信息技術(shù)：高效數(shù)學(xué)教學(xué)的得力助手

摘要：信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標、內(nèi)容以及方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況，合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，使之成為歸納推理的助手、探索創(chuàng)新的助手、滲透數(shù)學(xué)思想方法的助手，有效地改進教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)思維導(dǎo)圖動態(tài)幾何

最近，筆者在中國知網(wǎng)上檢索主題“高效教學(xué)”，發(fā)現(xiàn)論文有800多篇；檢索主題“高效教學(xué)”并且包含“數(shù)學(xué)”，發(fā)現(xiàn)論文有20多篇；檢索主題“高效數(shù)學(xué)教學(xué)”并且包含“信息技術(shù)”，發(fā)現(xiàn)論文為0篇。從這組數(shù)據(jù)可以看出，目前對“高效教學(xué)”的研究還沒有大面積展開，理論研究的成果還不是太多，尤其是與具體學(xué)科（如數(shù)學(xué)）的融合還不夠。本文將從運用信息技術(shù)這一角度，談?wù)勅绾芜M行高效數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、高效數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵

吳增生的《3B教育理念下的數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略初探》一文認為，高效教學(xué)指的是通過教師組織引導(dǎo)，所有學(xué)生都產(chǎn)生高效率學(xué)習行為的課堂生態(tài)系統(tǒng)。高效率的核心是在單位時間里取得學(xué)習的高收益，即盡可能好的學(xué)習效果。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是更關(guān)注基于腦、適于腦和發(fā)展腦的教育。王光明教授在《高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的歸因》《高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征》兩文中指出，高效的數(shù)學(xué)教學(xué)是通過優(yōu)化教學(xué)行為，將各個環(huán)節(jié)高效地整合到一起，促進學(xué)生高效地參與數(shù)學(xué)學(xué)習，并獲得優(yōu)秀的認知成績、良好的認知結(jié)構(gòu)、積極的數(shù)學(xué)學(xué)習情感、較強的效率意識、濃厚的理性思維、較強的數(shù)學(xué)學(xué)習能力的行為。高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為與低效教學(xué)行為相比，應(yīng)該凸顯科學(xué)性、智慧性與藝術(shù)性等特征。高效數(shù)學(xué)教學(xué)往往都是在研究教材和學(xué)生的基礎(chǔ)上，考慮如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境與問題。楊田、王廣輝在《透視高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為》一文中指出，高效數(shù)學(xué)教學(xué)有清晰的教學(xué)流程、豐富的教學(xué)語言、精選的教學(xué)問題，輔助教學(xué)行為有真誠的教師情感、深入的課堂交流……筆者認為，高效數(shù)學(xué)教學(xué)是一種理想的追求，它不能只停留在某一節(jié)課或某幾節(jié)課的高效上，更應(yīng)關(guān)注的是長遠的、能促進學(xué)生終身發(fā)展和幸福成長的高效。

二、信息技術(shù)：時代的需求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》在基本理念中指出：信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施，應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效。同時，要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，盡可能使用科學(xué)型計算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺，加強數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合；鼓勵學(xué)生運用計算機、計算器進行探索和發(fā)現(xiàn)。

祁平的《新課程背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考》一文呼吁，現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)上的應(yīng)用要在有效性上下功夫，要成為完善和改進傳統(tǒng)教學(xué)方法（手段）、提高教學(xué)效率的現(xiàn)代“技術(shù)”。教師要正確處理好“傳統(tǒng)”與“現(xiàn)代”的關(guān)系，讓技術(shù)的運用科學(xué)有效，并使學(xué)生經(jīng)歷 “無圖語言→有圖語言→動感圖語言→無圖語言”的思維過程，這樣學(xué)生對概念的認識才更為深刻。

楊田、王廣輝的《透視高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為》一文指出，應(yīng)把控制好課件展示的時機，把多媒體作為學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，使學(xué)生有更多的時間投入到探索性的數(shù)學(xué)活動中去。

由此可以看出，如果能充分發(fā)揮信息技術(shù)這一得力助手的作用，定能有效促進高效數(shù)學(xué)教學(xué)工作的開展。

三、信息技術(shù)：高效數(shù)學(xué)教學(xué)的得力助手

常見的信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)發(fā)揮了一定的作用。比如，函數(shù)圖像的教學(xué)中，可以避免大量重復(fù)的畫圖過程；正方體側(cè)面展開的動畫呈現(xiàn)豐富了學(xué)生的直覺感知；一些隨機試驗（如模擬蒲豐投針計算π的近似值）得以在課堂內(nèi)實現(xiàn)……這些靜態(tài)和動態(tài)的演示極大地提高了數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，但這只是淺層次的高效數(shù)學(xué)教學(xué)，我們更需要的是那些深層次的，能促進學(xué)生思考、啟迪學(xué)生思維、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的高效數(shù)學(xué)教學(xué)。

