益智課堂，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)踐行之地

李清霞+孫欣

核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。作為學(xué)科核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是指具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，而數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育能否落實(shí)，思維能力能否得到提升，關(guān)鍵在于課堂教學(xué)。

基于此，中國(guó)教育科學(xué)研究院“益智課堂與思考力培養(yǎng)的實(shí)踐研究”課題組進(jìn)行了相關(guān)探索。益智課堂有其優(yōu)勢(shì)和鮮明特點(diǎn)，它以學(xué)生充分的動(dòng)手操作為依托，以真實(shí)、有趣的問(wèn)題困境為起點(diǎn)，以益智器具為載體，通過(guò)多樣性的探究活動(dòng)，讓學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)，掌握思維技能，提升思維品質(zhì)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑之一。本文以“漢諾塔”活動(dòng)課為例，主要探析課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

一、優(yōu)化任務(wù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表征能力

器具“漢諾塔”由8個(gè)環(huán)片按大小依次疊放在有三根立柱的支架上，因形如塔狀而得名，主要解決這一問(wèn)題困境：在一次只能移動(dòng)一個(gè)環(huán)片、大環(huán)不能壓在小環(huán)上的操作規(guī)則中，如何借助b柱（過(guò)渡柱），把a(bǔ)柱（起始柱）的環(huán)片依次挪移到c柱（目標(biāo)柱）上（見圖1）。如果教師在課堂中僅要求學(xué)生按照規(guī)則練習(xí)操作，益智課堂的器具就只能停留在“玩具”層面，課堂也停留在“游戲”層面。那么如何將游戲轉(zhuǎn)向思維訓(xùn)練活動(dòng)？

本課例在學(xué)生已能熟練操作器具的基礎(chǔ)上，將訓(xùn)練目標(biāo)聚焦在優(yōu)化操作任務(wù)上，使學(xué)生思維由混沌狀態(tài)向頭腦的心理操作轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)思考的邏輯性，鍛煉、掌握多種思維技能。因此，教師需要對(duì)操作要求提出限定，用表格形式引導(dǎo)學(xué)生思考，表格問(wèn)題要突出其思考和探索的要點(diǎn)，明晰各環(huán)節(jié)間的關(guān)聯(lián)及所蘊(yùn)含的可能性規(guī)律（見表1）。

首先，教師要將問(wèn)題聚焦于不同的環(huán)數(shù)“完成操作最少用幾步”，將學(xué)生的思維焦點(diǎn)轉(zhuǎn)向“尋找行動(dòng)最有效的序列”，優(yōu)化移動(dòng)步驟，此為益智課堂倡導(dǎo)的目標(biāo)之一。其次，啟發(fā)學(xué)生思考“第一環(huán)移到哪個(gè)柱上”更助于實(shí)現(xiàn)最優(yōu)步驟，從1～8環(huán)分別探究，重點(diǎn)突出假設(shè)、檢驗(yàn)、推理、判斷、提煉、概括等思維技能訓(xùn)練。表格的使用，也為后續(xù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供有邏輯的數(shù)據(jù)支持，利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征

能力。

數(shù)學(xué)表征能力指的是使用符號(hào)、文字、圖表、公示、模型等形式以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的方式對(duì)數(shù)學(xué)核心概念、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行關(guān)聯(lián)式表達(dá)，使數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間建立一種映射，使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、煩瑣的形式得以簡(jiǎn)化的能力。作為理解數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)手段，它有助于學(xué)生理解概念、關(guān)系或關(guān)聯(lián)，形象地觀察學(xué)習(xí)對(duì)象，更有興趣地深入思考與探索，并體會(huì)數(shù)學(xué)表征是進(jìn)行數(shù)學(xué)理解、交流和分析的工具。

二、動(dòng)手操作，關(guān)注數(shù)學(xué)推理能力

數(shù)學(xué)推理是從數(shù)和形的角度對(duì)事物進(jìn)行歸納類比、判斷、證明的過(guò)程，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑，也是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象性的有效工具。數(shù)學(xué)推理能力是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察、分析、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、歸納、演繹等做出新的推論，并在此過(guò)程中證明推論的合理性的能力[1]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生應(yīng)“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。其中，合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算等思維形式。

探究過(guò)程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生從1個(gè)環(huán)片開始嘗試。由于環(huán)數(shù)少，難度小，學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)所用最少步數(shù)和移動(dòng)位置。比如，移動(dòng)1個(gè)環(huán)片，最少用1步，第一環(huán)移到目標(biāo)柱上；移動(dòng)2個(gè)環(huán)片，最少用3步，第一環(huán)移到過(guò)渡柱上。在移動(dòng)3環(huán)前，教師可提出問(wèn)題：“如果不進(jìn)行操作，你是否知道第一環(huán)移到哪個(gè)柱上？”這里教師創(chuàng)設(shè)了問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生嘗試推理。推理過(guò)程也是論證過(guò)程，主要是依據(jù)前面2環(huán)的移動(dòng)步驟，學(xué)生通過(guò)分析得出：3環(huán)要想移到目標(biāo)柱上，1環(huán)和2環(huán)就得“讓路”，將2環(huán)移到過(guò)渡柱上，1環(huán)移到目標(biāo)柱上。這一過(guò)程，教師要對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行糾正和提煉，幫助他們規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生推理論證的嚴(yán)密性和條理性。

