小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中滲透“雙重變量”解題思想的探索

虞偉紅

【摘要】“雞兔同籠”是經(jīng)典名題，很多版本的教材都有收錄，解決此類問題的方法也是多種的，但是每次教學(xué)效果不盡人意。本文以《雞兔同籠》一課為例，精心設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，合理安排內(nèi)容，注重滲透“雙重變量”的解題思想，挖掘出各種方法的本質(zhì)。使學(xué)生加深了對(duì)此類問題的理解，也為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆，取得了良好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】雙重變量 雞兔同籠

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）22-0201-03

一、研究背景

“雞兔同籠”作為經(jīng)典名題，在新教材中，有很多版本里都能找到。比如，北師大版安排在五年級(jí)上冊(cè)，目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)表格列舉；蘇教版六年級(jí)上冊(cè)卻是作為“假設(shè)和替換”策略的一道練習(xí)題；而人教版安排在六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中，詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實(shí)際應(yīng)用。有許多的老師對(duì)這個(gè)內(nèi)容進(jìn)行過教學(xué)實(shí)踐，有些老師甚至放到二、三年級(jí)進(jìn)行嘗試，學(xué)生的表現(xiàn)依然可圈可點(diǎn)。但是，我們課后通過追蹤了解，學(xué)生還是存在這以下的現(xiàn)象：

（一）存在的現(xiàn)象

1.現(xiàn)象一，解法理解不透

解決最基本的雞兔同籠問題，學(xué)生運(yùn)用假設(shè)法能夠達(dá)到80%以上的正確率，60%的學(xué)生可以依樣畫葫蘆寫出假設(shè)法的計(jì)算式，可是算出來的到底是雞的數(shù)量還是兔的數(shù)量有很多學(xué)生說不清楚，甚至出現(xiàn)張冠李戴的情況。

2.現(xiàn)象二，不能學(xué)以致用

學(xué)生知道題目中出現(xiàn)雞兔的是雞兔同籠問題，可是如果改變了情景，就不知道這還是雞兔同籠問題，不能進(jìn)行知識(shí)之間的遷移，不知怎么解決。進(jìn)入復(fù)習(xí)以后，學(xué)生再次碰到雞兔同籠的問題，很多學(xué)生就吃不準(zhǔn)了，“這是雞兔同籠問題嗎？”“什么是雞兔同籠問題？”種種困惑油然產(chǎn)生。

（二）現(xiàn)象的背后

1.只關(guān)注問題的結(jié)果，不注重問題的本質(zhì)

師：同學(xué)們，你是怎么解決這道題目的？

生1：我是采用列表法。

學(xué)生上臺(tái)展示自己的方法，講述自己的列表過程。

教師在整個(gè)過程中并沒有充分利用學(xué)生的資源，學(xué)生只是走過程式的找到了答案，大多數(shù)學(xué)生只是知道解決雞兔同籠問題可以用列表法，只要有序的去尋找，我們肯定能找到我們想要的答案。有相當(dāng)一部分孩子不會(huì)首選列表法，原因太麻煩，是一種比較笨的方法。

2.只關(guān)注方法的輸出，不注重方法的理解

我們回憶一下我們?cè)S多教師在上這堂課的時(shí)候是怎么介紹假設(shè)法的。我們的教師強(qiáng)調(diào)的是“假設(shè)全雞或全兔”，學(xué)生并不知道“為什么要這樣假設(shè)？”“假設(shè)法的根本思路”是什么？教師沒有作出解釋，有些教師甚至還編出了順口溜：假雞出兔；假兔出雞。所以，學(xué)生只是囫圇吐棗不知所以，之后的練習(xí)也只是依樣畫葫蘆，但是一碰到改變的情景就束手無策。筆者認(rèn)為要改變這個(gè)現(xiàn)狀，我們要去了解學(xué)生，要讓學(xué)生明白假設(shè)的依據(jù)是什么？做到知其然并知其所以然。

3.只關(guān)注方法的多樣，不注重思想的整合

解決雞兔同籠問題，不同年級(jí)可以采用不同的方法，畫圖法，列表法，假設(shè)法，方程法等，我們需要去展示這些方法但更為重要的是在我們介紹了所有的方法以后，我們應(yīng)該對(duì)解雞兔同籠的各種方法進(jìn)行溝通，找到它們之間的聯(lián)系，抓住各種方法的本質(zhì)，滲透解決雞兔同籠的思想方法。