（一）歸納整理的助手

以思維導(dǎo)圖（iMindMap）軟件為例，它是歸納整理的得力助手。在數(shù)學(xué)教學(xué)開始階段，思維導(dǎo)圖就是一張很好的“知識地圖”；在數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)束階段，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生良好知識體系的形成——學(xué)生通過對知識的歸納整理，使概念之間的聯(lián)系更為清晰。思維導(dǎo)圖是20世紀60年代英國人托尼·巴贊創(chuàng)造的一種筆記方法，與傳統(tǒng)的直線記錄方法完全不同，以直觀形象的圖式建立起各概念之間的聯(lián)系。它往往是從一個主要概念開始，隨著思維的不斷深入，逐步建立的一個有序的、發(fā)散的圖。它是對思維過程的導(dǎo)向和記錄。學(xué)生可以通過思維導(dǎo)圖迅速掌握整個知識架構(gòu)，從而有利于直覺思維的形成，促進知識的遷移。

以余弦定理的教學(xué)為例，在該章的復(fù)習課上，師生共同合作，最后構(gòu)造出如圖1所示的思維導(dǎo)圖，由此留在學(xué)生腦海中的將是一幅有關(guān)余弦定理的美麗畫面。學(xué)生若能結(jié)合其中的主要數(shù)學(xué)思想和證明方法等，浮現(xiàn)出體現(xiàn)相應(yīng)內(nèi)容的例題或習題，他們對余弦定理的理解將更為豐滿。

（二）探索創(chuàng)新的助手

波利亞曾指出，形成過程中的數(shù)學(xué)看上去是一種實驗性的歸納科學(xué)，形成后的數(shù)學(xué)看上去是歐幾里得方式表現(xiàn)出來的一種系統(tǒng)演繹科學(xué)。技術(shù)的進步為學(xué)生自己動手、動腦再現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，獲取“做數(shù)學(xué)”的基本活動經(jīng)驗提供了更多便利的工具。幾何畫板、Z+Z智能教育平臺、GeoGebra等動態(tài)幾何軟件（DGS）中的幾何圖形設(shè)計都是以歐式幾何為理論，構(gòu)造的圖形精確而清晰，具有強大的動態(tài)性和可操作性，可以讓學(xué)生在基本的數(shù)學(xué)活動——如計算、抽象、假設(shè)（猜想）、證明、應(yīng)用、驗證、建模、提出問題并解決問題——的過程中實現(xiàn)“變異”，抓住數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，看到數(shù)學(xué)的靈魂，最終學(xué)會“做數(shù)學(xué)”。

如在復(fù)習課中，借助信息技術(shù)，可以高效地把與拋物線焦點弦相關(guān)的知識串接起來。如圖2所示，繪制拋物線y2=2px（p>0），過焦點F構(gòu)造一條直線l，l與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點。當直線l與拋物線的對稱軸垂直時，容易得到y(tǒng)1=-p，y2=p，從而有y1y2=-p2。改變直線l的傾斜角，借助幾何畫板的度量和計算功能，發(fā)現(xiàn)依然有y1y2=-p2。學(xué)生的探究欲望被激起，紛紛思考為什么。進而通過構(gòu)造點A、B在準線上的射影M、N，測量∠MFN的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)等于90°。改變直線l的傾斜角，依然有∠MFN=90°。學(xué)生中很快有人發(fā)現(xiàn)，可能會有一系列與拋物線有關(guān)的定值問題出現(xiàn)。學(xué)生的思維迅速打開，思維的深度和廣度都得以提升，繼而探索出如下一些結(jié)論。如圖3，過點A、B分別作拋物線的切線，兩切線相交于點M，有：（1）∠AMB=90°，∠MFB=90°；（2）點M的橫坐標不變，即兩切線的交點軌跡是一條直線（即拋物線的準線）。如圖2，有：A、O、N三點共線，B、O、M三點共線。有的學(xué)生借助幾何畫板中點的分離與合并功能，把焦點F替換成x軸（即拋物線對稱軸）上的一點P（x，0），其中x>0，觀察發(fā)現(xiàn)依然有x1x2、y1y2為定值這個結(jié)論……師生結(jié)合變易理論和動態(tài)幾何“變中不變”的關(guān)系，在四種變易范式（對比、分離、融合和類比）指導(dǎo)下，由動態(tài)幾何的“變”（即拖動）探尋變中之“不變”（即根據(jù)實時測量，從量的角度刻畫不變屬性），為探索創(chuàng)新提供了有力的“武器”。

又如，在三角形全等判定定理的教學(xué)中，一種大膽的教學(xué)方法如下：借助信息技術(shù)，在幾何畫板中先任意畫一個△ABC，然后讓學(xué)生畫一個與它形狀和大小都一樣的△A′B′C′。學(xué)生經(jīng)過一段時間的嘗試，得到若干種方法：

