初中數(shù)學(xué)拓展性課程的有效實(shí)施

邵文鴻+毛大平

摘 要：初中數(shù)學(xué)拓展性課程的有效實(shí)施，需要從教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定、教學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)、教學(xué)模式的選取三個(gè)方面進(jìn)行.拓展性教學(xué)目標(biāo)更多地定位在“運(yùn)用”、“探索”、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”、“拓展抽象結(jié)構(gòu)”，教學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)，應(yīng)從知識(shí)點(diǎn)、思想與方法三個(gè)方面，以及教學(xué)效果、教學(xué)效益、教學(xué)效率三個(gè)維度建構(gòu)，教學(xué)模式則根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，采用活動(dòng)探究等多種模式結(jié)合，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的目的.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；拓展性課程；實(shí)施

2015年9月，浙江省教育廳發(fā)布的《關(guān)于建設(shè)義務(wù)教育拓展性課程的指導(dǎo)意見(jiàn)》，把義務(wù)教育課程分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程兩大類，基礎(chǔ)性課程指國(guó)家和地方課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的統(tǒng)一學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓展性課程指學(xué)校自主開(kāi)發(fā)開(kāi)設(shè)、供學(xué)生自主選擇的課程，這是義務(wù)教育課程體系建設(shè)的一大創(chuàng)新.它對(duì)拓展性課程的基本原則、課程的建設(shè)、課程的實(shí)施、課程的評(píng)價(jià)都提出綱領(lǐng)性的指導(dǎo).現(xiàn)在筆者從教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定、教學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)、教學(xué)模式的選取三個(gè)方面，例談初中數(shù)學(xué)拓展性課程開(kāi)發(fā)的有效實(shí)施.

一、教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中提出兩類描述教學(xué)目標(biāo)的行為動(dòng)詞：一類是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“了解”、“理解”、“掌握”、“運(yùn)用”等；另一類是描述過(guò)程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，包括“經(jīng)歷”、“體驗(yàn)”、“探索”等[1].澳大利亞著名教育心理學(xué)家比格斯及其同事用結(jié)構(gòu)特征來(lái)確定學(xué)生應(yīng)對(duì)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)反應(yīng)的層次水平，他們將學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果劃分為以下5種結(jié)構(gòu).（1）前結(jié)構(gòu).問(wèn)題解決者沒(méi)有問(wèn)題解決的相關(guān)知識(shí)，或者受其知識(shí)結(jié)構(gòu)中無(wú)益于問(wèn)題解決的知識(shí)干擾，因此沒(méi)有問(wèn)題解決的思路，這種水平稱之為前結(jié)構(gòu).（2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu).問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí)能基本找到解決問(wèn)題的思路，但只能提取或聯(lián)系已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中的單一知識(shí)點(diǎn)或單一問(wèn)題解決的通道.（3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu).問(wèn)題解決者在面對(duì)問(wèn)題時(shí)可以聯(lián)系與問(wèn)題相關(guān)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或關(guān)注到多種問(wèn)題解決的線索，但是不能對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或多種問(wèn)題解決思路整合起來(lái)解答問(wèn)題.（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).問(wèn)題解決者解決問(wèn)題時(shí)，能全面把握問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系并整合已有的知識(shí)儲(chǔ)備與問(wèn)題解決策略，來(lái)解決較為復(fù)雜的問(wèn)題情景.（5）拓展抽象結(jié)構(gòu).問(wèn)題解決者不僅能夠解決問(wèn)題，還能夠在原有的問(wèn)題基礎(chǔ)上提出更多的有意義的問(wèn)題，從而在解決問(wèn)題的過(guò)程中能學(xué)到更多的抽象性知識(shí)[2].由于問(wèn)題本身具有探索、開(kāi)放的特征，其核心要義在于提供給學(xué)生有意義自主探究學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題解決后得到的成功抑或失敗的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生一種更高層次的學(xué)習(xí)能力.

從描述結(jié)果目標(biāo)、過(guò)程目標(biāo)和結(jié)構(gòu)特征的三種目標(biāo)分類分析，由于受教學(xué)時(shí)間與空間、教學(xué)評(píng)價(jià)體系的影響，基礎(chǔ)性課程教學(xué)目標(biāo)都定位在比較淺的層次，如了解、理解、掌握，經(jīng)歷、體驗(yàn)，前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)的層次.拓展性課程則更多關(guān)注學(xué)生的差異性和選擇性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程，關(guān)注數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決的評(píng)價(jià)，則將目標(biāo)定位在運(yùn)用、探索、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、拓展抽象結(jié)構(gòu).

案例1：《從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展》（八年級(jí)上冊(cè)）第2章閱讀材料

作為基礎(chǔ)性課程的教學(xué)目標(biāo)：

（1）了解《幾何原本》第六卷命題31的內(nèi)容.

（2）理解以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關(guān)系.

