山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村
——例談通過追問培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

江蘇省昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 劉勝男

山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村
——例談通過追問培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

江蘇省昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 劉勝男

追問，簡(jiǎn)言之就是追根究底地發(fā)問。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，追問就是基于教學(xué)目標(biāo)設(shè)置一系列問題，然后進(jìn)行由此及彼、由淺入深的追問，以形成嚴(yán)密有序、節(jié)奏井然的課堂教學(xué)流程。

追問的優(yōu)勢(shì)是顯而易見的，它可以啟發(fā)學(xué)生再思考、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，也可以通過追問的層層引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。在追問過程中，學(xué)生可以自然形成探究問題的意識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生高層思維能力的培養(yǎng)。

下面以兩個(gè)實(shí)例，談?wù)勛穯枌?duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)。

這道題目有一定難度，大多數(shù)學(xué)生剛讀到此題時(shí)沒什么思路，選擇了放棄，部分進(jìn)行了嘗試的學(xué)生，也覺得解題有些障礙。在試卷講評(píng)過程中，我通過追問讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并體會(huì)了解題的過程。

師：大家對(duì)本題感到?jīng)]有思路，那么再次審題，在△ABC中，給出了兩個(gè)條件都是什么條件？

生：邊長(zhǎng)。

師：那么可以考慮什么辦法？哪個(gè)定理公式涉及邊長(zhǎng)？

生：余弦定理。

師：那么嘗試一下。

這是第一次追問。通過追問，學(xué)生從沒有思路到發(fā)現(xiàn)了一條可以嘗試執(zhí)行的思路。

（學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算，稍后投影兩學(xué)生運(yùn)算過程）

師：兩位同學(xué)都選擇了余弦定理，唯一的區(qū)別是選擇的角不同。那么先考慮一下，如何表示面積？

師：邊長(zhǎng)是否已知或者能表示？

生：可以。

師：那么用正弦能表示嗎？怎么表示？

生：正弦、余弦平方和為1。

師：剛才兩位同學(xué)表示的方法相同，有沒有哪一個(gè)更好？（第二次追問）

生：第一個(gè)更好。因?yàn)橐椒接?jì)算，第一個(gè)簡(jiǎn)單。

師：非常好。這就要求大家在運(yùn)算之前先考慮一下，一樣的方法，是否可以做出選擇哪個(gè)計(jì)算更簡(jiǎn)便。

第二次追問，引領(lǐng)學(xué)生思考，在可解決的途徑中選擇更優(yōu)。

分子可以看成以x2為自變量的二次函數(shù)。

此處大部分同學(xué)不能進(jìn)行下去，但我所期待引領(lǐng)學(xué)生達(dá)到的思考過程已經(jīng)比較充分了。

本題的解決雖已完畢，但我決定抓住機(jī)會(huì)，再引申一下，讓學(xué)生透過表面現(xiàn)象找出更加深刻的本質(zhì)，從而尋求出更好的解決辦法。

于是，我進(jìn)行第三次追問。

師：本題解決完畢后回顧一下，開始時(shí)入手較難，選擇了余弦定理后，計(jì)算較為麻煩。那么再次審題，我們是否能從其他角度來嘗試解決這道題目？

師：求△ABC面積的最大值，又已知底邊長(zhǎng)AB=2，即求什么的最大值？

生：高的最大值。

師：高應(yīng)該怎么表示？

生：不知道……

師：高又可以稱作什么？

生：……

師：也就是，從頂點(diǎn)到底邊的______？

生：距離。

師：非常好。直接求距離仍舊困難，那么我們是否可以把這段距離看成點(diǎn)到直線的距離？這樣，我們需要做什么？

生：建系。

學(xué)生敘述：以AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系。則A(-1，0)，B(1，0)，設(shè)C(x，y)，化簡(jiǎn)有x2+y2-6x+1=0。

