攝動(dòng)落點(diǎn)預(yù)測法的快速建模與基于精度最優(yōu)的分段預(yù)測控制法

王鈺， 于紀(jì)言， 王曉鳴

(南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210094)

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攝動(dòng)落點(diǎn)預(yù)測法的快速建模與基于精度最優(yōu)的分段預(yù)測控制法

王鈺， 于紀(jì)言， 王曉鳴

(南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210094)

快速的高精度落點(diǎn)預(yù)測是實(shí)現(xiàn)高旋彈丸彈道預(yù)測修正或制導(dǎo)的關(guān)鍵，基于基準(zhǔn)彈道的攝動(dòng)(PP)預(yù)測法能夠較好地平衡計(jì)算精度與效率。為解決PP預(yù)測法難以快速適應(yīng)環(huán)境與目標(biāo)的問題，結(jié)合攝動(dòng)理論與分步逼近法實(shí)現(xiàn)初始發(fā)射條件及基準(zhǔn)彈道的快速確定，并根據(jù)理論簡化推導(dǎo)出攝動(dòng)模型參數(shù)計(jì)算方法。通過彈道仿真與無控試驗(yàn)驗(yàn)證其可行性，結(jié)果表明:該方法可快速完成發(fā)射參量計(jì)算與攝動(dòng)預(yù)測建模；與修正質(zhì)點(diǎn)彈道(MPT)預(yù)測法相比，彈道前段PP預(yù)測法預(yù)測精度較優(yōu)，彈道后段略差。綜合PP預(yù)測法與MPT預(yù)測法計(jì)算速度與精度特點(diǎn)，提出結(jié)合PP與MPT的分段預(yù)測法，經(jīng)蒙特卡洛仿真，分段預(yù)測法的修正效果相較于單一的PP或MPT預(yù)測法更優(yōu)。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 制導(dǎo)炮彈； 快速落點(diǎn)預(yù)測建模； 攝動(dòng)理論； 基準(zhǔn)彈道生成； 分段預(yù)測法

0 引言

制導(dǎo)/修正彈藥的制導(dǎo)方案主要包括彈道成型、彈道預(yù)測和彈道追蹤法[1]。對于控制效能較小的彈丸(如雙旋式彈道修正彈)，彈道預(yù)測法較為適用。彈道預(yù)測法的關(guān)鍵在于快速的、高精度的彈道落點(diǎn)預(yù)測。落點(diǎn)預(yù)測方法主要包括線性擬合和彈道積分外推方法。線性擬合方法計(jì)算速度快，輸入?yún)⒘可?，但?jì)算精度較差。為提高預(yù)測精度，Ghosh等[2]和曹營軍等[3]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的離線線性擬合方法，固定條件下其預(yù)測精度較高，但使用范圍受限。Kramer等[4]提出在線訓(xùn)練模型方案，但不適用于有控的情況。積分外推法計(jì)算精度高，但占用計(jì)算資源多、計(jì)算時(shí)間長。為簡化計(jì)算，Costello等[5]、Hain等[6-7]、李興隆等[8]提出并改進(jìn)了修正線性彈道理論，將其分別運(yùn)用于平射彈道、高旋曲射彈道、末段修正彈道，研究顯示相較于傳統(tǒng)的積分外推法其計(jì)算速度更快，但需全彈道狀態(tài)可測，實(shí)際運(yùn)用受限。為平衡在線計(jì)算速度與計(jì)算精度，李超旺等[9]、王毅等[10]和田在克等[11]提出了基于基準(zhǔn)彈道的攝動(dòng)(PP)預(yù)測法，并將其分別運(yùn)用于火箭彈和修正榴彈，均獲得較好的預(yù)測精度與修正效果。該方法使用彈道積分法求解基準(zhǔn)彈道與攝動(dòng)模型參數(shù)，根據(jù)攝動(dòng)多項(xiàng)式模型進(jìn)行在線落點(diǎn)預(yù)測?，F(xiàn)有的PP理論預(yù)測方法中模型參數(shù)均通過彈道仿真求解，特定目標(biāo)、環(huán)境下的攝動(dòng)模型參數(shù)求解需較長時(shí)間，難以滿足快速裝定要求，且對于固定目標(biāo)基準(zhǔn)彈道的確定方法均沒有仔細(xì)研究。為解決PP預(yù)測方法的環(huán)境- 目標(biāo)適應(yīng)性問題，本文基于攝動(dòng)理論提出一種針對固定目標(biāo)點(diǎn)的發(fā)射參數(shù)與基準(zhǔn)彈道快速生成方法，并根據(jù)理論簡化推導(dǎo)出攝動(dòng)模型參數(shù)快速解算方法。