現(xiàn)代教育論強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生做科學(xué)，而不是用耳朵去聽科學(xué)”。因此，教師還可組織學(xué)生通過(guò)操作來(lái)檢驗(yàn)猜想。在移動(dòng)4環(huán)時(shí)，教師讓學(xué)生先推理第一環(huán)移到哪個(gè)柱上，最少用多少步，然后操作器具進(jìn)行驗(yàn)證，并分組驗(yàn)證不同移動(dòng)方式的結(jié)果，讓學(xué)生體會(huì)、檢驗(yàn)推理的過(guò)程，從中體悟數(shù)學(xué)推理過(guò)程。

三、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力

模型思想是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的十大核心概念之一，此階段中的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)形式為一系列的概念、算法、關(guān)系、定律、公式等。參照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的相關(guān)內(nèi)容，可將建模過(guò)程簡(jiǎn)化為三個(gè)環(huán)節(jié)。

首先，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)?！巴瓿刹僮髯钌儆脦撞健钡哪繕?biāo)有規(guī)律性但又較為隱蔽，在移動(dòng)5個(gè)環(huán)片時(shí)，教師可要求學(xué)生不動(dòng)手操作，僅根據(jù)列表從1～4環(huán)的最少步數(shù)情況找出規(guī)律（見表2）：第一環(huán)應(yīng)移到哪個(gè)柱，完成操作最少用幾步。此問(wèn)題難度適中，提供了較為清晰的數(shù)學(xué)信息，可讓學(xué)生運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，增強(qiáng)其數(shù)學(xué)建模能力。

其次，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等，表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。學(xué)生可通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，建立數(shù)學(xué)模型。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考單雙數(shù)環(huán)時(shí)，第一環(huán)的移動(dòng)位置和最少步數(shù)與環(huán)片的關(guān)系，正是捕捉具有建模意義、可操作的數(shù)學(xué)信息的過(guò)程。通過(guò)思考和體驗(yàn)，他們可以歸納其中的規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：?jiǎn)螖?shù)環(huán)時(shí)，第一環(huán)移到目標(biāo)柱，雙數(shù)環(huán)時(shí)，第一環(huán)移到過(guò)渡柱，并推算出完成5環(huán)操作最少用31（15×2+1）步。

最后，通過(guò)模型求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。將移動(dòng)5環(huán)時(shí)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律運(yùn)用到6～8環(huán)的第一環(huán)移動(dòng)位置及最少移動(dòng)步數(shù)推算上，從一個(gè)問(wèn)題的解決中總結(jié)概括出一類問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型，此為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的重要意義。

四、啟發(fā)思考，提高數(shù)學(xué)交流與

表達(dá)能力

學(xué)生的思維具有內(nèi)隱性，讓思維看得見、摸得著的一種重要方式就是數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)交流與表達(dá)能力是學(xué)生將自己理解和掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、策略、思想通過(guò)口頭或書面的方式呈現(xiàn)出來(lái)的能力。其培養(yǎng)與發(fā)展的關(guān)鍵在于教師的課堂提問(wèn)和追問(wèn)藝術(shù)，如果問(wèn)題起點(diǎn)低、教師表述不明等，容易縮小思考空間或無(wú)法聚焦問(wèn)題核心，很難激發(fā)學(xué)生的深入思考。

有效的核心問(wèn)題應(yīng)該是：（1）包含學(xué)習(xí)者容易理解的措辭；（2）陳述簡(jiǎn)單，問(wèn)題中沒有混雜額外的問(wèn)題或說(shuō)明；（3）讓學(xué)生關(guān)注課堂內(nèi)容；（4）確定學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)將會(huì)用到的單個(gè)思維操作[2]。因此，當(dāng)學(xué)生移動(dòng)3個(gè)環(huán)發(fā)現(xiàn)最少用7步才能達(dá)到目標(biāo)柱時(shí)，教師可這樣提問(wèn)：“怎么判斷移動(dòng)3個(gè)環(huán)片用7步就是最少的步驟？”這一問(wèn)題簡(jiǎn)單明確，關(guān)鍵詞“判斷”是學(xué)生需要執(zhí)行的思維操作，主干內(nèi)容“用7步就是最少的步驟”直接服務(wù)于思維訓(xùn)練目標(biāo)，疑問(wèn)詞“怎么”顯示出問(wèn)題的開放性，這能讓學(xué)生圍繞本課訓(xùn)練目標(biāo)與教師進(jìn)行更多的數(shù)學(xué)交流與表達(dá)。