通過以上現(xiàn)象的分析可見，在課堂中解決"雞兔同籠"這一問題方法很多，但是作業(yè)反饋情況卻不盡人意，鑒于此筆者在思考是不是要將多種方法的本質(zhì)進(jìn)行提煉，從而對(duì)這一類問題各種方法的本質(zhì)進(jìn)行整合。那么我們?cè)谡n堂上該如何操作呢？于是筆者結(jié)合自身的多年的課堂教學(xué)實(shí)踐提出了在課堂中滲透“雙重變量”的思想來整合這些方法，用這顆星星之火，去點(diǎn)燃學(xué)生思維的火把。

二、探索的過程

雞兔同籠問題有自己的明顯特征：它是把兩種事物放在一起描述，知道兩種事物的不同方面的總和而且兩事物數(shù)量之間存在著一定的差距。在初中，“雞兔同籠”問題是放在二元一次方程組解應(yīng)用題里面的，用設(shè)兩個(gè)未知數(shù)并利用數(shù)量關(guān)系式列一個(gè)方程組來解決問題，而我們小學(xué)里采用的眾多解決雞兔同籠問題的方法本質(zhì)上都是這個(gè)解法的具體應(yīng)用。我們的學(xué)生正處在由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變的階段，學(xué)生對(duì)方程陌生，對(duì)二元一次方程組更難以理解，因而筆者嘗試著在課堂上滲透“雙重變量”的思想來解決這類問題。我做了如下嘗試：

（一）主線凸顯，貫穿課堂

課的開始 先出現(xiàn)（ ）+（ ）=5，請(qǐng)學(xué)生填一填。

再出現(xiàn)（ ）×2+（ ）×4=12，也請(qǐng)學(xué)生填。

最后考慮兩個(gè)算式都符合的結(jié)果。

課的新授 把《孫子算經(jīng)》中記載的雞兔同籠問題翻譯成現(xiàn)代文再翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式：

變量一 變量二 變量一 變量二

（雞數(shù)） +（ 兔數(shù)）=35 （雞數(shù)） +（ 兔數(shù) ）=8

（雞數(shù)）×2+（ 兔數(shù)）×4=94 （雞數(shù)）×2+（ 兔數(shù)）×4=26

課的鞏固 （1）小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天可以采12個(gè)。6天后共采集蘑菇88個(gè)。求晴天有多少天？雨天呢？

變量一 變量二

（晴天） + （雨天）=6

（晴天）×20+（雨天）×12=88

（2）甲種鹽水含鹽，乙種鹽水含鹽 ，把兩種鹽水倒在一起，得到含鹽19%的鹽水100克，甲乙兩種鹽水各多少克？

變量一 變量二

（甲鹽水） + （乙鹽水）=100

（甲鹽水）× +（乙鹽水）× =100×19%

課的結(jié)束 如果你會(huì)做這樣的問題，你就能解決所有的雞兔同籠問題

變量一 變量二

X — Y =5

2X + 4Y =28

X=（ ） Y=（ ）

我的思考：鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》中說：“數(shù)學(xué)即是注重思想的科學(xué)”，“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)就在于幫助學(xué)習(xí)者逐步建立與發(fā)展一種解題思想、應(yīng)用思想、探索思想的能力。”可是我們的對(duì)象卻是以形象思維為主的一個(gè)群體，怎樣處理這個(gè)矛盾？筆者在六年級(jí)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)課上進(jìn)行了以上的教學(xué)嘗試，在整堂課中始終貫穿用“雙重變量”的思想建立等式組來描述題目的數(shù)量關(guān)系式，從而幫助學(xué)生很好的抓住了雞兔同籠問題的特點(diǎn)。

（二）深耕表格，提煉本質(zhì)