作為拓展性課程的教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關(guān)系的證明過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，積累面積關(guān)系證明中問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn).

（2）在探索的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和得出規(guī)律：“在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和.”

教學(xué)評(píng)析：基礎(chǔ)性課程對(duì)閱讀材料的教學(xué)目標(biāo)定位是比較低的，它對(duì)《幾何原本》第六卷命題31的內(nèi)容僅僅要求是“了解”，它對(duì)“以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關(guān)系”只需要是“理解”，達(dá)到“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”的理解水平，也就是學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)能找到向外所作的三個(gè)正方形之間的面積關(guān)系，三個(gè)正三角形之間的面積關(guān)系，三個(gè)半圓之間的面積關(guān)系，但未能將所有找到的特征綜合起來(lái)，不能發(fā)現(xiàn)《幾何原本》第六卷命題31的結(jié)論.而這則閱讀材料作為拓展性課程進(jìn)行開(kāi)發(fā)時(shí)的教學(xué)目標(biāo)定位要求比較高，它需要“經(jīng)歷”面積證明的過(guò)程，“體會(huì)”數(shù)形結(jié)合的思想，“探索”《幾何原本》第六卷命題31的規(guī)律，達(dá)到“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”的理解水平，也就是學(xué)生能將特殊圖形的面積關(guān)系進(jìn)行整合，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》第六卷命題31的結(jié)論.

二、教學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)

拓展性課程教學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)需要從知識(shí)點(diǎn)、思想和方法這三個(gè)方面做到優(yōu)質(zhì)高效，優(yōu)質(zhì)高效的拓展性課堂需要以有效教學(xué)的三個(gè)衡量維度（教學(xué)效益、教學(xué)效果和教學(xué)效率）進(jìn)行建構(gòu)[3].教學(xué)效益指的是學(xué)生通過(guò)課堂教學(xué)后學(xué)到的東西是有價(jià)值的.教學(xué)效果指的是學(xué)生通過(guò)課堂教學(xué)后獲得實(shí)際的發(fā)展.教學(xué)效益指的是教學(xué)效果與時(shí)間和精力投入的比.這三者之間是環(huán)環(huán)相扣、螺旋上升的關(guān)系.教學(xué)內(nèi)容的載體是拓展性課程的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

案例2：《美妙的鑲嵌》（九年級(jí)上冊(cè)）第3章閱讀材料

問(wèn)題1：通過(guò)欣賞生活中美妙的鑲嵌，請(qǐng)思考用一種全等的多邊形密鋪有哪些情況？

問(wèn)題2：用一種正多邊形密鋪有哪些情況？

問(wèn)題3：用兩種正多邊形密鋪有哪些情況？

問(wèn)題4：用三種及以上正多邊形密鋪有哪些情況？

問(wèn)題5：學(xué)生根據(jù)自己的特長(zhǎng)和愛(ài)好，選擇其中的一種成果整理形式進(jìn)行分享交流.

形式1：利用全等三角形或全等四邊形拼出美妙的圖案.

形式2：將問(wèn)題（2）（3）（4）或（5）的分析過(guò)程整理出來(lái)，并配上相應(yīng)的密鋪，形成小論文.

形式3：對(duì)問(wèn)題（4）給出不同的解法.

形式4：提出新的問(wèn)題，比如：（5，5，10）只滿足在一個(gè)點(diǎn)處密鋪，不能在平面上密鋪，并用圖例展示.

教學(xué)評(píng)析：優(yōu)質(zhì)高效的拓展性課堂教學(xué)需要課堂教學(xué)效益精準(zhǔn)化，它需要教師把握《美妙的鑲嵌》課堂教學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)：平面內(nèi)正多邊形的鑲嵌方案.案例通過(guò)5個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，牢牢地將學(xué)生思維的發(fā)生發(fā)展過(guò)程與平面內(nèi)圖形的鑲嵌數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程結(jié)合起來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中積累計(jì)算一種正多邊形鑲嵌，兩種正多邊形鑲嵌，三種正多邊形鑲嵌方案的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)建立方程、不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法.課堂教學(xué)效果需要實(shí)效化，正如案例中教師通過(guò)核心問(wèn)題的設(shè)計(jì)，經(jīng)過(guò)學(xué)生合作交流、教師適時(shí)點(diǎn)撥、學(xué)生成果分享，讓學(xué)生很好地掌握平面內(nèi)正多邊形組合鑲嵌方案的計(jì)算方法，起到很好的教學(xué)實(shí)效，體現(xiàn)教師從關(guān)注教學(xué)任務(wù)的完成度轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的達(dá)成度，關(guān)注學(xué)生知識(shí)、能力和品格的實(shí)際變化.教學(xué)效益需要最優(yōu)化，它通過(guò)三個(gè)課時(shí)的探究學(xué)習(xí)，學(xué)生完整經(jīng)歷平面內(nèi)正多邊形的鑲嵌由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問(wèn)題解決過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和推理的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