（1）如圖4，在△ABC所在平面上任取一點B′，過點B′作l1∥AB，l2∥BC。然后，以點B′為圓心，AB長為半徑畫圓，與l1相交于點A′。再以點B′為圓心，BC長為半徑畫圓，與l2相交于點C′。則△A′B′C′即為所求（當然△A′′B′C′′也是滿足要求的三角形）。

此法包含的就是“邊角邊”的判定定理。

（2）如圖5，在△ABC所在平面上任取一點B′，過點B′作l1∥BC。然后，以點B′為圓心，BC長為半徑畫圓，與l1相交于點C′。再以點B′為圓心，AB長為半徑畫圓，以點C′為圓心，AC長為半徑畫圓，兩圓相交于點A′。則△A′B′C′即為所求。

此法包含的即是“邊邊邊”的判定定理。

學(xué)生在拖動點A（或B、C）的過程中，發(fā)現(xiàn)不管原來△ABC的形狀、大小和位置如何變化，按照他們構(gòu)造的方法所繪制的三角形也同步變化（保持全等），動態(tài)感受了兩個三角形全等的判定定理。

借助信息技術(shù)營造孕育數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的可視化環(huán)境，為情境建構(gòu)了物理的模擬模型，這是一種高效的數(shù)學(xué)學(xué)習方式。它改變了定理、結(jié)論的呈現(xiàn)形式，使學(xué)生于其中獲得發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的經(jīng)驗；它在變化中凸現(xiàn)其不變性，使學(xué)生于其中獲得分析問題、解決問題的經(jīng)驗。由此，學(xué)生真正感受到信息技術(shù)給予的一種探索創(chuàng)新，體會到高效數(shù)學(xué)教學(xué)帶來的樂趣。

（三）滲透數(shù)學(xué)思想方法的助手

下面簡要以數(shù)形結(jié)合思想和極限思想為例加以闡述。

“形缺數(shù)時少直觀，數(shù)缺形時難入微”，信息技術(shù)為抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來新的生機與活力，高效地豐富了數(shù)形結(jié)合的思想。許多代數(shù)問題先借助信息技術(shù)進行幾何化，從結(jié)果著手，有了直觀認識后，再進行代數(shù)方法的求解，則會事半功倍。比如，求方程ax=logax（a>0且a≠1）的解，很多學(xué)生畫出簡單的示意圖（如圖6）后，發(fā)現(xiàn)有時有一個解，有時無解。在不借助于信息技術(shù)的條件下，是很難想象到有兩個、三個解的情況的。如果先借助幾何畫板，作出兩個函數(shù)y=ax和y=logax的圖像，然后改變參數(shù)a的值，觀察圖像的變化（如圖7），再去思考為什么，學(xué)生的研究將不再是盲目的、低效的。

信息技術(shù)改變了傳統(tǒng)的粉筆加黑板的教學(xué)方式，為極限思想的教學(xué)創(chuàng)造了有利條件。比如，在圓面積公式的推導(dǎo)中，傳統(tǒng)的方法是：教師先展示把圓面平均分成8份、16份和32份后進行拼接，然后告訴學(xué)生當分割的份數(shù)越來越多的時候，所拼成的圖形越來越接近長方形。事實上，學(xué)生對這兩個“越來越”的體會并不深刻。如果借助信息技術(shù)，在課堂上讓學(xué)生自我嘗試，當輸入的分割份數(shù)越來越多（比如從32份到64份，再到128份），呈現(xiàn)在眼前的是如圖8所示的一系列變化過程時，學(xué)生的視覺受到極大沖擊，對極限思想的感悟更為形象、高效。

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合研究已進入一個新的階段，許多學(xué)校具備了相應(yīng)的硬件設(shè)備（如電子白板、TI圖形計算器等），但是“軟件”（主要是教師對信息技術(shù)的運用）還遠遠沒有跟上。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果能恰當借助信息技術(shù)，給學(xué)生創(chuàng)造一個“做數(shù)學(xué)”的實驗環(huán)境，讓學(xué)生更多地通過數(shù)學(xué)活動過程的學(xué)習，學(xué)會猜想，學(xué)會推理，學(xué)會思維，那么高效數(shù)學(xué)教學(xué)將不再只是一種理想的追求，而是理想的不斷實現(xiàn)和超越。

參考文獻：

[1]吳增生.3B教育理念下的數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略初探[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（1）.

[2]王光明.高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的歸因[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010（5）.

[3]王光明.高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（1）.

[4]楊田，王廣輝.透視高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為——基于優(yōu)秀初中數(shù)學(xué)教師的個案研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（2）.

[5]祁平.新課程背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報，2007（2）.

[6]【英】托尼·巴贊.思維導(dǎo)圖[M].李新譯.北京：作家出版社，1999.

[7]植佩敏，馬飛龍.如何促進學(xué)生學(xué)習——變易理論與中國式教學(xué)[J].人民教育，2009（8）.

（顧新輝，南通師范高等專科學(xué)校數(shù)理系副教授，主要從事信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合研究。）