板塊整合之圓錐曲線

魏蘭

立足教材，讓知識點(diǎn)成鏈、成網(wǎng)

數(shù)學(xué)試題具有“源自教材，高于教材”“題在書外，根在書中”的特點(diǎn). 在復(fù)習(xí)中，如果我們能立足于教材、跨章節(jié)地研讀教材，就會發(fā)現(xiàn)很多體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心概念的習(xí)題原型. 例如復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線的定義時，通過深入挖掘教材的習(xí)題、例題后發(fā)現(xiàn)，教材給出了五種形式.

形式1：（橢圓、雙曲線的第一定義，選修2-1第49頁A組題1）如果點(diǎn)在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式，點(diǎn)的軌跡是什么曲線，為什么，寫出它的方程.

形式2：（橢圓、雙曲線的第二定義，選修2-1第62頁B組題3）點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡.

形式3：（選修2-1第41頁例3，第55頁探究）平面內(nèi)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上兩點(diǎn)所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線. 求點(diǎn)的軌跡，并討論的形狀與值的關(guān)系.

形式4：（選修1-1第42頁和第54頁）圓的半徑為定長，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡是什么，為什么？

形式5： 已知復(fù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則方程所表示的點(diǎn)的軌跡分別是：

（1）；

（2）.

例1 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上，兩點(diǎn)所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線. 求曲線的方程，并討論的形狀與值得關(guān)系.

答案 當(dāng)時，曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線的方程為，是圓心在原點(diǎn)的圓；當(dāng)時，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.

點(diǎn)評 通過對本例題的復(fù)習(xí)我們可以很好地掌握橢圓、雙曲線方程的四種途徑，并發(fā)現(xiàn)這兩種曲線的區(qū)別與聯(lián)系，能夠感受到圓錐曲線作為一個板塊概念的整體性，以及三種重要曲線的概念的區(qū)別.

小結(jié)提煉，讓經(jīng)驗(yàn)規(guī)律形成方法

對于圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的問題，我們通常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，按照以下步驟求解：

（1）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)與設(shè)直線方程（注意巧設(shè)方程形式或）；

（2）聯(lián)立方程組，消元得到關(guān)鍵方程（提醒：一定要考慮二次項(xiàng)系數(shù)與）；

（3）韋達(dá)定理（提醒：曲線為拋物線時，經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程更簡單）；

（4）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化，常有以下類型：

（5）化簡與計算；

（6）細(xì)節(jié)問題不能忽略：①判別式是否已經(jīng)考慮；②直線的斜率不存在或者為零的特殊情況等.

例2 如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)（4，1）. 直線交橢圓于兩個不同的點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）求的取值范圍；

（3）若直線不過點(diǎn)，求證：直線與軸圍成一個等腰三角形.

答案 （1） （2） （3）略

點(diǎn)評 “設(shè)而不求”是解決直線與圓錐曲線問題的基本方法，“代點(diǎn)作差”與“代線消元”是解決直線與圓錐曲線問題的基本途徑.

以點(diǎn)帶面，讓觸類旁通成為可能

課本中的特例?？赏茝V到一般情形，從而得到用途較廣的定理、公式，一些考題常常源于課本習(xí)題的推廣結(jié)論. 我們在復(fù)習(xí)備考時注意發(fā)揮此類特例以點(diǎn)帶面的功能，并且有意識地對例題進(jìn)行變化，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，提高思維的深度與廣度，力爭“做一題，會一 法，通一類”. 選修2-1第69頁例4，第73頁題5，顯然這道例題涉及拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，在復(fù)習(xí)中可將此例題條件變化，得到以下結(jié)論.

如圖，是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，是準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，有如下結(jié)論：① ；②；③（為的傾斜角）；；④；⑤以（或）為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑥是拋物線的切線.

其中結(jié)論③還可以變換題目背景，先將拋物線換成橢圓、雙曲線，再用極坐標(biāo)法進(jìn)行證明得到結(jié)論. 在不同圓錐曲線背景下研究相同的性質(zhì)，強(qiáng)化解決問題的通性通法，通過歸納推理、類比推理，將圓錐曲線的復(fù)習(xí)立體化，解決了將橢圓、雙曲線和拋物線分割開復(fù)習(xí)的思維誤區(qū).

例3 已知以為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)滿足，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 .

答案

點(diǎn)評 通過對拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的歸納，大家可以了解到拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，在解題中達(dá)到小題巧做的目的，從而有效節(jié)約時間. 另外，借助探究拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)的方法，可以去研究橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，最終得出圓錐曲線焦點(diǎn)弦所具備的性質(zhì)，從而培養(yǎng)類比與歸納推理的能力，形成完善的知識體系.