注重雙向思維訓練 提高數(shù)學思維品質

沈英姿

在日常教學中，教師應兼顧順向思維和逆向思維，它們是學生思維相輔相成的兩個方面。逆向思維從問題的對立面出發(fā)，于山窮水盡中另辟蹊徑，尋求解決問題的策略，有效地培養(yǎng)創(chuàng)新意識。在現(xiàn)有的小學數(shù)學教材中，設計運用逆向思維解決問題的習題較少，大多數(shù)學生習慣通過順向思維去解決問題。這種思維定勢制約了學生思維的拓展，在解題的過程中思維受阻，無法發(fā)揮思維潛能。數(shù)學學得好，很大程度體現(xiàn)在思維的嚴密性與跳躍性的完美結合。教學中，我們可以嘗試引導學生改變思維方向，用逆向思維去思考如何解決問題。

小學階段數(shù)學知識的部分概念、性質、運算思路和解題方法具有可逆性，一些數(shù)學知識也是通過互逆轉換而發(fā)展深化的，這都是培養(yǎng)小學生逆向思維的寶貴資源。在教學中，教師應有意識地幫助學生實現(xiàn)由順到逆的思維重建，引導學生辨析知識，擴展認知結構，使其面對復雜數(shù)學情境也能有思維靈活性。

一、 挖掘數(shù)學定義與公式的可逆性

有些數(shù)學概念具有可逆性。教師的常規(guī)做法是正面切入，讓學生觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納總結。長此以往，學生對概念的理解僅僅停留在表面。教師若能從逆向的角度去認識概念，引導學生探究概念中隱含的性質與條件，逐步嘗試逆用公式法則，便能加深學生對概念的理解和掌握。

例如，教學“平均數(shù)”這節(jié)概念課，學生在教師引導下學會如何計算平均數(shù)，了解平均數(shù)的取值區(qū)間在最大數(shù)與最小數(shù)之間等。教師為了讓學生能夠靈活運用概念去解決更多的問題，便可以巧妙設計逆向思維練習——從平均數(shù)逆著去推想具體數(shù)。

問題1：三個數(shù)的平均數(shù)為a，其中兩個數(shù)都小于a，那么第三個數(shù)（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）。①大于a，②等于a，③小于a，④無法確定。學生從平均數(shù)的定義入手，聯(lián)想求平均數(shù)的方法是移多補少，兩個數(shù)都小于平均數(shù)，那么第三個數(shù)一定大于平均數(shù)。

問題2：四個數(shù)的平均數(shù)為a，其中兩個數(shù)都小于a，第三個數(shù)大于a，第四個數(shù)（？搖？搖？搖？搖？搖）。①大于a，②等于a，③小于a，④無法確定。

學生在解答前一道問題的基礎上，容易誤認為問題2中第四個數(shù)等于a。實際上，這道題與前三個數(shù)的和跟3a的大小關系有關。借助線段圖或者條形統(tǒng)計圖，學生能夠比較出答案是不確定的。通過以上的逆向分析，學生思考問題就會條理清晰、邏輯嚴密。

教材中常有可逆的數(shù)學公式、性質和法則，教學中注意雙向思維訓練，除了讓學生更好地理解概念本身，掌握它的常規(guī)應用之外，還要引導啟發(fā)學生反過來思考，從而加深對概念的理解與運用的拓展。就如，三年級教了長方形周長公式，通過已知長和寬的條件，可以求周長。反過來，已知周長和長，可以求寬。自此，學生得出結論：長、寬、周長三者密切相關，已知其中兩者，即可求第三個量。從已知角度出發(fā)，通過對公式本身和其逆運算，使學生對概念辨析更清楚，理解更透徹，幫助學生養(yǎng)成雙向思維的習慣。

