基于Copula函數(shù)的暴雨潮位組合分析

萬(wàn)永靜，刁秀媚，劉 俊，周 宏，欒 慕，李岱遠(yuǎn)

(1.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.江陰市水資源管理辦公室，江蘇 江陰 214400；3.南京水利科學(xué)研究院水文水資源研究所，江蘇 南京 210029)

基于Copula函數(shù)的暴雨潮位組合分析

萬(wàn)永靜1，刁秀媚2，劉 俊1，周 宏1，欒 慕1，李岱遠(yuǎn)3

(1.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2.江陰市水資源管理辦公室，江蘇 江陰 214400；3.南京水利科學(xué)研究院水文水資源研究所，江蘇 南京 210029)

基于1959—2010年滁河中下游暴雨資料及南京下關(guān)站潮位資料，采用Copula函數(shù)建立不同重現(xiàn)期下滁河中下游年最大1 d、3 d、7 d暴雨與其相應(yīng)時(shí)間段長(zhǎng)江最高潮位的聯(lián)合分布函數(shù)，計(jì)算超過(guò)某一設(shè)計(jì)值的暴雨與各個(gè)量級(jí)潮位、超過(guò)某一設(shè)計(jì)值的潮位與各個(gè)量級(jí)雨量的遭遇概率。計(jì)算結(jié)果與南京市城市防洪規(guī)劃中的結(jié)論相近，表明計(jì)算方法合理可行，可為暴雨潮位組合計(jì)算提供參考。

Copula函數(shù)；區(qū)間暴雨；長(zhǎng)江潮位；組合概率；滁河中下游

近年來(lái)，受全球氣候變暖影響，各地極端天氣頻繁出現(xiàn)，伴隨著洪水內(nèi)澇問(wèn)題的頻現(xiàn)，給人們生活帶來(lái)巨大影響，造成了巨大的財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡[1],因此，在城市防洪規(guī)劃中對(duì)水文計(jì)算提出了更高的要求。一般城市防洪規(guī)劃中推求設(shè)計(jì)洪水的途徑主要有兩種，一是水位頻率曲線直接法，二是由設(shè)計(jì)暴雨推求設(shè)計(jì)洪水位的間接法[2]。但在感潮河段，影響設(shè)計(jì)洪水的水文要素不僅僅是降雨，還需考慮長(zhǎng)江潮位頂托影響，進(jìn)行不同水文要素之間的遭遇組合分析。對(duì)于完全獨(dú)立的水文事件，其聯(lián)合分布可以簡(jiǎn)單地用單變量函數(shù)相乘得到，但暴雨潮位存在一定的相關(guān)性。傳統(tǒng)的相關(guān)性分析法，當(dāng)變量相關(guān)性不顯著時(shí)，其使用受到限制。生產(chǎn)實(shí)踐中常用定性分析法，根據(jù)研究區(qū)域歷年同步觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析，但不能給出其概率，工程應(yīng)用中受人為經(jīng)驗(yàn)影響。Copula函數(shù)可以給出水文要素間各種含義的遭遇概率，且其變量的邊際分布不受限制。

現(xiàn)代Copula理論形成以來(lái)，Copula函數(shù)被廣泛用來(lái)構(gòu)建聯(lián)合分布連接函數(shù)[3-6]。研究表明，Copula函數(shù)能夠有效地描述水文事件的內(nèi)在規(guī)律和特征屬性之間的相互關(guān)系[7-10]。劉曾美等[11]采用Copula函數(shù)建立區(qū)間暴雨和外江洪水位的聯(lián)合分布，用以分析排澇風(fēng)險(xiǎn)率和重現(xiàn)期；武傳號(hào)等[12]基于Copula函數(shù)對(duì)廣州市短歷時(shí)暴雨與潮位組合分析，建立雨潮組合概率風(fēng)險(xiǎn)模型；郭財(cái)秀等[13]利用Copula函數(shù)對(duì)長(zhǎng)江感潮河段上邊界流量和下邊界潮位進(jìn)行組合，定量分析不同量級(jí)洪潮的組合概率。