對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行加工，再提出新的問(wèn)題，即加工性問(wèn)題，可促進(jìn)學(xué)習(xí)者反思自己的初始回答，理解隱藏在表面觀點(diǎn)背后的思想問(wèn)題，激勵(lì)其更全面地理解課堂內(nèi)容，構(gòu)建更完善的認(rèn)知操作。例如，學(xué)生再次演示移動(dòng)3個(gè)環(huán)片并回答：操作時(shí)發(fā)現(xiàn)有的步驟多，然后刪掉了某些步驟?？梢钥闯?，學(xué)生是通過(guò)嘗試操作—調(diào)整優(yōu)化—達(dá)到目標(biāo)的路徑完成的，并未注意到優(yōu)化步驟過(guò)程中的關(guān)鍵點(diǎn)。這時(shí)教師可提出限定焦點(diǎn)的加工性問(wèn)題：“以最少步驟移出的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是什么？”其中，關(guān)鍵詞“最少步驟”“關(guān)鍵環(huán)節(jié)”對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行聚焦和提升，可將其回答導(dǎo)向更高的

層次。

在有效問(wèn)題的激發(fā)下，學(xué)生才能進(jìn)行更深入的思考，做出更高水平的回答，促進(jìn)其數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，進(jìn)一步完善思維訓(xùn)練活動(dòng)中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

五、凸顯思想，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。益智課堂倡導(dǎo)教師不僅要重視學(xué)生對(duì)顯性知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，還應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。“漢諾塔”教學(xué)活動(dòng)中，教師可挖掘三種數(shù)學(xué)思想，并在恰當(dāng)時(shí)機(jī)進(jìn)行點(diǎn)撥。

其一，倒推思想。它是從結(jié)果出發(fā)倒過(guò)來(lái)推想的一種思想，也是解決問(wèn)題常用的一種策略，其中涉及分析、選擇、判斷、對(duì)比等一系列思維活動(dòng)。比如，推算完成5環(huán)的最少步數(shù)，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行倒推：最后1環(huán)要移到目標(biāo)柱，前4環(huán)要先移到過(guò)渡柱再移到目標(biāo)柱，已知移4環(huán)到目標(biāo)柱最少要15步，那么由此推算完成5環(huán)的操作最少需要31步（15×2+1）。

其二，轉(zhuǎn)化思想。它是通過(guò)觀察、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題的求解，以達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。比如，活動(dòng)伊始，起始柱、過(guò)渡柱、目標(biāo)柱是固定的，但隨著環(huán)片數(shù)目的增多，每一環(huán)的目標(biāo)柱、過(guò)渡柱都會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)化，且在不同的移動(dòng)步驟中，每一環(huán)的目標(biāo)柱、過(guò)渡柱也在隨時(shí)轉(zhuǎn)化。用這樣的認(rèn)識(shí)來(lái)看待操作過(guò)程，當(dāng)移動(dòng)環(huán)片較多時(shí)，運(yùn)用總結(jié)出的規(guī)律，易于把較復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把新問(wèn)題變成已解決的

問(wèn)題。

其三，遞歸思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法關(guān)系密切，思想指導(dǎo)方法，方法滲透思想。例如，教師在總結(jié)5環(huán)的移動(dòng)步數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)操作中要“看5環(huán)想4環(huán)”“看4環(huán)想3環(huán)”……這正是遞歸思想的體現(xiàn)，呈現(xiàn)出依次類推、“用同樣步驟重復(fù)”的方法，讓學(xué)生既獲得思想上的認(rèn)識(shí)，也得到方法上的指導(dǎo)。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)情境、經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)、感悟數(shù)學(xué)思考的過(guò)程中產(chǎn)生的，而以益智器具的問(wèn)題困境為思考起點(diǎn)，以操作探究為活動(dòng)方式的益智課堂教學(xué)，是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)有效方法。

當(dāng)然，隨著本研究的進(jìn)一步探索，有關(guān)學(xué)生核心素養(yǎng)及學(xué)生思維能力的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐會(huì)有所深入，對(duì)益智課堂的教學(xué)策略和方法也會(huì)進(jìn)行修正和創(chuàng)新，使之更加完善，以期讓益智課堂成為培育和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更為有效的一個(gè)場(chǎng)所。

參考文獻(xiàn)：

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[2]Marylou Dantonio，Paul C. Beisenherz著.宋玲譯.課堂提問(wèn)的藝術(shù)—發(fā)展教師的有效提問(wèn)技能[M].北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，2006：7.

（作者單位：1.中國(guó)教育科學(xué)研究院 2.黑龍江省哈爾濱市鐵嶺小學(xué)）

責(zé)任編輯：孫建輝

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