關(guān)于n階冪指函數(shù)求導(dǎo)和取對(duì)數(shù)的探索

陳旌

【摘要】本文就冪指函數(shù)的求導(dǎo)和取對(duì)數(shù)進(jìn)行了相關(guān)探索。關(guān)于求導(dǎo)先討論3階冪指函數(shù)，然后擴(kuò)展到n階。然后對(duì)冪指函數(shù)取對(duì)數(shù)次數(shù)進(jìn)行了討論。

【關(guān)鍵詞】?jī)缰负瘮?shù) 求導(dǎo) 對(duì)數(shù)

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）18-0211-01

一、引言

n階冪指函數(shù)指的是形如的函數(shù)，關(guān)

于冪指函數(shù)的求導(dǎo)已經(jīng)有部分研究，而高等數(shù)學(xué)對(duì)冪指函數(shù)求導(dǎo)的要求限制在2階以內(nèi)。

本文對(duì)階冪指函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行了進(jìn)一步推廣和延拓，推導(dǎo)出 階冪指函數(shù)求導(dǎo)時(shí)的相關(guān)公式和取對(duì)數(shù)的次數(shù).

二、推導(dǎo)定理

引理1[2] 一元冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式為

.

定理1若，則同樣有

證明：當(dāng)時(shí)，由引理1可知

因?yàn)榍铱蓪?dǎo)，由引理1可知

綜合以上步驟，當(dāng)無論正負(fù)，且它們均可導(dǎo)時(shí)，有

說明： （1）定理1弱化了引理的條件，對(duì)階冪指函數(shù) 且且均可導(dǎo)

時(shí)，的正負(fù)不影響的求導(dǎo).

（2）由定理1給出了3階冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式。對(duì)一般的n階冪指函數(shù)，都可以應(yīng)用此定理來求導(dǎo)。當(dāng)時(shí)，借助整體代換思想，將視作一個(gè)整體，先求出導(dǎo)數(shù)，再對(duì)使用同

樣的方法，依次代換，最后可以求出導(dǎo)數(shù)。

定理2對(duì)冪指函數(shù)，其中，

，（1）當(dāng)不含的冪指函數(shù)，則至少經(jīng)過次取對(duì)數(shù)，有，中沒有的冪指函數(shù)；

（2）當(dāng)含有的冪指函數(shù)，即，

當(dāng)其不為0時(shí)最少經(jīng)過次取對(duì)數(shù)，使中不含關(guān)于 的冪指函數(shù).

證明 ：（1） 當(dāng)時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)=1時(shí)，顯然不是的冪指函數(shù).

設(shè)當(dāng)時(shí)，至少經(jīng)過次取對(duì)數(shù)，使階冪指函數(shù)中冪指形式消失.

則當(dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得

右邊即為關(guān)于的階冪指函數(shù).由歸納假設(shè)，還得經(jīng)過取對(duì)數(shù)次來消除冪指形式.故當(dāng)時(shí)，一共需要取對(duì)數(shù)次消除冪指形式.

即當(dāng)時(shí)，需要取對(duì)數(shù)次來消除冪指形式.

當(dāng)時(shí)，，

由且其導(dǎo)數(shù)非0，可經(jīng)次取對(duì)數(shù)消除的

冪指形式.

綜上，的正負(fù)性與取對(duì)數(shù)的次數(shù)無關(guān)，即證.

（2）中含的冪指函數(shù)時(shí)，對(duì)作次對(duì)數(shù)有：

其中為階冪指函數(shù)，由之前推導(dǎo)，要消去等號(hào)右邊的冪指函數(shù)，需進(jìn)行次取對(duì)數(shù).

即證.

參考文獻(xiàn)：

[1]賈曉峰.微積分與數(shù)學(xué)模型.上冊(cè)[M].3版.北京：高等教育出版社.2015.9.

[2]張勇軍.一類冪指函數(shù)求導(dǎo)公式的推導(dǎo)[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，30（二）：107-109.

[3]B. Wu， Y. Lin， Application of the reproducing kernel space， Science Press， 2012.