新課程改革以來，我們改變了以往單一的教材模式，出現(xiàn)了多種不同版本的教材，而且每種版本的教材在保證新課程的思想精髓的前提下，體現(xiàn)各自對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，以求更好地適應(yīng)我們的學(xué)生，順利完成既定的新課程目標(biāo)。我們教師備課時(shí)對(duì)同一教學(xué)內(nèi)容可以參考各種版本的教材，分析各教材編排的特點(diǎn)從而找到它們的優(yōu)點(diǎn)，汲取精華為我所用。比如：筆者今天講的雞兔同籠問題。

對(duì)比了人教版、北師大版、蘇教版、青島版的教材，四個(gè)版本一個(gè)最大的相同點(diǎn)是都介紹了列表法。列表法的本質(zhì)其實(shí)就是通過不斷改變“雙重變量”，獲得各種相應(yīng)結(jié)果，從而找到符合問題的答案。列表法的具體方法如下：

1.雞兔同籠，共有8個(gè)頭，26條腿。籠子里各有幾只雞，幾只兔？

逐

師：觀察表格你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：腳有變化，增加1只雞，腳卻少了2只。

生2：我發(fā)現(xiàn)增加1只雞減少1只兔，腳的總數(shù)減少了2只。

生3：嗯，兔增加1只雞減少1只，腳的總數(shù)反而增加了2只。

師：如果要增加8只腳，應(yīng)該把幾只雞變成幾只兔？如果要減少8只呢？怎么辦

……

2.出現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠問題。

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

……

（1）交流填的方法。（2）你能不用表格知道答案嗎？

…………

通過研究，筆者的目的之一就是想讓學(xué)生通過列表，經(jīng)歷嘗試調(diào)整的過程，發(fā)現(xiàn)“雙重變量”中增減一個(gè)變量所引起的變化規(guī)律：當(dāng)多一只兔，少一只雞，總腿數(shù)就會(huì)多兩只，反之當(dāng)多一只雞，少一只兔，總腿數(shù)就會(huì)少兩只。在展示交流的時(shí)候，學(xué)生就自己說了“我發(fā)現(xiàn)100比94多了6，而每次多一只雞少一只兔就少2只腳，我就直接加了3雞?！蓖ㄟ^學(xué)生的說，我們有理由相信學(xué)生已將發(fā)現(xiàn)的“雙重變量”中增減一個(gè)變量所引起的變化規(guī)律自覺的應(yīng)用到活動(dòng)中，經(jīng)過他的表述馬上有人說我兩次就出來了?！爱?dāng)兔有1，雞有34，腳72比94少22，1雞變1兔腳多2，22里有11個(gè)2，就直接上兔12，就OK了?！鼻?！我要的假設(shè)法這不就來了！“如果籠子里全是雞”的假設(shè)不恰好與表格的第一列聯(lián)系上了嗎？再如“假設(shè)全都是兔，”那不正好就是表格最后一列的情況嗎？我們不難發(fā)現(xiàn)四版教材列表法的本質(zhì)就是對(duì)具體的“雙重變量”的研究。

（三）替換再現(xiàn)，撥云見日

【片段1】每次學(xué)生學(xué)習(xí)過雞兔同籠的問題，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)采用假設(shè)法解題，下表是我在教學(xué)了《雞兔同籠》這一課后做的一個(gè)抽樣統(tǒng)計(jì)：

雞兔同籠，共有8個(gè)頭，26條腿，雞有幾只？兔有幾只？ 列表 畫圖 假設(shè)法 方程法 不會(huì)

4% 8.3% 85% 1.2% 1.5%

從表格的數(shù)據(jù)可以看出假設(shè)法還是挺受歡迎的，但是每次對(duì)那些采用假設(shè)法的學(xué)生提問：為什么明明假設(shè)的是雞，怎么求出來的卻是兔呢？（很多學(xué)生一時(shí)難以回答，沉默；或者念念碎碎不知所云），教學(xué)中，如何突破？假設(shè)法解法，主要是兩種方法：（1）用差來理解，看看總共多出了多少腳，然后看這個(gè)里面有幾個(gè)2，得出一種動(dòng)物的只數(shù)。（2）用替換的方法，前面的假設(shè)中數(shù)量有偏差，如果太少了，就用兔子來替換雞，如果多了，就用雞來替換兔子。兩種不同的教學(xué)，用差來講解，是在同一平面上的，需要學(xué)生更多的分析數(shù)量關(guān)系的能力，而用替換的思想，是出于不同的平面上的，學(xué)生理解起來更直觀形象。同時(shí)用替換的思想的話，對(duì)于第一步除出來是什么動(dòng) 物，學(xué)生更好理解一些。筆者通過“給雞添腳”實(shí)現(xiàn)“用兔替雞”；“給兔減腿”實(shí)現(xiàn)“用雞替兔”，并且在課件上清晰重現(xiàn)這一替換過程，順暢的突破了教學(xué)難點(diǎn)。設(shè)計(jì)如下：