1 發(fā)射參數(shù)優(yōu)化及基準(zhǔn)彈道生成

由于基準(zhǔn)彈道是PP預(yù)測法的基準(zhǔn)，其計(jì)算誤差將直接影響預(yù)測精度；由攝動(dòng)理論原理可知，實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道偏差越大，預(yù)測誤差越大；對于修正能力較弱的彈丸，為提高命中率，應(yīng)保證無控彈丸落點(diǎn)盡量接近目標(biāo)點(diǎn)。故根據(jù)射擊前實(shí)測氣象條件、目標(biāo)位置等快速計(jì)算無控落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)接近的發(fā)射參數(shù)與基準(zhǔn)彈道是提高PP預(yù)測法預(yù)測精度與命中率的關(guān)鍵。

圖1 基準(zhǔn)彈道生成流程Fig.1 Flowchart of base trajectory generation

已知發(fā)射點(diǎn)O與目標(biāo)點(diǎn)的GPS坐標(biāo)，為方便計(jì)算與控制，根據(jù)(1)式將目標(biāo)點(diǎn)GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，射向方向?yàn)閤軸的射向坐標(biāo)系。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換角度關(guān)系如圖2所示。

圖2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate transformation

(1)

式中：[xT,zT]=IT；D表示發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)在地球表面的最短距離；α表示目標(biāo)點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)連線與真北方向的夾角，向東為正；γ為坐標(biāo)北方向與真北方向間的夾角。α、D、γ只與發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)，與射向角無關(guān)，其計(jì)算公式可參考文獻(xiàn)[12]。

由于彈丸初速非連續(xù)可調(diào)，為提高能量利用效率，將發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)距離與可選擇的各彈丸初速對應(yīng)的最大射程相比較，選取最大射程稍大于發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)距離的彈丸初速值v0，在該初速下根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取參考射角與射向角。根據(jù)設(shè)定的初始參量，代入發(fā)射前實(shí)測的氣象數(shù)據(jù)，計(jì)算得參考彈道落點(diǎn)Iref=(xref,zref). 當(dāng)參考落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)偏差較大時(shí)，需調(diào)整發(fā)射參量(射角和射向角)使其接近目標(biāo)點(diǎn)，從而減小修正距離。參考落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的距離記為(xT-xref,zT-zref)=(ΔxT,ΔzT). 不考慮發(fā)射與飛行過程中的干擾及參數(shù)誤差，彈丸無控落點(diǎn)可表示為射角與射向角的函數(shù)：

IB=[x,z]=f(θ,αN).

(2)

由攝動(dòng)理論，落點(diǎn)位置可根據(jù)(3)式近似計(jì)算，其中偏導(dǎo)數(shù)可使用仿真方法依據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義(見參考文獻(xiàn)[13])近似求解。

(3)

(4)

(5)

2 PP落點(diǎn)預(yù)測方法

為適應(yīng)高旋炮彈飛行時(shí)間短、修正能力較弱的特點(diǎn)，修正/制導(dǎo)炮彈對在線計(jì)算速度、控制方法的能效要求較高。相較于彈道成型、彈道追蹤方法，落點(diǎn)預(yù)測控制法的控制能效最高[1]。為更好地平衡落點(diǎn)預(yù)測精度與計(jì)算速度，本文主要研究基于PP落點(diǎn)預(yù)測法。為提高任意環(huán)境、目標(biāo)下攝動(dòng)建模速度以滿足快速裝定要求，根據(jù)理論簡化推導(dǎo)，提出了模型參數(shù)快速計(jì)算方法。

2.1 攝動(dòng)預(yù)測模型

IA=[xIA,zIA]=f(P,v,a).

(6)

由其物理性質(zhì)可知，(6)式是連續(xù)函數(shù)，故落點(diǎn)表達(dá)式可用泰勒級數(shù)公式近似為

(7)

式中：R=[r1…rn]為落點(diǎn)方程的自變向量，[r1…rn]=[xyzvxvyvzaxayaz]；下標(biāo)B表示基準(zhǔn)彈道相關(guān)量；下標(biāo)A表示實(shí)際彈道相關(guān)量；o(RA-RB)表示與自變量相關(guān)的高階函數(shù)。由泰勒公式的性質(zhì)，在RB的鄰域范圍內(nèi)，落點(diǎn)的泰勒級數(shù)公式收斂，故當(dāng)實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道較為接近時(shí)，落點(diǎn)位置可由(7)式近似計(jì)算。

2.2 模型參數(shù)求解

PP預(yù)測法預(yù)測落點(diǎn)的關(guān)鍵在于偏導(dǎo)參數(shù)計(jì)算。為滿足發(fā)射前快速裝定的要求，本文根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，經(jīng)理論推導(dǎo)求得偏導(dǎo)參數(shù)的迭代計(jì)算公式。

2.2.1 1階位置偏導(dǎo)數(shù)

根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義，某彈道點(diǎn)對應(yīng)的?IA/?ri為

(8)

(9)