通過第三次追問，讓學(xué)生體會(huì)到本題可以引申發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在本質(zhì)，即阿波羅尼斯圓。通過這個(gè)簡(jiǎn)單例子的示范，既能對(duì)經(jīng)典的阿波羅尼斯圓產(chǎn)生較為深刻的印象，也能發(fā)散學(xué)生的思維，拓寬思路，在面對(duì)一個(gè)難以入手的問題時(shí)，思考是如何逐步發(fā)現(xiàn)條件著手解決的，又是如何開拓條件使問題得到簡(jiǎn)易解決的。

例2如圖，海上有A，B兩小島相距10km，船O看A島和B島所成的視角為60°，從船O上派一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)，且OC=BO，設(shè)AC=xkm。

（2）晚上小艇在C處發(fā)出一道光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值．

難點(diǎn)在于第二小問。為了讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解決途徑，我選擇了追問的方法。

師：第二問難住了大家。那么思考一下，想求BD的最大值，如何表示BD呢？你是否有什么想法？

生1：我想利用題目中的直角三角形，用邊和角的三角函數(shù)表示BD。

師：好。你想怎么表示？

師：那么其他同學(xué)能幫助他嗎？

生2：sin∠BAD=sin∠BAC，然后在△ABC中，可以看看正弦定理行不行。

師：大家嘗試寫一下。

師：又進(jìn)行不下去了？sinC怎么處理？

師：BC呢？

生4：BC=2OB。

師：非常好。為什么不用OC？

生4：前面求出是OA與OB的關(guān)系，sinC也是用OA表示，用OB可能更好。

師：非常好。大家整理一下。

師：接下來如何求最值呢？

生：可以求導(dǎo)。

學(xué)生運(yùn)算完畢。

師：剛剛進(jìn)展不下去時(shí)，選擇向第一小問中已求出的關(guān)系式靠攏，雖然過程艱苦，但還是成功地解決了問題?；仡櫼幌挛覀兊慕忸}過程，有沒有哪里還可以簡(jiǎn)化的？

生5：BD可以直接用BCsinC表示，在大直角三角形里。中間可以省掉很多步驟。

師：非常好！通過這一步簡(jiǎn)化，我們也能發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候未必直接用上題中最簡(jiǎn)單的那個(gè)長(zhǎng)度10就可以讓過程最簡(jiǎn)，還需要看看下面我們問題的需要。還有補(bǔ)充嗎？

生6：最后還可以分離一下，利用函數(shù)單調(diào)性求最值，比直接求導(dǎo)運(yùn)算簡(jiǎn)單。

師：很好！

學(xué)生沒有補(bǔ)充了。此時(shí)我繼續(xù)追問。

師：我們雖然解決了這個(gè)問題，但是中間也經(jīng)過了很多的嘗試和運(yùn)算，過程略麻煩。能不能換個(gè)視角？我們從頭來看，求BD距離，除了像上面那樣直接表示BD，還有什么別的思路嗎？

師：距離BD還可以看成什么？

生7：難道要建系？

師：可以考慮，但是題中的條件不是非常易用。

生8：距離也可以看成是高。

師：什么的高？

生8：△ABC，用AC做底，BD就是高了，而且AC=x，也算已知。

師：非常好！那么△ABC的面積還可以用其他方式表示嗎？

生8：如果用BC做底，高可能不是很好算，要用相似。

這樣馬上就把面積表示出來了！

師：大家的回答都非常精彩！這樣我們可以更加迅速、準(zhǔn)確地計(jì)算出BD，求最值的方法同上。

師：通過大家的思考，我們發(fā)現(xiàn)了很多難題只要多次思考，根據(jù)條件和所求不斷追問，啟發(fā)自己，往往都能找到可操作的解決途徑，不僅能解，還可以找到最優(yōu)解。

我所嘗試的追問，大家也可以不斷嘗試，在做題審題過程中自行不斷追問，這樣問題的解決之路會(huì)一點(diǎn)點(diǎn)展開。

正所謂，山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村。

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