有效運用數(shù)學實驗 解決數(shù)學思維瓶頸
——一道試題中運用數(shù)學實驗的可行性紀實

江蘇省高郵市車邏鎮(zhèn)初級中學 劉 菲

有效運用數(shù)學實驗 解決數(shù)學思維瓶頸
——一道試題中運用數(shù)學實驗的可行性紀實

江蘇省高郵市車邏鎮(zhèn)初級中學 劉 菲

董林偉主任對數(shù)學實驗的概念是這樣界定的：“為獲得某種數(shù)學理論，檢驗某個數(shù)學猜想，解決某類數(shù)學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數(shù)學思維活動的參與下，在典型的實驗環(huán)境中或特定的實驗條件下所進行的一種數(shù)學實踐探索活動。它是通過動手動腦‘做’數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）在數(shù)學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動?！蓖ㄟ^數(shù)學實驗，可以適當降低學生探索數(shù)學問題的難度，使數(shù)學學習進程與學生的思維水平和經(jīng)驗背景更趨科學合理。在實驗過程中，學生可以通過操作與體驗積累基本活動經(jīng)驗，加深對數(shù)學的領悟與理解，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，從而形成解決問題的方法，進而提升數(shù)學素養(yǎng)。

一、試題

如圖，一個小圓沿著一個五邊形的邊滾動，如果五邊形的各邊長都和小圓的周長相等，那么當小圓滾動到原來位置時，小圓自身滾動的圈數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.10

在一次考試中，這道試題的得分率非常低，通過方法的引導和點撥，大部分學生仍無法理解為什么是6周，還會有“5條邊不應該是5周嗎”的問題存在，于是教者就想到設計一個“圓繞著圖形滾動”的數(shù)學實驗，通過動手操作直觀形象地發(fā)現(xiàn)圓繞著圖形滾動的運動軌跡，從而解決這個問題。

二、實驗設計

（一）實驗目的

經(jīng)歷圓形硬紙片在不同軌道上滾動的操作過程，探究圓在不同軌道上滾動時圓心的路徑及路徑長，提高學生解決問題的能力。

（二）實驗準備

圓形硬紙片（留有小孔圓心），直尺，可調節(jié)角度的活動角，三角板。

（三）實驗內容與步驟

活動一：在直線上無滑動地滾動圓。

將圓形硬紙片沿著直尺邊緣無滑動地滾動。

（1）描出圓心運動的路徑，觀察此運動路徑是什么圖形？

（2）若圓的半徑為r，圓滾動一周時，圓心運動的路徑長是多少？為什么？

（3）若線段AB＝4πr，則半徑為r的圓從點A無滑動地滾動到點B需轉圈；

活動二：在折線上無滑動地滾動圓。

1.將圓形硬紙片沿著可調節(jié)角度的活動角邊緣無滑動地滾動。（活動角可調節(jié)為90°，60°，任意角α）

（1）描出圓心運動的路徑，觀察此運動路徑是什么圖形？

（2）①若∠BAC＝90°，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉圈；

②若∠BAC＝60°，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉圈；

③若∠BAC＝α，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉圈。

2.將圓形硬紙片沿著三角板的邊緣無滑動地滾動一圈。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）算一算：計算半徑為r的圓形紙片滾動一圈圓心運動的路徑長，路徑長與三角板三邊長度之間有何關系？

（4）思考：如果圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動，圓心運動的路徑又如何？

活動三：在曲線上無滑動地滾動圓。

1.取兩個半徑相等的圓形硬紙片，固定其中一個，另一個沿著其邊緣無滑動地滾動一周。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）算一算：半徑為r的圓形紙片滾動一周，圓心運動的路徑長與圓形紙片的周長之間有何關系？

2.任意畫一條曲線，將圓形硬紙片沿著這條曲線的邊緣無滑動地滾動。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）說一說：圓心運動的路徑長與曲線的長之間有何關系？

（四）實驗設計說明

本實驗是為新蘇科版義務教育教科書《數(shù)學》九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”涉及的問題而設計的，通過圓在直線上、折線上、曲線上的無滑動地滾動，探究其圓心運動的路徑及路徑長，提高學生解決問題的能力。首先，通過圓在直線上無滑動地滾動的操作過程，直觀發(fā)現(xiàn)圓心運動路徑的形狀，感受“等距”特征。再通過計算路徑長，弄清圓滾動時圓心運動的路徑和圓移動的距離之間的關系。然后通過圓在折線上無滑動地滾動的操作過程，先畫后猜想圓心運動路徑的形狀，驗證猜想的正確性，計算路徑長度，并想象與思考圓在三角形內部邊緣無滑動地滾動的情形。最后，圓在曲線上無滑動地滾動，感受圓心運動的路徑與曲線的長之間的關系。

三、實驗感悟

《課標》（2011年版）中明確指出：“數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生素養(yǎng)的重要標志。幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要標志，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結果。數(shù)學活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和思的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。”本案例中，操作與思考并行，思行結合的學習方式，促成學生對數(shù)學的認識從感性向理性飛躍。試想，如果沒有親身體驗，有些學生就無法理解圓在五邊形上滾動需要6圈，多出的1圈是怎么來的……實驗后，學生不僅僅理解了以上問題，還有了其他思考：圓在矩形的內部沿著邊的邊緣無滑動地滾動會涉及哪些問題？甚至有些學生都能自己設計問題。顯然，這些思考成果離不開實驗活動，而實驗活動中的思考又促成了活動經(jīng)驗的積淀。

數(shù)學實驗教學的設計，不能簡單地受任務驅動，僅僅為了讓學生動手操作而缺乏具有適宜的數(shù)學思維成分的設計，否則將難以達成理想的預設教學效果。像這樣的數(shù)學實驗設計就順其自然，順應學生的需求，數(shù)學實驗中有動手操作，也有思維的發(fā)展，一切都順理成章，教學效果也比較顯著，更重要的是學生很容易地解決了自己想要解決的問題，成就感油然而生，從而激發(fā)了學生學習數(shù)學的熱情，也提高了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

[1]董林偉．初中數(shù)學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013：6.

[2]錢云祥．數(shù)學實驗：讓數(shù)學思考走向深刻[J].中學數(shù)學教學參考，2015.10：4-6.

[3]董林偉主編．義務教育教科書數(shù)學實驗手冊九年級全一冊.

【備注：本文系省第11期教研重點課題《初中數(shù)學實驗課程資源的開發(fā)與利用》（課題編號2015JK11-Z066）的階段性成果之一】

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