數(shù)學(xué)文化題靚麗新名片

張德尚

什么是數(shù)學(xué)文化？從狹義上講，是指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、科學(xué)精神、觀點(diǎn)語(yǔ)言，以及它們的形成與發(fā)展. 從廣義上講，除上述內(nèi)容外，還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)中的人文成分，以及數(shù)學(xué)與各種文化的聯(lián)系等等.

考查數(shù)學(xué)文化，緣于功能和意義

它的意義和功能有以下幾個(gè)方面：

一、以史為鑒，傳承歷史，開辟數(shù)學(xué)未來(lái).

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的一部分，是了解古代文化和價(jià)值取向的重要途徑. 研究數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，是為了傳承數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化，少走彎路和錯(cuò)路，為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供依據(jù)和方向.

二、弘揚(yáng)中華古代數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感.

試題中出現(xiàn)的文化題大都出自中國(guó)古代的著名的數(shù)學(xué)專著，比如《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》等. 這些著作都是我國(guó)古老的文明成果，有些研究成果比國(guó)外的早了幾百年，甚至上千年，反映了古人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究水平，體現(xiàn)了前人的智慧，也說(shuō)明了我國(guó)是一個(gè)歷史悠久、文明豐盛的國(guó)度，以此增進(jìn)我們對(duì)中華民族、中華文明的自豪感和優(yōu)越感，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

三、體現(xiàn)新課標(biāo)要求，培育核心素養(yǎng).

事實(shí)上，選修課程中就有《數(shù)學(xué)史選講》，這本書較為全面地介紹了中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的演變過(guò)程，一些重大的數(shù)學(xué)事件，一些著名的數(shù)學(xué)著作，記載了一些著名的數(shù)學(xué)名題. 所以，從中選一些小問(wèn)題加以改編，來(lái)考查大家的知識(shí)和能力，反映了新課標(biāo)對(duì)高中教學(xué)的要求，增強(qiáng)同學(xué)們的人文底蘊(yùn).

四、融合高中數(shù)學(xué)知識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法.

古代數(shù)學(xué)家在研究問(wèn)題時(shí)都有一套獨(dú)到、奇妙和具有廣泛意義的方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化可以幫助大家掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)科學(xué)精神. 這也是我們現(xiàn)在提倡的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一. 古代數(shù)學(xué)名著中有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題與高中數(shù)學(xué)有聯(lián)系，因而就成了高考命題的素材. 比如女子織布問(wèn)題、牟合方蓋問(wèn)題、天池盆測(cè)雨問(wèn)題等，都涉及高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列、立體幾何中的面積和體積等相關(guān)知識(shí)，還有合情推理、排列組合知識(shí). 同時(shí)，通過(guò)這些試題融合一些數(shù)學(xué)思想與方法，比如割補(bǔ)法，等體積法，極限思想等.

五、增添試題的美感和詩(shī)意，體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.

在數(shù)學(xué)試題中增加數(shù)學(xué)文化題，不僅考查了數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想與方法，而且還增加了色彩與美感. 從而讓數(shù)學(xué)試題不再顯得枯燥乏味，讓同學(xué)們?cè)诳荚囍杏幸环N新穎、愉悅的體驗(yàn)，讓大家在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時(shí)，增強(qiáng)人文科學(xué)修養(yǎng).

抹彩數(shù)學(xué)文化，富于美感與詩(shī)意

例1 數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著許多奇妙的聯(lián)系. 詩(shī)中有回文詩(shī)，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過(guò)來(lái)讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來(lái)真是一種享受！

回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù). 如22，121，3443，94249等. 顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99. 3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.

（1）4位回文數(shù)有 個(gè)；

（2）位回文數(shù)有 個(gè).

解析 由回文數(shù)的對(duì)稱性知，4位的回文數(shù)有：. 個(gè)回文數(shù)有：個(gè).

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)的問(wèn)題用文學(xué)詩(shī)詞表達(dá)出來(lái)，真是別有一番韻味！詩(shī)中有回文詩(shī)，數(shù)中有回文數(shù)，都有結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱美. 在古代，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都用詩(shī)詞、詩(shī)歌加以表達(dá). 比如《算法統(tǒng)宗》的“儒生分書”問(wèn)題就是用詩(shī)歌描述的.

