巧賦妙解二項(xiàng)式定理問題

■江蘇省儀征市南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 何曉勤

巧賦妙解二項(xiàng)式定理問題

■江蘇省儀征市南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 何曉勤

賦值法是給代數(shù)式、方程或函數(shù)表達(dá)式中的某些字母賦予一定的特殊值,從而達(dá)到解決問題的目的。比如在解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的系數(shù)和、化簡(jiǎn)求值等相關(guān)問題時(shí),我們就要對(duì)二項(xiàng)式定理中的字母進(jìn)行賦值,下面舉例加以說明,供同學(xué)們參考。

一、賦值解決與二項(xiàng)式系數(shù)和有關(guān)問題

證明:

(1)C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n;

(2)在(a+b)n的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。

分析:結(jié)合欲證等式的形式特征,需要在二項(xiàng)展開式中對(duì)字母a,b賦特殊值,如1和-1等。

解:(1)記(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+

令a=b=1,即可得C0n+C1n+C2n+…+ Cnn=2n。

(2)在①式中,令a=1,b=-1,可得:

故C0n+C2n+…=C1n+C3n+…。②

故在(a+b)n的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。

點(diǎn)評(píng):上述證明過程,通過對(duì)二項(xiàng)式定理中的字母進(jìn)行賦值,得到與二項(xiàng)式系數(shù)的和有關(guān)的式子①和②。以上結(jié)論可以用來求解二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和及有關(guān)問題。

二、賦值解與二項(xiàng)式定理有關(guān)的化簡(jiǎn)問題

化簡(jiǎn)1-2C1n+22C2n-23C3n+…+

分析:觀察該式的特征,可以發(fā)現(xiàn)該式應(yīng)該為某式的二項(xiàng)展開式。

解:在(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2· b2+…+Cnnbn中,令a=1,b=-2,可得1-2Cn1+22Cn2-23Cn2+…+(-1)n2nCnn= (1-2)n=(-1)n。

點(diǎn)評(píng):在二項(xiàng)式定理中,賦予字母適當(dāng)?shù)闹?即可得到很多相應(yīng)的恒等式。

三、賦值解與各項(xiàng)系數(shù)和有關(guān)問題

已知(1-2x)2017=a0+a1x+…+ a2017x2017(x∈R),求下列各式的值:

(1)a0+a1+a2+…+a2017;

(2)(a0+a2+a4+…+a2016)2-(a1+a3+…+a2017)2;

(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2017|;

(4)a0+a2+a4+…+a2016。

分析:(1)式直接在原式中,賦x=1即可;(2)式可利用平方差公式,然后再分別賦x等于1和-1,聯(lián)立起來求解即可;(3)式可先結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),再將目標(biāo)式中的絕對(duì)值去掉,最后進(jìn)行賦值;(4)式中欲消去展開式中的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù),只需要在已知式中分別賦x等于1和-1,并將兩式相加即可。

解:(1)在已知式中,令x=1,可得a0+ a1+a2+…+a2017=(1-2)2017=-1。①

(2)已知,(a0+a2+a4+…+a2016)2-(a1+a3+…+a2017)2

=(a0+a1+a2+…+a2017)(a0-a1+a2-a3+…+a2016-a2017)。

在已知式中,令x=-1,可得a0-a1+ a2-a3+…+a2016-a2017=32017。②

再結(jié)合①,可得(a0+a2+a4+…+ a2016)2-(a1+a3+…+a2017)2=-32017。

(3)已知(1-2x)2017的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Cr2017(-2x)r,則a2k+1<0,a2k>0,k∈N,k≤1008。

所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2017|

=a0-a1+…+a2016-a2017=32017。

點(diǎn)評(píng):求解展開式系數(shù)和的有關(guān)問題的關(guān)鍵是給二項(xiàng)式定理中的字母賦值,并進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合,賦值的選擇則根據(jù)展開式的系數(shù)和形式特征來定。一般地,多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+…+ anxn的各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1),常數(shù)項(xiàng)a0=f(0),偶次項(xiàng)的系數(shù)和為,奇次項(xiàng)的系數(shù)和為

四、先求導(dǎo)再賦值解決系數(shù)和有關(guān)問題

設(shè)(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+

解:對(duì)(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+ a4x4+a5x5兩邊求導(dǎo),則:

[(1-3x)5]'=-15(1-3x)4=a1+ 2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4。

令x=1時(shí),可得:

點(diǎn)評(píng):解決本題的關(guān)鍵是先求導(dǎo)數(shù),再利用賦值法來求解各項(xiàng)系數(shù)和,很多同學(xué)未能聯(lián)想到導(dǎo)數(shù),導(dǎo)致思維受阻。

(責(zé)任編輯 徐利杰)