式中：vxe、vye、vze分別表示落地時(shí)彈丸速度在慣性基準(zhǔn)系x、y、z軸的投影。

2.2.2 1階速度偏導(dǎo)數(shù)

假設(shè)實(shí)際彈道vi(i為x、y或z)與基準(zhǔn)彈道僅相差Δvi，由于氣動(dòng)力與彈丸飛行速度相關(guān)，后續(xù)飛行彈道中彈丸所受氣動(dòng)力(矩)與基準(zhǔn)彈道均不相同，故需迭代求解。速度偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算流程圖如圖3所示。

圖3 速度偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算流程圖Fig.3 Calculational flowchart of partial derivation of velocity

力矩變化引起彈丸飛行姿態(tài)變化，而姿態(tài)變化又對氣動(dòng)力(矩)產(chǎn)生影響，所以需迭代求解彈丸姿態(tài)角。為簡化求解，本文選用動(dòng)力平衡角的變化量近似代替攻角變化量。動(dòng)力平衡角的矢量定義為

αR=i×(ε×i)=ε-cosδi，

(10)

式中：i、ε分別表示速度與彈軸的單位矢量；δ表示彈丸總攻角。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[14]中動(dòng)力平衡角的近似解：αR≈2(ρSdv4CMα)-1Ixpg×v，可得動(dòng)力平衡角變化量計(jì)算公式：

(11)

式中：vA和vB分別表示實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道中的相對速度，vA和vB為其矢量形式；Ix表示彈丸對x軸的慣性矩；S為彈丸迎風(fēng)面積；d表示彈丸直徑；ρ表示空氣密度；p表示彈丸滾轉(zhuǎn)角速率；g表示重力加速度；CAMα和CBMα分別表示實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道的翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)，可用CMα0+CMα2δ2近似計(jì)算，CMα0、CMα2分別為翻轉(zhuǎn)力矩對攻角的1階和3階導(dǎo)數(shù)。

由氣動(dòng)力定義可得實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道所受外力之差為

(12)

式中：Δ(f)=fA-fB，即實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道對應(yīng)的f值之差；CLα為升力系數(shù)；CD為阻力系數(shù)；Cnpα為馬格努斯力系數(shù)導(dǎo)數(shù)。將(12)式代入(10)式可得與速度、動(dòng)力平衡角相關(guān)的ΔF表達(dá)式：

(13)

t0時(shí)刻Δvi初始偏差對應(yīng)的落點(diǎn)變化量ΔI可根據(jù)(14)式迭代計(jì)算：

(14)

當(dāng)Δvi較小時(shí)，落點(diǎn)變化量相對于速度的偏導(dǎo)數(shù)可由(15)式近似求解：

(15)

2.2.3 1階加速度偏導(dǎo)數(shù)

由于隨機(jī)風(fēng)、氣動(dòng)參數(shù)誤差、控制器作用等因素，彈丸實(shí)際受力與仿真結(jié)果不完全一致，即當(dāng)基準(zhǔn)彈道與實(shí)際彈道的位置、速度一致時(shí)，由于干擾作用加速度也可能存在區(qū)別。彈道預(yù)測的目的是計(jì)算某飛行狀態(tài)下彈丸無控飛行落點(diǎn)位置，故預(yù)測段無控制力作用。因?yàn)閷?shí)測加速度偏差值包含控制力相關(guān)項(xiàng)與位置、速度偏差相關(guān)項(xiàng)，所以實(shí)際加速度偏差Δa=Δam-Δac-ΔavP，其中Δa為(7)式中的自變量偏差的加速度相關(guān)項(xiàng)，Δam表示實(shí)測彈丸加速度與基準(zhǔn)彈道對應(yīng)加速度之差，Δac表示控制力對應(yīng)的彈丸加速度，ΔavP表示速度、位置差引起的加速度差。

由于加速度偏差由擾動(dòng)引起，而干擾作用時(shí)間、變化狀態(tài)未知，故無法準(zhǔn)確計(jì)算擾動(dòng)加速度引起的落點(diǎn)偏差；Δac和ΔavP均由計(jì)算獲得，存在計(jì)算誤差；對于單衛(wèi)星測量系統(tǒng)，加速度無法直接測量，Δam存在間接測量誤差。相對而言，干擾加速度通常為小量，故忽略(7)式中加速度項(xiàng)。

2.2.4 高階偏導(dǎo)數(shù)

由定義可知n階偏導(dǎo)數(shù)可根據(jù)公式(16)計(jì)算：

(16)

式中：ri+1，…，ri+n表示I表達(dá)式中的任意n個(gè)自變量，可重復(fù)。將1階偏導(dǎo)代入(16)式即可求解任意階偏導(dǎo)數(shù)。

3 PP預(yù)測法仿真分析

為驗(yàn)證上述理論的可行性，對155 mm彈丸進(jìn)行仿真，彈丸參數(shù)如表1所示，其中l(wèi)CG表示舵翼控制力作用點(diǎn)與全彈質(zhì)心的軸向距離。仿真主要包括：