本文采用Copula函數(shù)建立不同重現(xiàn)期下滁河中下游年最大1 d、3 d、7 d暴雨與其相應(yīng)時(shí)間段長(zhǎng)江最高潮位的聯(lián)合分布，基于聯(lián)合分布計(jì)算超過(guò)某一設(shè)計(jì)值的暴雨與各個(gè)量級(jí)潮位、超過(guò)某一設(shè)計(jì)值的潮位與各個(gè)量級(jí)雨量遭遇概率，并將分析結(jié)果與相關(guān)性分析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，為感潮河段防洪規(guī)劃提供科學(xué)依據(jù)。

1 研究區(qū)概況

南京市江北新區(qū)位于滁河流域中下游，滁河流域位于江淮之間，系長(zhǎng)江下游左岸一級(jí)支流。受地理位置、水文氣象、地形地貌等因素的影響，滁河中下游區(qū)域是一個(gè)洪澇災(zāi)害多發(fā)的地區(qū)，特大洪水主要受本地1～7 d暴雨徑流、上游暴雨洪水和長(zhǎng)江洪潮頂托等影響。

設(shè)計(jì)暴雨歷時(shí)應(yīng)不小于流域匯流時(shí)間，根據(jù)滁河中下游流域地形地貌特性和水文水力分析，取1 d、3 d、7 d為滁河中下游設(shè)計(jì)暴雨計(jì)算的控制時(shí)段。以汊河集閘以下滁河中下游流域，1959—2010年的年最大1 d、3 d、7 d暴雨量與南京下關(guān)站相應(yīng)時(shí)段的最高潮位資料為例，用Copula函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合分布模型，分析流域暴雨和長(zhǎng)江潮位的聯(lián)合分布概率。

表1 Copula函數(shù)參數(shù)θ和τ的關(guān)系

2 聯(lián)合分布函數(shù)

2.1 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是將多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)用他們各自的邊際分布表示出來(lái)的函數(shù)，其邊際分布可以采用任何形式。由于Archimedean Copula函數(shù)只含有一個(gè)參數(shù)θ，求解簡(jiǎn)便適應(yīng)性強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用于水文領(lǐng)域[14-15]，水文中常用的二維Archimedean Copula函數(shù)有Clayton Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)和GH Copula函數(shù)[16-18]，Copula函數(shù)參數(shù)θ和Kendall秩相關(guān)系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式見(jiàn)表1。設(shè)計(jì)暴雨降雨量Rp遭遇潮位區(qū)間(Z1,Z2)的概率作為設(shè)計(jì)暴雨和潮位遭遇的組合概率，計(jì)算公式為

P(R≥RP,Z1≤Z≤Z2)=F(Z2)-F(RP,Z2)-F(Z1)+F(RP,Z1)

(1)

式中：R——降雨量；Z——潮位；F(Z1)——潮位Z1的邊際分布函數(shù)值；F(Z2)——潮位Z2的邊際分布函數(shù)值；F(RP,Z1)——設(shè)計(jì)暴雨降雨量Rp與潮位Z1的聯(lián)合分布概率；F(RP,Z2)——設(shè)計(jì)暴雨降雨量Rp與潮位Z2的聯(lián)合分布概率。

設(shè)計(jì)潮位Zp遭遇雨量區(qū)間(R1,R2)的概率作為設(shè)計(jì)潮位和雨量遭遇的組合概率，計(jì)算公式為

P(Z≥ZP,R1≤R≤R2)=F(R2)-F(ZP,R2)-F(R1)+F(ZP,R1)

(2)

式中：F(R1)——雨量R1的邊際分布函數(shù)值；F(R2)——雨量R2的邊際分布函數(shù)值；F(ZP,R1)——設(shè)計(jì)潮位Zp與雨量R1的聯(lián)合分布概率；F(ZP,R2)——設(shè)計(jì)潮位Zp與雨量R2的聯(lián)合分布概率。

