不等式恒成立問題的解法初探

莊喜

[摘要]不等式恒成立問題是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)及難點(diǎn)，其涉及的知識(shí)面廣，包括導(dǎo)數(shù)、基本函數(shù)、不等式等，出題形式多樣化，對(duì)學(xué)生思維的靈活性及創(chuàng)新性有很大的要求，這些都是學(xué)生難以掌握的點(diǎn)，給解題帶來很大的挑戰(zhàn)，故對(duì)此類問題的解法進(jìn)行歸納顯得尤為重要。

[關(guān)鍵詞]不等式恒成立數(shù)形結(jié)合構(gòu)造函數(shù)分離參數(shù)

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-6058（2016）32-0062

不等式恒成立問題大都出現(xiàn)在高考的大題中，在填空題和選擇題中也常作為壓軸題出現(xiàn)，本文通過舉例介紹不同題型下所采取的不同解題方法，讓學(xué)生更好地體會(huì)解題方法，提高解題能力。

一、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法體現(xiàn)在此處就是畫出函數(shù)的圖像，利用圖像的位置關(guān)系來確定不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，學(xué)生要注意這一思想的前提是函數(shù)經(jīng)過一定的變換后所表示的是常見的數(shù)學(xué)圖像，否則不得盲目利用此方法。

點(diǎn)撥：題中通過對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行變形后畫出圖像來求解參數(shù)，使問題更加直觀地呈現(xiàn)在我們面前，這也是對(duì)問題的極大簡(jiǎn)化，在減少學(xué)生計(jì)算量的同時(shí)，還開拓學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的真正結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的精髓。

二、構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法著重體現(xiàn)在“構(gòu)造”二字，是指通過分析題中的條件及不等式關(guān)系，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，通過對(duì)新函數(shù)的求導(dǎo)等運(yùn)算，得出原不等式中參數(shù)的取值范圍。

點(diǎn)撥：本題證明采用了作差法構(gòu)造出新的函數(shù)，體現(xiàn)了構(gòu)造函數(shù)中的構(gòu)造性，常見的構(gòu)造方法還有將兩式相除或相加，這種題型描述雖然簡(jiǎn)潔，卻可以考查學(xué)生多方面的能力，正符合高考的出題理念。

三、分離參數(shù)法

分離參數(shù)是指在含有參數(shù)的不等式中，通過恒等關(guān)系的變形將所求的參數(shù)與自變量分離在不等式的兩邊，此時(shí)就變成了對(duì)參數(shù)的直接求解，使問題轉(zhuǎn)化為求只含主元函數(shù)的最值問題，分離參數(shù)法對(duì)學(xué)生的解題思路要求嚴(yán)格。

點(diǎn)撥：本題中對(duì)于參數(shù)的分離考查了學(xué)生對(duì)絕對(duì)值函數(shù)的處理方法、對(duì)三角函數(shù)變換的掌握以及整體的變換思路等多個(gè)方面，最后變量的替換也是需要學(xué)生長(zhǎng)久積累才可以看出的方法，完美地考查了學(xué)生的綜合解題能力。