表1 155 mm彈丸參數(shù)表Tab.1 Parameters of 155 mm caliber projectile

1)基準(zhǔn)彈道生成(基于2.1節(jié)方法)；

2)不同階數(shù)攝動(dòng)模型對比；

3)攝動(dòng)理論模型建立速度(基于2.2節(jié)方法)，及其在仿真與無控試驗(yàn)下的落點(diǎn)預(yù)測精度。

3.1 基準(zhǔn)彈道生成

為評估基準(zhǔn)彈道生成方法的可行性、精度及計(jì)算速度，假設(shè)發(fā)射點(diǎn)GPS坐標(biāo)為[東經(jīng)105°，北緯38°]；目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)為[東經(jīng)104°50′，北緯38°10′]. 選取初始射向角：北偏西41°，由(1)式求得發(fā)射系下目標(biāo)位置：[23 570 m，1 171 m]. 由目標(biāo)點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的距離選擇彈丸初速805 m/s(最大射程約25 km)，初始射角45°. 氣象條件為無控飛行試驗(yàn)實(shí)測的氣象數(shù)據(jù)。落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)距離閾值設(shè)置為30 m.

為選取合適的分步優(yōu)化自變量區(qū)間，在參考點(diǎn)θref=40°、αNref=-40.4°處建立模型(見(3)式)，根據(jù)模型求解不同Δθ、ΔαN對應(yīng)的射程、橫偏預(yù)測值，并與相同條件下的仿真落點(diǎn)比較。不同Δθ、ΔαN對應(yīng)的射程、橫偏預(yù)測誤差分別如圖4和圖5所示。

圖4 Δθ、ΔαN射程預(yù)測誤差圖Fig.4 Δθ,ΔαN versus prediction error of range

圖5 Δθ、ΔαN橫偏預(yù)測誤差圖Fig.5 Δθ,ΔαN versus prediction error of deflection

由圖4和圖5可知：|Δθ|和|ΔαN|越大，PP預(yù)測法預(yù)測誤差越大；射角偏差對預(yù)測的影響大于射向角偏差；射向角偏差對射程預(yù)測的影響大于橫偏；當(dāng)|Δθ|<5°且|ΔαN|<5°時(shí)，PP預(yù)測法預(yù)測總誤差小于250 m. 綜合考慮預(yù)測誤差和迭代次數(shù)，[ΔθD,ΔθU]、[ΔαND,ΔαNU]均設(shè)定為[-5°,5°]。迭代逼近過程中，每步計(jì)算結(jié)果如表2所示。發(fā)射參量優(yōu)化使用計(jì)算機(jī)(相關(guān)配置參數(shù)如表3所示)通過Matlab軟件計(jì)算，使用軟件自帶計(jì)時(shí)器測得優(yōu)化計(jì)算總耗時(shí)619.8 s.

表2 發(fā)射參量分步計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculated results of launching parameters

表3 計(jì)算機(jī)配置參數(shù)Tab.3 Computer configuration data

3.2 模型階數(shù)選擇

為研究攝動(dòng)模型的階數(shù)對落點(diǎn)預(yù)測精度的影響，從而選擇合適的模型階數(shù)，分別使用1階、2階、3階模型對彈道落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測，其落點(diǎn)預(yù)測誤差如圖6所示；不同階數(shù)模型參數(shù)求解與預(yù)測所用時(shí)間(計(jì)算設(shè)備如表3所示)如表4所示。

圖6 不同階數(shù)模型的PP預(yù)測法預(yù)測誤差Fig.6 Predicted errors of perturbation methods with different model orders表4 不同階數(shù)模型建模與預(yù)測時(shí)間Tab.4 Modeling and predicting time of different model orders

模型階數(shù)建模時(shí)間/s預(yù)測時(shí)間/ms11326304249657023124101325

由圖6可知，1階、2階、3階模型的彈道預(yù)測誤差均較為接近，1階模型預(yù)測精度略遜于2階、3階模型，而2階與3階模型的預(yù)測結(jié)果幾乎一致。由表 4可知，階數(shù)越高，建模與預(yù)測時(shí)間越長；1階與2階建模時(shí)間均小于1 min，預(yù)測時(shí)間均小于10 ms；3階建模時(shí)間大于2階的2倍。綜上所述，2階攝動(dòng)模型能更好地滿足計(jì)算精度與速度的需求。

3.3 模型參數(shù)求解

為驗(yàn)證2.2節(jié)攝動(dòng)模型參數(shù)求解方法的可行性，通過Matlab編程(計(jì)算設(shè)備配置見表3)，分別使用仿真解法(見參考文獻(xiàn)[9-11])與簡化解法(見2.2節(jié))求解相同基準(zhǔn)彈道、相同彈丸與環(huán)境參數(shù)情況下的2階攝動(dòng)模型參數(shù)，并比較兩種方法的計(jì)算時(shí)間與預(yù)測精度。