（1） （2）

（3） （4）

生1：因?yàn)榧僭O(shè)的全是雞，一只兔看成了雞，少算了2只腿，所以少掉的腿都是“兔腿”。

生2：所以，把少算的6條腿換回去，就成了兔子。所以，假設(shè)的是雞，求出來的是兔。

生3：反過來，假設(shè)的全是兔，求出來的是雞。

（1）

（2）

（3）

生4：嘿，我知道了，“假雞出兔”、“假兔出雞”。

師：多么精辟的發(fā)言。

……

我的思考：通過前測(cè)我們發(fā)現(xiàn)列表法對(duì)于孩子來說難度低一點(diǎn)，學(xué)生會(huì)假設(shè)法的不多，而且其中假設(shè)成雞的同學(xué)多一點(diǎn)。同時(shí)訪談中我們也發(fā)現(xiàn)學(xué)生會(huì)用假設(shè)法，但是不知道為什么假設(shè)的是雞求出來的卻是兔，假設(shè)的是兔求出來的卻是雞。對(duì)于教學(xué)難點(diǎn)：除以2，這里的2表示什么意思？是雞的腳的只數(shù)還是兔與雞的腳數(shù)的差？是假設(shè)法學(xué)生理解起來最難的地方。筆者通過重現(xiàn)替換的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)替換過程，從而體會(huì)到替換的實(shí)質(zhì)，順利突破難點(diǎn)，更好的理解假設(shè)法。

這也正好應(yīng)驗(yàn)了數(shù)學(xué)家華羅庚的一段精辟論述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀；形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。

【片段2】我發(fā)現(xiàn)大家在用假設(shè)法時(shí)，為什么要假設(shè)全部都是雞，全部都是兔？這樣假設(shè)有什么好處？

生1：這個(gè)……

生2：如果不假設(shè)全部的話，跟我們前面列表格一樣了。

師：一樣在哪里？

生2：都要考慮兩個(gè)量，要調(diào)整到符合兩個(gè)量。

生3：假設(shè)法是變成了只有一個(gè)了。兩個(gè)問題只有一個(gè)問題了。

師：那么如果不“全假設(shè)成雞”或“全假設(shè)成兔”，而是“任意假設(shè)雞兔”，例如我們假設(shè)有10只雞，25只兔，怎么辦？

生4：可以呀！此時(shí)腳數(shù)為10×2+25×4=120（只），比實(shí)際94只腳多120-94=26（只），這說明雞假設(shè)少了，而兔假設(shè)多了。

師：雞少了多少只？

生5：（120-94）÷（4-2）=13（只）

所以，雞有10+13=23（只），而兔有35-23=12（只）

………

我的思考：假設(shè)的思想是數(shù)學(xué)思維的重要模式?；凇半u兔同籠”問題模型的建立和以上的思考，假設(shè)法可以看作是解決“雞兔同籠”問題的基本方法。假設(shè)法的本質(zhì)就是消元，正因?yàn)閮蓚€(gè)事物能夠轉(zhuǎn)化成一個(gè)，所以才“全假設(shè)成雞”或“全假設(shè)成兔”。這也讓學(xué)生形成了一個(gè)固有的想法：解雞兔同籠問題就用假設(shè)法，用假設(shè)法就只有全假設(shè)雞或兔，這不利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。為此，我進(jìn)行了上面這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，一方面可以讓學(xué)生抓住雞兔同籠問題的核心怎樣進(jìn)行雞兔之間的替換，另一方面也讓學(xué)生對(duì)假設(shè)法有一個(gè)更全面的了解，一舉兩得。