二、 加強互逆訓練，增強雙向思維

當學生初步掌握書本上的基本知識和概念后，能按圖索驥，根據(jù)相關知識來解決課后練習題。此時，學生對知識并未真正掌握，更談不上發(fā)展和創(chuàng)新。把數(shù)學結論或題目進行逆推，有利于他們理解和掌握數(shù)學知識，甚至還能發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律。教師要有意識地去挖掘數(shù)學教材中蘊含的互逆元素，設計互逆式問題，打破學生思維中的定勢，即可收到事半功倍的效果。

例如，在學習“年、月、日”一課時，教師設計了一道開放題：小明從小到大過了3個生日，他今年可能是幾歲？學生第一反應是3歲，有些學生根據(jù)閏年的知識，推想是12歲?？呻S著教師的板書（3、12……），學生重新思考后，發(fā)現(xiàn)到下一個閏年前，他都只過3個生日，所以，答案還可能是13、14、15歲。

在課堂教學中，有意識地去挖掘蘊含在教材中的互逆元素，把正逆思維交織在一起，精心設計練習和問題，避免學生孤立地用一種方法思考問題。既可以從條件出發(fā)解決問題，也可以從問題出發(fā)，逆推出必需的條件再解答，讓學生雙向思維并重。

三、 運用互逆思維多角度解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

有些數(shù)學問題利用順向思維解決難度大，甚至會妨礙問題的解決，不如逆向思維的解決方法簡捷。若采用逆向思維思考，可以使問題更快得到解決的同時，收獲別出心裁的解法。例如，習題：環(huán)湖自行車比賽，一選手出發(fā)1.5小時后，工作人員發(fā)現(xiàn)他的號碼牌丟失，立刻由起點的工作人員開車送號碼牌。已知環(huán)湖車道全長180千米，開車速度每小時45千米，這位選手每小時騎36千米，那么工作人員至少需要多少時間能送到號碼牌？這道題沒有提出怎么追，而是讓學生來思考，需要突破既有的經驗和思維定勢——因為行程是封閉的環(huán)形，與常見的追及問題不同。如果學生首先思考“同向去追和反向去送哪個所用時間最短”，便能提前排除一個情況，而不是按部就班地將兩種情況都計算出來再比大小，就能減少思考和計算的時間。

在小學數(shù)學教學中，巧妙引進逆向思維設計問題，能拓展學生的創(chuàng)新思維。在進行“不規(guī)則圖形的面積”練習中，如果由教師給條件和數(shù)據(jù)，就是一種解題思路的暗示，容易束縛學生的思維。反之，教師可以提供給學生完全沒有數(shù)據(jù)的不規(guī)則圖形，提問：“要求這個組合圖形的面積至少需要幾個數(shù)據(jù)？”這樣開放的逆思考問題，有助于打開學生的思維定勢，依學生的不同程度，有不一樣的方案。這樣的教學設計，讓學生在取舍每一個條件時，對這個組合圖形的面積計算有了多種解題預設方案，并在這些預設中選取所需條件最少的，實際上也就是解題過程的最優(yōu)化。逆向思維能促進學生突破性思考，培養(yǎng)學生在實際問題情境中，多策略、有效地解決問題，而非遵從單一的思路。進行互逆解題訓練，不僅鞏固了基礎知識，還能克服思維定勢，多層次、多角度地研究問題，拓展學生的思維。

逆向思維是一種重要的思考能力，也是人們學習和生活中必備的一項能力。新課改背景下，培養(yǎng)和訓練小學生的雙向思維，是我們教學的一項重要任務。在小學數(shù)學教學中，教師要有意識地加強對學生雙向思維的訓練。學生通過訓練，逐步具備較強的雙向思維能力，在現(xiàn)實生活中，遇到常規(guī)思路難以解決的問題，就能另辟蹊徑，達到“柳暗花明”的效果。這對于培養(yǎng)未來人才的創(chuàng)造力及解決問題能力都有著重要的意義，期待更多的教師能夠注重雙向思維訓練，提高學生的思維品質。

（作者單位：福建省福州市倉山小學 責任編輯：王彬）