由于不同彈道時(shí)刻對應(yīng)的攝動(dòng)模型參數(shù)變化較大，按飛行時(shí)間每隔5 s計(jì)算一組攝動(dòng)參數(shù)，落點(diǎn)預(yù)測時(shí)根據(jù)時(shí)間插值求解。不同的參數(shù)計(jì)算方法對應(yīng)的2階攝動(dòng)模型參數(shù)計(jì)算時(shí)間如表5所示，由表可知，簡化計(jì)算方法的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于仿真方法。

表5 不同方法模型參數(shù)計(jì)算時(shí)間Tab.5 Parameters computing time of different methods

為研究簡化計(jì)算方法對彈丸落點(diǎn)預(yù)測精度的影響，比較相同情況下，不同方法建立的攝動(dòng)模型對應(yīng)的全彈道PP預(yù)測誤差，如圖7所示，其中飛行前10 s用于測量、控制系統(tǒng)初始化，故預(yù)測從10 s開始。由圖7可知飛行10 s之后，簡化算法與仿真方法計(jì)算的攝動(dòng)模型預(yù)測誤差均40 m以內(nèi)；35 s之前簡化算法誤差略大；35 s之后兩種算法對應(yīng)的預(yù)測精度近似。綜上所述，簡化的參數(shù)計(jì)算方法可在保證一定精度的前提下大幅提高建模效率。

圖7 不同參數(shù)算法的PP預(yù)測誤差Fig.7 Predicted errors of different calculation methods

3.4 無控彈道預(yù)測精度

為分析PP預(yù)測法(簡化計(jì)算參數(shù))的預(yù)測精度，分別以仿真無控彈道與無控實(shí)測彈道為實(shí)際彈道，對彈道落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測并與實(shí)際落點(diǎn)和修正質(zhì)點(diǎn)彈道積分外推(MPT)預(yù)測法預(yù)測結(jié)果比較。

3.4.1 仿真彈道預(yù)測

為分析PP預(yù)測法預(yù)測精度，通過仿真向?qū)嶋H彈道添加發(fā)射、氣象、測量等干擾，其中包括發(fā)射高低角、方向角、初速、風(fēng)速偏差、彈丸氣動(dòng)參數(shù)與GPS測量誤差，各項(xiàng)干擾均為零均值正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差如表6所示。200組該隨機(jī)干擾下無控彈道的全彈道2階PP預(yù)測法預(yù)測值，每組彈道對應(yīng)的實(shí)際與基準(zhǔn)彈道落點(diǎn)距離、10 s和40 s后最大預(yù)測誤差如圖8所示，為方便觀察分析，200組數(shù)據(jù)按實(shí)際與基準(zhǔn)彈道落點(diǎn)距離遞增順序排列。

表6 發(fā)射、飛行與測量干擾參量表Tab.6 Launching, flight and measurementinterference parameters

圖8 不同無控仿真彈道預(yù)測誤差Fig.8 Prediced errors of different uncontrolled trajectories

由圖 8可知：

1)實(shí)際落點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)距離最大為555 m，10 s后的最大預(yù)測誤差為128 m，40 s后最大預(yù)測誤差為43 m;

2)每組彈道40 s后最大預(yù)測誤差均小于10 s后的最大誤差，則預(yù)測誤差隨時(shí)間推移逐漸減??；

3)隨實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道落點(diǎn)距離增大，40 s與10 s后的最大預(yù)測誤差均沒有明顯變大趨勢，可見預(yù)測誤差與實(shí)際彈道—基準(zhǔn)彈道落點(diǎn)距離無明顯關(guān)系。

保持實(shí)際彈道其余發(fā)射與飛行參量不變，分別改變實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道初始速度、射向角、射角之差，預(yù)測誤差分別如圖 9、圖 10和圖 11所示。

圖9 不同初速差下無控彈道預(yù)測誤差Fig.9 Predicted errors of uncontrolled trajectories with different launch velocities

圖10 不同射向角下無控彈道預(yù)測誤差Fig.10 Prediction errors of uncontrolled trajectories with different gun azimuths

圖11 不同射角下無控彈道預(yù)測誤差Fig.11 Predicted errors of uncontrolled trajectories with different gun elevations

由圖9～圖11可見：當(dāng)其余彈道干擾相同時(shí)，實(shí)際彈道與基準(zhǔn)彈道的初速差或射角差越大時(shí)，預(yù)測誤差越大；射向角偏差對落點(diǎn)距離預(yù)測誤差影響不大。