2.2 參數(shù)估計(jì)及擬合度檢驗(yàn)

Copula模型選擇主要包括離差平方和最小準(zhǔn)則(OLS)法、BIC法和 AIC信息準(zhǔn)則法[7]，本文選取常用的OLS法，其計(jì)算公式為

(3)

式中：DOLS——離差平方和；Pei——聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)概率；Pi——聯(lián)合理論概率；i——數(shù)據(jù)系列序號(hào)；n——系列長(zhǎng)度。

降雨量R和潮位Z的觀測(cè)樣本序列組按降雨量從小到大排列依次為：(R1,Z1)，…，(Rj,Zj)，…，(Ri,Zi)，…，(RN,ZN)，經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布概率計(jì)算公式如下：

(4)

式中：Nml——聯(lián)合觀測(cè)值樣本中滿(mǎn)足(Rj≤Ri，Zj≤Zi)的數(shù)據(jù)對(duì)個(gè)數(shù)；N——總的數(shù)據(jù)對(duì)個(gè)數(shù)。

3 聯(lián)合分布函數(shù)的構(gòu)建

3.1 參數(shù)估計(jì)

邊際分布函數(shù)采用水利計(jì)算中規(guī)定的P-Ⅲ型分布函數(shù)[19]，矩法計(jì)算均值Ex、變差系數(shù)Cv和偏差系數(shù)Cs的初值，根據(jù)綜合目估適線法調(diào)整不同時(shí)段曲線間的關(guān)系，分別繪制組合概率P與降雨量R、潮位Z的關(guān)系圖，如圖1所示，參數(shù)計(jì)算結(jié)果如表2所示。表2中R1d為年最大1 d降雨量；R3d為年最大3 d降雨量；R7d為年最大7 d降雨量；Z1d為R1d相應(yīng)時(shí)段的最大潮位；Z3d為R3d相應(yīng)時(shí)段的最大潮位；Z7d為R7d相應(yīng)時(shí)段的最大潮位。

圖1 邊際分布曲線Fig.1 Marginal distribution curves

表2 邊際分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表3 Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)

根據(jù)實(shí)測(cè)值求得各個(gè)組合的秩相關(guān)系數(shù)τ，由τ和θ的關(guān)系(表1)可以求得參數(shù)θ(表3)，R1d與Z1d、R3d與Z3d、R7d與Z7d的秩相關(guān)系數(shù)分別為0.392、0.348和0.428，3種組合均成正相關(guān)，故可以用Archimedean Copula函數(shù)進(jìn)行聯(lián)合分布計(jì)算。采用最小準(zhǔn)則法進(jìn)行精度檢驗(yàn)，相關(guān)計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表3。

由表3可知，聯(lián)合分布中，F(xiàn)rank Copula函數(shù)的DOLS值最小，表明其擬合效果最佳，故采用Frank Copula函數(shù)進(jìn)行聯(lián)合分布計(jì)算。將R1d與Z1d、R3d與Z3d、R7d與Z7d的經(jīng)驗(yàn)累積概率和理論累積經(jīng)驗(yàn)概率繪制在一張圖上，如圖2所示。

圖2 經(jīng)驗(yàn)累積概率和理論累積概率比較Fig.2 Comparison of empirical and theoretical cumulative probabilities

由圖2可以看出，經(jīng)驗(yàn)累積概率和理論累積概率的點(diǎn)距基本成一條45°的直線，說(shuō)明所建聯(lián)合分布模型合理。R1d與Z1d、R3d與Z3d、R7d與Z7d的DOLS值分別為0.108 3、0.086 7和0.088 7，經(jīng)驗(yàn)概率和理論概率計(jì)算值擬合比較好，故可以采用Frank Copula函數(shù)進(jìn)行流域暴雨和潮位的聯(lián)合分布計(jì)算。