三、教學(xué)模式的選取

教學(xué)模式是在一定教學(xué)思想、教學(xué)理論指導(dǎo)下，教學(xué)活動(dòng)諸要素依據(jù)一定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)所形成的一種相對(duì)穩(wěn)定而又簡(jiǎn)化的教學(xué)結(jié)構(gòu).教學(xué)模式的形成和發(fā)展，有它一定的條件和原因，目前主要有以下六種教學(xué)模式：（1）以教師講授為主，系統(tǒng)傳授與學(xué)習(xí)書本知識(shí)；（2）圍繞學(xué)習(xí)者為中心來(lái)設(shè)計(jì)教與學(xué)的活動(dòng)，讓學(xué)習(xí)者在活動(dòng)中學(xué)習(xí)；（3）設(shè)置個(gè)性化的學(xué)習(xí)情境，但是嚴(yán)格控制學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)進(jìn)程的自學(xué)輔導(dǎo)；（4）提供結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，教師作為組織者啟發(fā)學(xué)生從探索、發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)；（5）師生創(chuàng)設(shè)一定的情境活動(dòng)，讓學(xué)生在情境中默會(huì)學(xué)習(xí)；（6）教師組織以行為技能訓(xùn)練為主，學(xué)生在示范模仿中學(xué)習(xí)[4].拓展性課程教學(xué)更多的會(huì)選取第二種和第四種教學(xué)模式，或者是多樣綜合的教學(xué)模式.

案例3：《撲克牌的旋轉(zhuǎn)》（九年級(jí)上冊(cè)）第3章探究活動(dòng)

書本探究活動(dòng)：能通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)，使圖形A與圖形B重合嗎？如果用兩種圖形的運(yùn)動(dòng)呢？比如旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)和平移等.用撲克牌試一試，說(shuō)出一種方法.

教學(xué)設(shè)計(jì)：

活動(dòng)一：學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行拖動(dòng)，解答上述兩個(gè)問(wèn)題.

活動(dòng)二：教師將兩張撲克牌分開(kāi)放，問(wèn)：現(xiàn)在能用兩次變換嗎？能將兩次變換改成一次嗎？學(xué)生在幾何畫板上拖動(dòng)試驗(yàn).

活動(dòng)三：在活動(dòng)過(guò)程中提出問(wèn)題：兩個(gè)全等的幾何圖形能否通過(guò)一次圖形變換就能重合？

活動(dòng)四：得出結(jié)論：如果平面上兩個(gè)全等的圖形，方向一致時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)使得一條對(duì)應(yīng)邊重合，則其余各個(gè)角，各條線段都重合.方向相反時(shí)，有可能可以通過(guò)軸對(duì)稱變換使得重合.也就是說(shuō)，在平面上的兩個(gè)全等圖形，要么經(jīng)過(guò)一次全等變換，要么經(jīng)過(guò)兩次全等變換就可以重合.而且，這里的三角形可以推廣到四邊形、五邊形……n邊形.

教學(xué)評(píng)析：教學(xué)模式不能單一化、程式化，由于教學(xué)活動(dòng)的復(fù)雜性、教學(xué)目標(biāo)的多樣性、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的豐富性，決定教學(xué)模式既豐富多樣又整體綜合.正如《撲克牌的旋轉(zhuǎn)》案例，作為基礎(chǔ)性課程的探究活動(dòng)，教師會(huì)選用教學(xué)模式（1），以教師講授為主，系統(tǒng)傳授和學(xué)習(xí)書本知識(shí).但作為拓展性課程的內(nèi)容，則會(huì)選用教學(xué)模式（4），提供書本探究活動(dòng)“撲克牌的旋轉(zhuǎn)”這個(gè)結(jié)構(gòu)化材料，引導(dǎo)學(xué)生從“通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)，使圖形A與圖形B重合”發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題：“兩個(gè)全等的幾何圖形能否通過(guò)一次圖形變換就能重合.”在探索的過(guò)程中教師既重視設(shè)計(jì)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)積極地從活動(dòng)中學(xué)習(xí)，也重視利用學(xué)生已有知識(shí)，在教師啟發(fā)誘導(dǎo)下通過(guò)動(dòng)手操作、觀察、思考、討論、再實(shí)驗(yàn)等途徑，研究問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)事物變化的起因和內(nèi)在聯(lián)系，從中找出兩個(gè)全等圖形重合需要兩次或一次全等變換的規(guī)律，從而獲得知識(shí)并發(fā)展能力.在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中也運(yùn)用了教學(xué)模式（2），以學(xué)習(xí)者為中心，從活動(dòng)中學(xué)習(xí).這就是拓展性課程教學(xué)模式選取的特點(diǎn)，它往往需要綜合地選用多種教學(xué)模式，但我們要始終抓住數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

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