3.4.2 無控試驗(yàn)彈道預(yù)測

為驗(yàn)證實(shí)際飛行情況下PP預(yù)測法的預(yù)測精度，對實(shí)際無控飛行雷達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行全彈道落點(diǎn)預(yù)測，并與MPT預(yù)測法預(yù)測結(jié)果對比。其中PP預(yù)測法的基準(zhǔn)彈道(落點(diǎn)與實(shí)際無控落點(diǎn)偏差約200 m)及其對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)理想發(fā)射條件計(jì)算獲得；兩種模型計(jì)算的氣象條件均使用發(fā)射前測量數(shù)據(jù)，氣動(dòng)參數(shù)由氣動(dòng)仿真結(jié)合風(fēng)洞試驗(yàn)獲得。兩種模型的全彈道預(yù)測誤差如圖12所示。由圖12可知：

1)相對于MPT預(yù)測法，PP預(yù)測法預(yù)測對彈道各參數(shù)的測量誤差等干擾更敏感，故PP預(yù)測法落點(diǎn)預(yù)測值在全彈道范圍內(nèi)波動(dòng)更明顯;

2)由于彈道起始段MPT預(yù)測法對橫偏預(yù)測誤差較大，故在彈道前段其預(yù)測精度不及PP預(yù)測法；但PP預(yù)測法受干擾等情況影響明顯，彈道末段預(yù)測精度略差。

圖12 無控試驗(yàn)彈道預(yù)測誤差Fig.12 Predicted errors of uncontrolled experiment

為比較PP預(yù)測法與MPT預(yù)測法的計(jì)算時(shí)間，使用相同的計(jì)算設(shè)備(配置見表3)、相同的計(jì)算軟件(Matlab)，統(tǒng)計(jì)不同算法對應(yīng)的落點(diǎn)預(yù)測時(shí)間如表 7所示。不同起始預(yù)測時(shí)刻對應(yīng)的MPT預(yù)測法計(jì)算時(shí)間不同(表中起始計(jì)算時(shí)刻為發(fā)射時(shí)刻至落地前3 s)，而PP預(yù)測法預(yù)測時(shí)間與起始預(yù)測時(shí)刻無關(guān)。由表7可知，全彈道范圍內(nèi)，PP預(yù)測法預(yù)測時(shí)間均遠(yuǎn)小于MPT預(yù)測法。

表7 不同方法下落點(diǎn)預(yù)測時(shí)間Tab.7 Computing time of different prediction methods

4 分段預(yù)測法

根據(jù)3.4節(jié)可知，彈道前段PP預(yù)測法預(yù)測精度優(yōu)于MPT預(yù)測法，后段相反；且后段MPT預(yù)測法預(yù)測時(shí)間較前段明顯縮短，經(jīng)程序優(yōu)化可適應(yīng)在線計(jì)算要求。綜上所述，為綜合PP預(yù)測法與MPT預(yù)測法的優(yōu)勢，提出分段(PW)預(yù)測法，即彈道前段采用PP預(yù)測法，后段采用MPT預(yù)測法進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)測控制。控制指令計(jì)算公式為

(17)

(18)

式中：γc表示舵指令；φF表示提前相位角(計(jì)算方法參考文獻(xiàn)[15])；ΔI為預(yù)測落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的位置差；I(*)表示使用*法預(yù)測的落點(diǎn)位置；ts為分段時(shí)刻，根據(jù)仿真求解全彈道預(yù)測精度最優(yōu)化求解：

(19)

te表示飛行總時(shí)長，ΔIr為真實(shí)落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的位置差。

4.1 預(yù)測精度比較

為驗(yàn)證PW預(yù)測方法的預(yù)測精度，分別使用2階PP預(yù)測法、MPT預(yù)測法以及PW預(yù)測法對相同情況下的無控彈道進(jìn)行全彈道落點(diǎn)預(yù)測，實(shí)際彈道干擾如表6所示，預(yù)測結(jié)果如圖13所示，其中ts根據(jù)(19)式選為60 s. 由圖13可知，PW預(yù)測法的預(yù)測精度在全彈道范圍內(nèi)均優(yōu)于單一的PP預(yù)測法與MPT預(yù)測法。

圖13 不同預(yù)測方法對應(yīng)的無控仿真彈道預(yù)測誤差Fig.13 Predicted errors of uncontrolled trajectory simulation of different methods

4.2 控制效果比較

為比較不同控制方法對彈丸落點(diǎn)的控制效果，使用蒙特卡洛法(500個(gè)樣本點(diǎn))分別計(jì)算相同彈道干擾條件下(如表6所示)，無控與不同預(yù)測模型(2階PP、MPT、PW)對應(yīng)的有控落點(diǎn)分布情況。3種預(yù)測控制方法起控時(shí)間均為40 s，控制指令更新周期均為0.1 s，φF為155°，ts為60 s. 無控、PP預(yù)測法、MPT預(yù)測法與PW預(yù)測法預(yù)測控制的落點(diǎn)散布分別如圖14～圖17所示；對應(yīng)的圓概率誤差(CEP)、落點(diǎn)- 目標(biāo)平均距離如表8所示。