（四）溝通方法，打通壁壘

到了六年級(jí)，只要接觸過雞兔同籠問題的學(xué)生，當(dāng)你問他們雞兔同籠可以有哪些解決方法的時(shí)候？他們都會(huì)給你列出很多種方法，在他們的腦海里每種方法都是孤立的，為了能讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些方法的聯(lián)系我設(shè)計(jì)了下面這一環(huán)節(jié)：

板書設(shè)計(jì)：

師：我們前面主要探究了雞兔同籠問題的各種解決方法。其實(shí)這些方法是有聯(lián)系的。

我們可以用前面列的等式組來解釋。

（雞數(shù)）+（兔數(shù)）=8 ①

（雞數(shù)）×2+（兔數(shù)）×4=26 ②

列表法：就是先把雞兔數(shù)量合起來是8的全部找出來符合等式組①，然后再利用等式②求出腳的數(shù)量，最后找到腳數(shù)是26的那一組就是我們要的答案。

假設(shè)法：

如果都是雞，那么（雞數(shù)）×2+（兔數(shù)）×2=8×2 ③

然后②-③得到：（兔數(shù)）×4-（兔數(shù)）×2=26-16

（兔數(shù)）×2=10

（兔數(shù)）= 5

（雞數(shù)）=8-5=3

如果都是兔，那么（雞數(shù)）×4+（兔數(shù)）×4=8×4 ③

然后②-③得到：（雞數(shù)）×4-（雞數(shù)）×2=32-26

（雞數(shù)）×2=6

（雞數(shù)）=3

（兔數(shù)）=8-3=5

古人的方法：

就是②÷2得到：（雞數(shù)）×2÷2+（兔數(shù)）×4÷2=26÷2

（雞數(shù)）+（兔數(shù)）×2=13 ③

③- ①：（兔數(shù)）×2-（兔數(shù)）=13-8

（兔數(shù)）=5

（雞數(shù)）=8-5=3

師：其實(shí)他們的想法是一樣的都是把兩個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)問題來解。

我的思考：解決“雞兔同籠”問題的常用方法有直觀圖示法、列表推算法、假設(shè)置換法、金雞獨(dú)立法、簡易方程法等，由于學(xué)生的認(rèn)知水平和風(fēng)格的不同，可能會(huì)出現(xiàn)上述不同的解決方法，但并非要求學(xué)生盡可能多地想出不同的解題方法進(jìn)行展示，可也不想讓學(xué)生誤認(rèn)為解雞兔同籠問題有這么多相對(duì)獨(dú)立的解題方法。為此，筆者運(yùn)用“雙重變量”的解題思想整合了這幾種方法，使得學(xué)生明確這些方法背后的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上向更高水平發(fā)展。同時(shí)，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組埋下伏筆。

三、實(shí)施成效

通過這樣的課堂設(shè)計(jì)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)雞兔同籠問題有了更深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生能自然而然的養(yǎng)成從不同的情景中找出同一結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)量模型的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)觀念。能更好的從浩瀚的數(shù)學(xué)題海中認(rèn)識(shí)此類問題，做到學(xué)而精。能清楚的理解各種方法之間的聯(lián)系，不再認(rèn)為每種方法是孤立的。能很好的領(lǐng)會(huì)雞兔同籠問題的本質(zhì)即是“雙重變量”的數(shù)學(xué)思想。以下是在期末自測(cè)中出現(xiàn)的雞兔同籠問題我們班的答題情況統(tǒng)計(jì)：

分析上表不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題方法發(fā)生了變化，他們?cè)诶斫飧鞣N方法的聯(lián)系之后，有了自己的選擇，針對(duì)不同的問題會(huì)合理選擇方法，不同的學(xué)生在雞兔同籠的解法上有了自己的成長，能給出合理的解釋。

雞兔同籠為我們廣大師生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)很好的舞臺(tái)，不同的人有不同的解題方法，運(yùn)用“雙重變量”的解題思想能更好的把雞兔同籠的解題方法進(jìn)行整合，并能為將來的學(xué)習(xí)做好鋪墊。同時(shí)“雙重變量”的解題思想又不僅僅局限于解決雞兔同籠問題，靈活運(yùn)用“雙重變量”的解題思想能夠幫助學(xué)生提升解決問題的能力，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

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[3]盧江 楊剛主編：《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》[M]，人民教育出版社，2012年5月。