著眼數(shù)學(xué)思想解讀復(fù)數(shù)問題

劉族剛++萬舒婷

盡管在新課程中《復(fù)數(shù)》僅安排4個課時，內(nèi)容只涉及四個知識點，可以說內(nèi)容少、難度低，但復(fù)數(shù)與其他章節(jié)的知識聯(lián)系緊密，極易與三角、向量、解析幾何、極坐標(biāo)等交匯，滲透著豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 本文從數(shù)學(xué)思想方法的角度，以列舉范例的形式，對復(fù)數(shù)的概念、幾何意義以及四則運算進(jìn)行解讀，以便幫助讀者更加深入地理解、掌握復(fù)數(shù)知識.

類比的數(shù)學(xué)思想

例1 下列命題中，真命題的個數(shù)為（ ）

①設(shè)，則是的充要條件；

②，；

③，或；

④若二次方程有實數(shù)根，則由可得，.

A.個 B.個 C.個 D.個

解析 由知，，所以；但由，不能得到，進(jìn)而不能得到，如，但不成立，故①錯誤. 當(dāng)時，顯然；但當(dāng)為虛數(shù)時，可能為負(fù)，也可能無大小，如，是虛數(shù)，從而無大小，故②③都錯誤. 對于方程，當(dāng)時，其根的虛實及個數(shù)可以用判別式的符號來判斷；但當(dāng)時，其根的虛實及個數(shù)不能用判別式的符號來判斷，例如方程有實根，但，故④錯誤.

答案 A

點評 不做類比，難知區(qū)別與聯(lián)系！學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，務(wù)必要強化復(fù)數(shù)與實數(shù)、復(fù)數(shù)與向量等的類比，尤其是它們的“不同”，避免出現(xiàn)知識性的低級錯誤.

函數(shù)與方程思想

例2 已知（其中是的共軛復(fù)數(shù)），，求的值.

分析 函數(shù)是自變量由實數(shù)集到復(fù)數(shù)集的推廣，盡管定義域變了，但函數(shù)的最核心要素（對應(yīng)法則）沒變，本函數(shù)的法則是自變量的倍與自變量的共軛復(fù)數(shù)之和減去.

解 設(shè)，則，

顯然，易于驗證.

∵，

∴.

又，

∴，即.

由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得，

∴.

故.

點評 函數(shù)是高中課程的主線，函數(shù)思想、方程思想滲透于各個模塊和各個章節(jié). 在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的過程中，一定要注意知識之間的聯(lián)系，習(xí)慣于用函數(shù)與方程的眼光“打量”復(fù)數(shù).

分類討論思想

例3 已知關(guān)于的一元二次方程的兩個復(fù)數(shù)根分別為，且，求實數(shù)的值.

分析 本題是一個實系數(shù)一元二次方程的根的問題. 由題意知，要用到“根與系數(shù)的關(guān)系”，但在求解時要注意根的虛實，不可想當(dāng)然.

解 因為是的根，

所以. （*）

又因為，

（1）當(dāng)，即時，，

，

將（*）代入得，.

（2）當(dāng)，即時，為共軛虛數(shù)，

不妨設(shè)，則.

則，從而.

再由知，.

故此時，或此時

綜上所述，，或.

評注 實數(shù)擴充到復(fù)數(shù)后，實數(shù)中的有些結(jié)論推廣到復(fù)數(shù)集后不一定成立，此時分類討論是解決問題的突破口.

化歸轉(zhuǎn)化思想

例4 設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則為 .

分析 本題要計算復(fù)數(shù)，必然涉及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等的知識.

解 設(shè)，

則，即為.

亦即.

由復(fù)數(shù)相等得，

則或

所以，或.

點評 復(fù)數(shù)（往往多指虛數(shù)）問題，一般都是先通過設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，后化歸轉(zhuǎn)化為實數(shù)（函數(shù)、方程、不等式等）問題進(jìn)行求解. 值得注意的是，你能看透本題答案的本質(zhì)嗎？若將本題改為求復(fù)數(shù)的平方根，你會做嗎？

數(shù)形結(jié)合思想

例5 已知復(fù)數(shù)滿足，，求值.

分析 復(fù)數(shù)的模的幾何意義、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示等，使得復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點、復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量建立起對應(yīng)關(guān)系，這些為在知識交匯處命題搭建了平臺，也為用數(shù)形結(jié)合解題提供了思路. 從幾何角度入手分析這個題，因為，所以所對應(yīng)的點都在以原點為圓心，半徑為的圓上. 再結(jié)合的實部、虛部的特殊性，不難從圖中直接觀察出復(fù)數(shù)或.

解 由得，均在單位圓上（如下圖）.

由不難找出的對應(yīng)點為，

且對應(yīng)于“和向量”，

又，

故平行四邊形為菱形，且圖中.

所以由圖可看出，，或.

故或

點評 在本題求解過程中，若設(shè)則；再根據(jù)，又可以得到兩個方程. 這樣一來，就必須解一個四元二次方程組，變量設(shè)的太多，且為二次，顯然不利于問題的解決. 所以我們在解題時，應(yīng)注意巧設(shè)，盡可能減少變量. 本題若由復(fù)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合求解，是一種很重要的思維方法.

復(fù)數(shù)集是實數(shù)集的擴充，涉及復(fù)數(shù)概念與運算的常規(guī)題型對大家來說較為容易. 但“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂”，“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法”. 在學(xué)習(xí)時，如能從數(shù)學(xué)思想的高度審視復(fù)數(shù)，解題時，你便會發(fā)現(xiàn)你自己有更多的“套路”，便會有“一覽眾山小”的感覺.