圖14 無控落點(diǎn)散布圖Fig.14 Impact dispersion of uncontrolled projectiles

圖15 2階PP預(yù)測法預(yù)測控制落點(diǎn)散布圖Fig.15 Impact dispersion of projectiles controlled by PP method

由圖14～圖17與表8可知，PP預(yù)測法、MPT預(yù)測法與PW預(yù)測法均能有效減小彈丸散布，并使彈丸靠近目標(biāo)點(diǎn)；落點(diǎn)CEP值MPT預(yù)測法>PP預(yù)測法>PW預(yù)測法；落點(diǎn)- 目標(biāo)平均距離MPT預(yù)測法>PP預(yù)測法>PW預(yù)測法。綜上所述，PP預(yù)測法修正效果優(yōu)于MPT預(yù)測法；而PW預(yù)測法略優(yōu)于PP預(yù)測法。但由于修正能力(40 s起控該彈丸修正能力約為300 m)不足，3種預(yù)測方法均難以將偏差較大的落點(diǎn)修正至目標(biāo)點(diǎn)附近；可考慮通過增大控制力或提前修正的方式增大彈丸控制能力，以改善修正效果。

圖16 MPT預(yù)測法預(yù)測控制落點(diǎn)散布圖Fig.16 Impact dispersion of projectiles controlled by MPT method

圖17 PW預(yù)測法預(yù)測控制落點(diǎn)散布圖Fig.17 Impact dispersion of projectiles controlled by PW method表8 不同情況下落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量Tab.8 Statistics of impact-points in different conditions

方法CEP/mΔX/mΔZ/m無控14216-19649-2114PP預(yù)測法3917-2466037MPT預(yù)測法4918-38642041PW預(yù)測法3534-2224521

5 結(jié)論

本文建立了基于攝動(dòng)理論、逐次逼近優(yōu)化求解方法的基準(zhǔn)彈道與發(fā)射條件快速求解方法；并根據(jù)理論近似推導(dǎo)，提出了攝動(dòng)模型偏導(dǎo)數(shù)的快速計(jì)算方法。該方法能有效縮短在線彈道預(yù)測與發(fā)射前準(zhǔn)備時(shí)間，為PP落點(diǎn)預(yù)測方法的實(shí)際運(yùn)用提供基礎(chǔ)。通過仿真分析攝動(dòng)預(yù)測精度與速度特點(diǎn)，并與MPT預(yù)測法比較，從而提出綜合PP預(yù)測法與MPT預(yù)測法的PW預(yù)測方法。

經(jīng)彈道仿真與無控飛行試驗(yàn)驗(yàn)證可知：

1)基于攝動(dòng)理論的基準(zhǔn)彈道求解方法可在620 s內(nèi)生成落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)距離小于30 m的基準(zhǔn)彈道。

2)綜合考慮計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度，2階攝動(dòng)測模型較優(yōu)。

3)根據(jù)理論簡化推導(dǎo)的PP預(yù)測快速建模方法，可在50 s內(nèi)完成已知基準(zhǔn)彈道與環(huán)境參數(shù)下的2階攝動(dòng)模型建模，計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于仿真計(jì)算方法。

4)表6對應(yīng)的干擾條件下，簡化方法建立的攝動(dòng)模型，預(yù)測誤差有明顯收斂性，且40 s之后預(yù)測誤差均小于50 m；相比于MPT預(yù)測法，PP預(yù)測法計(jì)算時(shí)間明顯縮短，彈道前段預(yù)測精度更優(yōu)，后段略差。

5)蒙特卡洛仿真分析可知相較于單一的PP預(yù)測法或MPT預(yù)測法，PW預(yù)測法的控制效果更優(yōu)。

References)

[1] John W C, Robinson. On guidance and control for guided artillery projectiles, Part 1: general considerations, FOI-R-3291-SE[R]. Sweden: Swedish Defence Research Agency， 2011.

[2] Ghosh A K, Prakash O. Neural models for predicting trajectory performance of an artillery rocket[J]. Journal of Aerospace Computing, Information and Communication, 2004, 1(2): 112-115.

[3] 曹營軍, 朱宗平,李麗春, 等. 基于BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的末修彈落點(diǎn)預(yù)測導(dǎo)引模式[J]. 彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào), 2011, 31(6): 76-78. CAO Ying-jun, ZHU Zong-ping. LI Li-chun, et al. Impact point prediction guidance mode of terminal trajectory correction projectile based on BP artificial neural networks[J]. Journal of Projectile, Rockets, Missile and Guidance, 2011, 31(6):76-78. (in Chinese)

[4] Kramer K A, Stubberud S C. Impact time and point predicted using a neural extended Kalman filter[C]∥The 2nd International

Conference on Intelligent Sensors, Sensor Networks and Information Processing. Melbourne, Australia: IEEE, 2005.

