“圓”中滲透的數(shù)學(xué)思想

趙傳東

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的概括和總結(jié)，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)知識的提煉、升華和結(jié)晶，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂.本文就帶你到“圓”形世界去挖掘其中所蘊含的分類思想和轉(zhuǎn)化思想，領(lǐng)略其美麗的風(fēng)采.

一、圓中的分類思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在沒有明確圖形位置的情況下，符合題意的圖形可能有多種.因此在本章中應(yīng)注意圓的問題的多樣性，不要忘記分情況討論.

1.點和圓位置關(guān)系中的分類討論.

例1 如圖1，直線AB與⊙O相切于B點，C是⊙O與OA的交點，點D是⊙O上的動點（D與B、C不重合），若∠A=40°，則∠BDC的度數(shù)是（ ）.

A.25°或155° B.50°或155°

C.25°或130° D.50°或130°

【分析】點D可以在劣弧上，也可以在優(yōu)弧上.

解：當(dāng)點D在優(yōu)弧BC上時，如圖1，連接OB，∵直線AB與⊙O相切于B點，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；

當(dāng)點D在劣弧BC上時，即在D′點處，如圖1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.

∴∠BDC的度數(shù)為25°或155°.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).由于點D既可在優(yōu)弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分兩種情況討論.

2.直線和圓位置關(guān)系中的分類討論.

例2 如圖2，平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（ ）.

A.1 B.1或5 C.3 D.5

【分析】⊙P可以在y軸的左邊也可以在y軸的右邊.

解：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5.故選B.

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)的應(yīng)用等知識，由于圓P在運動過程中，既可能和y軸左邊相切，也可能和y軸右邊相切，所以要分情況討論.

3.圓與圓位置關(guān)系中的分類討論.

例3 以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓與小圓的半徑分別為3cm和1cm，若圓P與這兩個圓都相切，則圓P的半徑為 .

【分析】圓P既可以和小圓內(nèi)切同時也可以和小圓外切.

解：①若圓P與小圓外切，如圖3（1），此時圓P的半徑=[12]（3-1）=1（cm）；

②若圓P與小圓內(nèi)切，如圖3（2），此時圓P的半徑=[12]（3+1）=2（cm）.

【點評】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，雖然圓P只能和大圓內(nèi)切，但和小圓既可內(nèi)切，也可外切.所以兩圓相切，應(yīng)分情況討論.

二、圓錐中的轉(zhuǎn)化思想

例4 如圖4所示，圓錐的母線OA=8，底面的半徑r=2，若一只小蟲從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，則小蟲爬行的最短路線的長是 .

【分析】將圓錐沿一條母線剪開，其側(cè)面展開圖是一個扇形，小蟲從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，爬行的最短路線的長實際上是扇形中弦AB的長度.[AB]的長度就是圓錐的底面周長.

解：圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根據(jù)勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距離為[82].

【點評】對于立體圖形研究兩點間的最短距離，往往是先把立體圖形展開成平面圖形，再根據(jù)“在平面內(nèi)兩點之間線段最短”的性質(zhì)解決.解決的關(guān)鍵是明確展開前后有關(guān)圖形的對應(yīng)關(guān)系.

例5 如圖5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為（ ）.

A.4π B.[42π] C.8π D.[82π]

【分析】Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個圓錐，而且兩個圓錐的形狀完全相同.求所得幾何體的表面積的關(guān)鍵是求出錐體的底面半徑.

解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC繞斜邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由有公共底面的兩個相同圓錐構(gòu)成，其底面半徑為2，母線長為[22]，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，此扇形的弧長是圓錐的底面圓周長，即為2×π×2=4π，半徑是圓錐的母線長[22]，根據(jù)扇形的面積公式可求得這個圓錐的側(cè)面積為[12]×4π×[22]=[42]π，所以幾何體的表面積為[42]π×2=[82]π.故選D.

【點評】繞直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)，首先要搞清直角三角形的直角邊是圓錐的母線，斜邊上的高是圓錐的底面圓半徑.所以明確圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長、半徑與圓錐的底面圓周長、母線的對應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）