3.2 聯(lián)合分布參數(shù)計(jì)算

由表2中的邊際分布參數(shù)可以求得不同量級(jí)雨量、潮位所對(duì)應(yīng)的邊際分布函數(shù)。由表3可以得到Copula函數(shù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，根據(jù)擬合結(jié)果選取Frank Copula函數(shù)為聯(lián)合分布函數(shù)。由Frank Copula函數(shù)關(guān)系式及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ，繪制這3種組合的聯(lián)合分布圖(圖3)，從圖3可以查出任意量級(jí)的雨量、潮位組合的聯(lián)合分布概率。

圖3 聯(lián)合分布Fig.3 Joint distribution

4 各量級(jí)降雨潮位遭遇組合分析

4.1 設(shè)計(jì)暴雨與各量級(jí)潮位遭遇組合分析

由表2中R1d與Z1d、R3d與Z3d、R7d與Z7d的邊際分布參數(shù)，計(jì)算不同重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)值。分別取重現(xiàn)期為100 a、50 a、20 a、10 a的暴雨作為設(shè)計(jì)值，由式(1)求得設(shè)計(jì)暴雨與各量級(jí)潮位的聯(lián)合分布概率，分別繪制1 d、3 d、7 d不同重現(xiàn)期設(shè)計(jì)暴雨遭遇各量級(jí)潮位的組合概率圖，如圖4所示。

由圖4可以看出：(a)同量級(jí)潮位，暴雨重現(xiàn)期越小遭遇概率越大；(b)以0.2 m劃定不同的潮位區(qū)間，同一設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的暴雨與各潮位區(qū)間的遭遇概率不同；(c)由圖4(a)可知，1 d設(shè)計(jì)暴雨與其相應(yīng)各量級(jí)潮位組合時(shí)，100年一遇、50年一遇、20年一遇的設(shè)計(jì)暴雨遭遇概率最大的潮位區(qū)間為(8.2,8.4)，對(duì)應(yīng)于約5年一遇的設(shè)計(jì)潮位，10年一遇設(shè)計(jì)暴雨遭遇概率最大的潮位區(qū)間為(8.0,8.2)，對(duì)應(yīng)于約4年一遇的設(shè)計(jì)潮位；(d)由圖4(b)可知，3 d設(shè)計(jì)暴雨與其相應(yīng)各量級(jí)潮位組合時(shí)，100年一遇、50年一遇、20年一遇、10年一遇的設(shè)計(jì)暴雨遭遇概率最大的潮位區(qū)間為(8.4,8.6)，對(duì)應(yīng)于約5年一遇的設(shè)計(jì)潮位；(e)由圖4(c)可知，7 d 設(shè)計(jì)暴雨與其相應(yīng)各量級(jí)潮位組合時(shí)，100年一遇設(shè)計(jì)暴雨遭遇概率最大的潮位區(qū)間為(8.8,9.0)，對(duì)應(yīng)于約9 a一遇的設(shè)計(jì)潮位，50年一遇、20年一遇、10年一遇的設(shè)計(jì)暴雨遭遇概率最大的潮位區(qū)間為(8.6,8.8)，對(duì)應(yīng)于約7年一遇的設(shè)計(jì)潮位。

4.2 設(shè)計(jì)潮位與各量級(jí)雨量遭遇組合分析

分別取重現(xiàn)期為100 a、50 a、20 a、10 a的潮位作為設(shè)計(jì)值，由式(2)求得設(shè)計(jì)潮位與各量級(jí)雨量的聯(lián)合分布概率，分別繪制1 d、3 d、7 d不同重現(xiàn)期設(shè)計(jì)潮位遭遇各量級(jí)雨量的概率圖，如圖5所示。