毛詩(shī)春秋周易書 九十八冊(cè)共無(wú)余

毛詩(shī)一冊(cè)三人讀 春秋一冊(cè)四人呼

周易五人讀一本 要分每樣幾多書

例2 傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù). 他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…，記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列. 可以推測(cè)：

[·][·

· ·][·

· ·

· · ·

][·

· ·

· · ·

· · · ·

][…][1][3][6][10]

（1）是數(shù)列中的第 項(xiàng)；

（2）= . （用k表示）

解析 由以上規(guī)律可知，三角形數(shù)1，3，6，10，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式為，寫出其若干項(xiàng)有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，110，發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10，15，45，55，105，110，

故.

由上述規(guī)律可猜想：，

（為正整數(shù)）

故，即是數(shù)列中的第5030項(xiàng).

答案 （1）5030 （2）為整數(shù)

點(diǎn)評(píng) “形是數(shù)的伴侶”. 三角形數(shù)、正方形數(shù)、正五邊形數(shù)等，都是構(gòu)型優(yōu)美的數(shù)，這些數(shù)本身就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 將這些“優(yōu)美的數(shù)”結(jié)合數(shù)列知識(shí)考查，真可謂融合無(wú)痕！

鏈接數(shù)學(xué)文化，融合知識(shí)與方法

例3 古希臘數(shù)學(xué)家海倫想出海倫逼近法：把某數(shù)的平方根的近似值記為，則. 如求，讓，若取得，；再取得，，反復(fù)進(jìn)行迭代就得到的近似值. 若取，用海倫逼近法求的近似值，則滿足的的最小值為（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

答案 C

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)家及其成就其實(shí)也是數(shù)學(xué)文化的一部分. 海倫逼近法是一種迭代法和極限思想.

例4 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.

解析 設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.

依題意得，即

解得，

則.

答案

點(diǎn)評(píng) 這是《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問(wèn)題，融合了等差數(shù)列知識(shí). 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最具代表性的數(shù)學(xué)著作，開創(chuàng)了用構(gòu)造算法來(lái)解決各類問(wèn)題的東方數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌道路. 著作注重算理、算法，其中有很多可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問(wèn)題.

例5 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑. “開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式. 人們還用過(guò)一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（ ）

A. B.

C. D.

解析 球的體積，從而得到，與之最接近的是D項(xiàng).

答案 D

點(diǎn)評(píng) “開立圓”是以“立圓”（球）的體積，求直徑的方法，用的公式是. 這個(gè)公式誤差很大，后來(lái)祖沖之父子求得，它是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)杰出貢獻(xiàn).

傳承數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)經(jīng)世與濟(jì)用

例6 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺. 問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（米堆為圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為尺，米堆的高為尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知斛米的體積約為立方尺，圓周率約為，估算出堆放的米約有（ ）

A. 斛 B. 斛

C. 斛 D. 斛

解析 由得，圓錐的底面半徑，則米堆的體積，所以堆放的米有：斛.

答案 B

點(diǎn)評(píng) 本題是“米谷粒分”問(wèn)題，源于《九章算術(shù)》第五章“商功”，結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)設(shè)問(wèn)，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)文化的傳承和數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng).

例7 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸.）

答案

點(diǎn)評(píng) “天池盆測(cè)雨”是《數(shù)書九章》的一個(gè)著名的問(wèn)題. 將實(shí)際生活中的測(cè)雨量問(wèn)題與立體幾何的圓臺(tái)體積結(jié)合，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化中的“數(shù)學(xué)之用”.

趣化數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)情景與味道

例8 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑. 如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.

（1）證明：.試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由.

（2）若面與面所成二面角的大小為，求的值.

答案 （1）四面體為鱉臑，四個(gè)直角分別為

（2）=

點(diǎn)評(píng) 將立體圖形在古代的別稱與立體幾何結(jié)合起來(lái)，名稱雖有些生僻，但是，不能否認(rèn)其情景的新穎有趣. 在趣味中考查了立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和二面角. 這里不妨拓展一下，在《九章算術(shù)》中，一些特殊的圖形是有一些有趣的別稱的，比如下列圖形與別稱：

“塹堵”——底面為直角三角形的直棱柱.

“陽(yáng)馬”——底面為矩形而有一棱與底面垂直的四棱錐.

“鱉臑”——底面為直角三角形而有一棱和底面垂直的三棱錐，即有四個(gè)面都為直角三角形的四面體.

“方亭”——正四棱臺(tái).

“芻童”——上下底面都為長(zhǎng)方形的棱臺(tái).

還有“芻甍（meng）”“羨除”等圖形.