[5] Costello M, Peterson A. Linear theoty of a dual-spin projectile in atmospheric flight[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2000, 23(5):789-797.

[6] Hainz L C, Costello M. Modified projectile linear theory for rapid trajectory prediction[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(5): 1006-1014.

[7] Hainz L C, Costello M. In flight projecitle impact point prediction[C]∥Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit. Providence, RI, US: AIAA, 2004.

[8] 李興隆, 賈方秀, 王曉鳴, 等, 基于線性彈道模型的末段修正彈落點(diǎn)預(yù)測[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2015, 36(7):1188-1194. LI Xing-long, JIA Fang-xiu, WANG Xiao-ming. Impact point prediction of terminal correction projectile based on linear trajectory model[J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(7):1188-1194. (in Chinese)

[9] 李超旺, 高敏, 宋衛(wèi)東. 基于攝動(dòng)原理的火箭彈落點(diǎn)實(shí)時(shí)預(yù)測[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2014, 35(8):1164-1171. LI Chao-wang, GAO Min, SONG Wei-dong. Real-time impact point prediction of rocket projectile based on perturbation theory[J]. Acta Armamentarii, 2014, 35(8): 1164-1171.(in Chinese)

[10] 王毅, 宋衛(wèi)東, 宋謝恩, 等. 基于攝動(dòng)理論的彈道修正榴彈落點(diǎn)偏差預(yù)測[J]. 彈道學(xué)報(bào), 2015, 27(3): 18-23. WANG Yi, SONG Wei-dong, Song Xie-en. Impact-point prediction of trajectory-correction grenade based on perturbation theory[J]. Journal of Ballistics, 2015,27(3): 18-23. (in Chinese)

[11] 田在克, 楊鎖昌, 馮德龍, 等. 基于攝動(dòng)理論的落點(diǎn)預(yù)測算法研究 [J]. 現(xiàn)代防御技術(shù), 2014, 42(3):86-90. TIAN Zai-ke, YANG Suo-chang, FENG De-long, et al. Impact point prediction algorithm based on perturbation theory[J]. Modern Defence Technology, 2014, 42(3):86-90. (in Chinese)

[12] 邱冬煒. GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)模型的研究[D]. 北京: 北京交通大學(xué), 2005:22-27. QIU Dong-wei. Research of GPS coordinate system transformation model[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2005: 22-27. (in Chinese)

[13] 南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)：下冊[M]. 北京：高等教育出版社, 2008: 72. Department of Applied Mathematics, Nanjing University of Science and Technology. Higher mathematics: volume 2 [M]. Beijing: Higher Education Press, 2008:72. (in Chinese)

[14] McCoy R L. Modern exterior ballistics[M]. Atglen，PA, US:Shiffer Publishing Ltd, 1999:214.

[15] 王鈺,王曉鳴,程杰, 等. 基于等效力方法的雙旋彈側(cè)向控制力落點(diǎn)響應(yīng)分析[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2016, 37(8):1379-1387. WANG Yu, WANG Xiao-ming, CHENG Jie, et al. Analysis on impact ponint response of a dual-spin projectile with lateral force based on equivalent force method[J]. Acta Armamentarii, 2016, 37(8):1379-1387. (in Chinese)

Rapid Impact-point Prediction Modeling Based on Perturbation Theory andPiecewise Prediction Control Method

WANG Yu, YU Ji-yan, WANG Xiao-ming

(Ministerial Key Laboratory of ZNDY, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

The rapid and accurate impact-point prediction is a key to correct or guide a high-spinning projectile， and the impact-point prediction based on perturbation(PP) with base trajectory can balance the calculation efficiency and precision. As the parameters of the perturbation model cannot be calculated rapidly with the variation in environment and target, a method combining the perturbation theory and step approximation method is proposed to calculate the proper launching parameter and base trajectory quickly; and an equation of the model parameters which can be calculated by iteration is deduced to fast modeling under arbitrary destination and condition. Simulations and uncontrolled experiment were carried out to verify the feasibility of the proposed method. The results show that the base trajectory and perturbation model can be established. Compared with the modified point-mass trajectory (MPT) method, the predicted error of ascending trajectory of perturbation method is smaller and the predicted error of descending one is larger. Considering the characteristics of PP and MPT methods, a piecewise prediction method combining PP and MPT is proposed. According to the Monte Carlo simulation, the correcting effect of PW method is better than those of PP or MPT method.

ordnance science and technology; guided projectile; rapid impact-point prediction modeling; perturbation theory; base trajectory generation; piecewise prediction method

2016-07-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402121)

王鈺(1991—)， 女， 博士研究生。 E-mail: 15250996016@163.com

王曉鳴(1962—)， 男， 教授， 博士生導(dǎo)師。 E-mail: 202xm@163.com

TJ413+.6

A

1000-1093(2017)05-0867-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.05.005