由圖5可以看出：(a)以15 mm劃定不同的雨量區(qū)間，同一設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的潮位與各雨量區(qū)間的遭遇概率不同；(b)由圖5(a)可知，1 d設(shè)計(jì)潮位與其相應(yīng)各量級(jí)雨量組合時(shí)，100年一遇、50年一遇、20年一遇的設(shè)計(jì)潮位遭遇概率最大的雨量區(qū)間為(125,135)，對(duì)應(yīng)于約5年一遇的設(shè)計(jì)降雨，10年一遇設(shè)計(jì)潮位遭遇概率最大的雨量區(qū)間為(105,120)，對(duì)應(yīng)于約3年一遇的設(shè)計(jì)降雨；(c)由圖5(b)可知，3 d設(shè)計(jì)潮位與其相應(yīng)各量級(jí)雨量組合時(shí)，100年一遇設(shè)計(jì)潮位遭遇概率最大的雨量區(qū)間為(180,195)，對(duì)應(yīng)于約5年一遇的設(shè)計(jì)降雨，50年一遇、20年一遇、10年一遇的設(shè)計(jì)潮位遭遇概率最大的雨量區(qū)間為(165,180)，對(duì)應(yīng)于約3年一遇的設(shè)計(jì)降雨；(d)由圖5(c)可知，7 d設(shè)計(jì)潮位與其相應(yīng)各量級(jí)雨量組合時(shí)，100年一遇設(shè)計(jì)潮位遭遇概率最大的雨量區(qū)間為(255,270)，對(duì)應(yīng)于約7年一遇的設(shè)計(jì)降雨，50年一遇、20年一遇、10年一遇的設(shè)計(jì)潮位遭遇概率最大的雨量區(qū)間為(240,255)，對(duì)應(yīng)于約6年一遇的設(shè)計(jì)降雨。

4.3 暴雨潮位組合方法對(duì)比

常用線性相關(guān)分析法檢驗(yàn)流域降雨量和潮位的相關(guān)程度，若相關(guān)關(guān)系較好，則可作為遭遇組合的基礎(chǔ)，本次統(tǒng)計(jì)篩選出流域降雨量重現(xiàn)期大于5年一遇的暴雨及其對(duì)應(yīng)潮位為研究對(duì)象。最大1 d、3 d、7 d流域暴雨重現(xiàn)期與相應(yīng)長(zhǎng)江潮位重現(xiàn)期之間的相關(guān)性系數(shù)分別為-0.24、0.28、0.91，1 d和3 d暴雨與長(zhǎng)江相應(yīng)潮位之間相關(guān)關(guān)系不顯著，而7 d暴雨與長(zhǎng)江相應(yīng)潮位的相關(guān)系數(shù)為0.91，相關(guān)關(guān)系較好，這主要是因?yàn)榱饔蚣澳暇┥嫌螀^(qū)域暴雨匯集到長(zhǎng)江南京段具有滯時(shí)，因此流域7 d暴雨與相應(yīng)長(zhǎng)江潮位可以作為概率組合的基礎(chǔ)。繪制7 d流域暴雨與長(zhǎng)江潮位重現(xiàn)期相關(guān)圖，如圖6所示。

圖4 設(shè)計(jì)暴雨量與各量級(jí)潮位組合概率Fig.4 Combined probabilities of design rainstorm and different tide level intervals

圖5 設(shè)計(jì)潮位與各量級(jí)降雨量組合概率Fig.5 Combined probabilities of design tide level and different rainfall intervals

圖6 7 d流域暴雨與長(zhǎng)江潮位相關(guān)性分析Fig.6 Correlation between 7-day rainstorm and tide level of Yangtze River

根據(jù)擬合出的流域暴雨與長(zhǎng)江潮位組合相關(guān)趨勢(shì)線，分析重現(xiàn)期100年一遇、50年一遇、20年一遇、10年一遇暴雨對(duì)應(yīng)的潮位重現(xiàn)期分別為15 a、8 a、3 a、2 a。

