]，主要包括：① 兩種算法之間非支配解的支配關(guān)系，即解的優(yōu)劣；②非支配解分布的均勻程度；③ 非支配解的收斂性。

3.2.1 非支配解的支配關(guān)系

不同解集之間的支配關(guān)系是評價解集優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)，首先采用兩種算法分別獲得了非支配解（如圖6所示），其次，對兩個解集進(jìn)行非劣分層分析，并通過分析非支配解中，MOSA和NSGA-II解集所占的比例（PSA和PGA），實現(xiàn)兩個解集整體的優(yōu)劣程度的判斷，對比結(jié)果表明，MOSA和NSGA-II的非支配解共有252個，其中MOSA解集190個均為非支配解，NSGA-II解集62個為非支配解，占比分別為：PSA=75.4%，PGA=24.6%，顯然，采用MOSA算法獲得的解集顯著優(yōu)于后者。

3.2.2 非支配解分布的均勻程度

非支配解分布的均勻程度表征了解集的多樣性（即非劣解的選擇空間）。采用平均距離對非劣解的均勻程度進(jìn)行評價，計算公式如下：

式中：φl為第l個目標(biāo)函數(shù)；n為非支配解的規(guī)模。平均距離越短，表明非劣解分布越均勻。結(jié)果表明：① 以φv進(jìn)行評價，MOSA和NSGA-II的分布均勻程度為0.001 2和0.001 3，MOSA提高了8.3%；②以φf進(jìn)行評價，MOSA和NSGA-II的分布均勻程度分別為3.102 7×10-9和 5.188 3×10-9，MOSA提高了65.3%。

3.2.3 非支配解的收斂性

圖7中由下到上分別為NSGA-II第1 000，2 000，4 000，6 000，8 000，1 000次和12 000次迭代中獲得的非支配解，圖中X、Y軸分別為目標(biāo)函數(shù)φv、φf，Z軸為迭代次數(shù)。由于MOSA存在著內(nèi)部循環(huán)，其時間復(fù)雜高于NSGA-II，因此NSGA-II的迭代次數(shù)設(shè)置為12 000。非支配解個數(shù)均達(dá)到解集規(guī)模設(shè)定值800。MOSA和NSGAII的收斂時長分別為19 985 s和18 674 s，NSGA-II略優(yōu)于MOSA。

圖7 NSGA-II迭代過程Fig.7 The iterative process of NSGA-II

4 結(jié)束語

針對損傷自修復(fù)中微管網(wǎng)載體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，研究基于哈迪克羅斯迭代法，設(shè)計了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用MOSA算法并結(jié)合非劣分層方法，研究了一種多目標(biāo)微管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。

1）采用哈迪克羅斯迭代法，修正了微管網(wǎng)中各管道的流量，獲得了表征微管網(wǎng)流動效率的沿程水頭損失，并以其作為目標(biāo)函數(shù)之一；

2）結(jié)合MOSA和非劣分層方法，對微管網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，經(jīng)1 233次迭代后，共獲得190個非支配解，結(jié)果表明：體積份數(shù)與沿程水頭損失呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且管網(wǎng)中內(nèi)徑較大的管道主要沿入口方向，并逐步向出口方向延伸；

3）通過與NSGA-II的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明：在NSGA-II的收斂時長略優(yōu)于MOSA的情況下，MOSA的優(yōu)化結(jié)果支配度75.4%優(yōu)于NSGA-II的24.6%；以φv和φf進(jìn)行解集分布均勻程度評價，MOSA分別提高了8.3%和65.3%。

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Topology Optimization of Micro-vascular Network Based on Multi-objective Simulated Annealing Algorithms

Li Peng，Liu Yuan，Huang Jinyong
（School of Mechanotronics&Vehicle Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

In the self-healing research,the microcapsule（or the hollow glass giber）is served as the carrier of self-healing agent.However,this carrier has some deficiencies such as being independent and uncorrelated with each other.In this paper,a novel carrier of micro-vascular network based on multi-objective simulated annealing(MOSA)algorithms was studied and topology of micro-vascular network was optimized to design a carrier with low volume fraction,high flow efficiency and inter-connective structure.Firstly,the mathematical model was established.Secondly,the multi-objective optimization function was designed by iteration of Hardy Cross.And then the topology of micro-vascular by MOSA algorithms combined with non-dominated sorting was studied.Finally,the superiority of MOSA was verified compared with non-dominated sort genetic algorithm (NSGA-II)algorithms.The results show that volume fraction and flow efficiency of micro-vascular network are negatively correlated.The convergence time of NSGA-II is slightly better than NSGA-II,but the degree of dominant and uniformity of MOSA are significantly better than that of NSGA-II.

micro-vascular network；multi-objective optimization；simulated annealing；non-dominated sorting; iteration of Hardy Cross

TB381

A

1005-0523（2017）03-0125-06

（責(zé)任編輯 劉棉玲）

2016－12－16

國家自然科學(xué)基金項目（51365012）；研究生創(chuàng)新專項資金項目（YC2015-S237）

李鵬(1976—)，男，副教授，博士，研究方向為智能結(jié)構(gòu)，優(yōu)化算法。