Frank Copula函數(shù)計(jì)算7 d重現(xiàn)期為100 a、50 a、20 a、10 a設(shè)計(jì)暴雨遭遇概率最大的潮位重現(xiàn)期為9 a、7 a、7 a、7 a。對(duì)比分析2種方法計(jì)算結(jié)果：設(shè)計(jì)暴雨重現(xiàn)期為100 a，用Frank Copula函數(shù)計(jì)算的最大概率遭遇潮位重現(xiàn)期為9 a，比用線性相關(guān)分析法計(jì)算的15 a小，F(xiàn)rank Copula函數(shù)能得到各個(gè)組合概率的大小，100年一遇設(shè)計(jì)暴雨遭遇15年一遇潮位的概率也很大；50年一遇的設(shè)計(jì)暴雨遭遇潮位重現(xiàn)期，兩種方法計(jì)算結(jié)果一致；20年一遇、10年一遇設(shè)計(jì)暴雨遭遇潮位重現(xiàn)期均小于10 a。當(dāng)暴雨潮位的相關(guān)性不顯著時(shí)，相關(guān)性分析法的使用受到限制，采用Frank Copula函數(shù)可以得到各個(gè)組合的遭遇概率，可為感潮河段防洪規(guī)劃提供科學(xué)依據(jù)。

5 結(jié) 論

a.基于Archimedean Copula函數(shù)構(gòu)建R1d與Z1d、R3d與Z3d、R7d與Z7d的聯(lián)合分布函數(shù)，經(jīng)過(guò)擬合檢驗(yàn)，可以采用擬合度最好的Frank Copula函數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算。

b.基于Frank Copula函數(shù)，對(duì)1 d、3 d、7 d設(shè)計(jì)暴雨與各量級(jí)潮位組合分析，得到不同設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)暴雨最大概率遭遇的潮位區(qū)間，對(duì)1 d、3 d、7 d設(shè)計(jì)潮位與各量級(jí)雨量遭遇組合分析，得到不同設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)潮位最大概率遭遇的雨量區(qū)間。分析結(jié)果與南京市城市防洪規(guī)劃中結(jié)論相近，表明方法合理可行，可為其他地區(qū)暴雨潮位組合計(jì)算提供參考。

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Combined analysis of rainstorm and tide level based on Copula function

WAN Yongjing1, DIAO Xiumei2, LIU Jun1, ZHOU Hong1, LUAN Mu1, LI Daiyuan3

(1.CollegeofHydrologyandWaterResources,HohaiUniversity,Nanjing210098,China;2.WaterManagementOfficeofJiangyin,Jiangyin214400,China;3.HydrologyandWaterResourcesDepartment,NanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing210029,China)

Based on the rainstorm data from the middle and lower reaches of the Chuhe River in the period from 1959 to 2010 and the tide level data at Xiaguan Station in Nanjing City, a joint distribution function of the annual maximum 1-day, 3-day, and 7-day rainstorms and the corresponding tide levels of the Yangtze River with different return periods was built based on the Copula function. The encounter probabilities of the design rainstorm and different tide level intervals and the encounter probabilities of the design tide level and different rainstorm intervals were calculated. The results are similar to conclusions in the Nanjing Urban Flood Control Planning, indicating that the calculation method is reasonable and feasible and can provide a reference for combined calculation of rainstorm and tide level.

Copula function; interval storm; tide level of Yangtze River; frequency combination; middle and lower reaches of Chuhe River

10.3876/j.issn.1000-1980.2017.03.004

2016-07-01

中國(guó)工程院重大咨詢(xún)研究項(xiàng)目(2015-ZD-07)；國(guó)家自然科學(xué)基金(41471015)

萬(wàn)永靜(1993—)，女，重慶人，碩士研究生，主要從事城市防洪與排水研究。E-mail：1043347075@qq.com

劉俊，教授。E-mail：ljhohai@163.com

TV122+3

A

1000-1980(2017)03-0211-07