基于陀螺儀進動效應(yīng)的自行車穩(wěn)定性分析

高雅楠++胡志勇

摘 要：該文分析了自行車在行駛過程中受到沿自行車輪軸方向作用力作用發(fā)生滑移并側(cè)傾時，利用陀螺儀的進動穩(wěn)定效應(yīng)使自行車保持平衡而不傾倒。將平衡環(huán)與陀螺儀裝載在自行車底部，并利用SolidWorks進行建模分析。運用拉格朗日能量守恒方法得到相應(yīng)的運動方程（滑動時考慮摩擦力的作用）。同時利用MATLAB的Simulink功能驗證所得方程的正確性。

關(guān)鍵詞：自行車 陀螺儀 穩(wěn)定性分析

中圖分類號：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）03（b）-0106-05

Bicycle Stabilzaion Analysis Using Gyroscope Procession Effect

Gao Yanan Hu Zhiyong

（Mechanical Engineering Department， Inner Mongolia University of Technology，Hohhot Inner Mongolia，010051，China）

Abstract：In this project a bicycle with a gimbal and a gyroscope are mounted on its bottom， model is made using SolidWorks. Equations of motion are derived based on the Lagranges energy conservation method with gyroscope to stabilize when side impact acts on it. Friction force also taken into consideration when sliding to lateral side. Equations were verified using MATLAB Simulink function. Validated the equation based on the results.

Key Words：Bicycle；Gyroscope；Stabilization analysis

一個旋轉(zhuǎn)物體的旋轉(zhuǎn)軸所指的方向在不受外力影響時不會改變，陀螺儀就是根據(jù)此理論而制造。通過陀螺儀的進動效應(yīng)保持自行車的平衡，如果陀螺儀正在旋轉(zhuǎn)，而施力轉(zhuǎn)動它的自轉(zhuǎn)軸，則陀螺儀反而會圍繞與力軸成直角的軸轉(zhuǎn)動。利用SolidWorks建立在底部裝有平衡環(huán)與陀螺儀的自行車模型（如圖1（a）所示）。當(dāng)有力作用于自行車輪軸方向試圖使自行車發(fā)生滑移與側(cè)傾時，此時有力矩作用于陀螺儀。由于進動效應(yīng)，陀螺儀試圖旋轉(zhuǎn)平衡環(huán)來補償作用于自行車上的力。這個過程需要一定的反應(yīng)時間，時長受陀螺儀與平衡環(huán)的參數(shù)影響。自行車在力F作用下發(fā)生滑移和側(cè)傾如圖1（b）所示[1]。

自行車相對于X-Z平面的旋轉(zhuǎn)角為θ，平衡環(huán)繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角為α，陀螺儀繞Y軸的角速度為?，圖2為歐拉角示意圖。絕對角速度可通過對歐拉角進行計算獲得。各變量的含義、符號、單位及公式/數(shù)值如表1所示。

1 運動方程

自行車、平衡環(huán)及陀螺儀的非線性動力方程可通過拉格朗日方程（1）計算而得[2]。

（1）

基于之前的設(shè)定條件可分別獲得基于θ，α及x的拉格朗日方程（2）、（3）、（4）。

（2）

（3）

（4）

L為拉格朗日函數(shù)，L=T-U，T為自行車、平衡環(huán)及陀螺儀的動能之和，U為自行車、平衡環(huán)及陀螺儀的勢能之和。

自行車、平衡環(huán)及陀螺儀的動能為質(zhì)心的線性動能與關(guān)于質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動能之和，式（5）、（6）、（7）分別表示自行車、平衡環(huán)及陀螺儀的動能。根據(jù)表1代入相應(yīng)公式。

（5）

（6）

（7）

式（8）、（9）、（10）分別表示系統(tǒng)總動能、總勢能及拉格朗日函數(shù)。

（8）

（9）

（10）

將式（10）代入式（2）、（3）、（4）分別得到自行車、平衡環(huán)及陀螺儀的微分方程（11）、（12）、（13）。

（11）

（12）

（13）

2 利用Simulink仿真

利用MATLAB的Simulink功能進行仿真，將式（11）、（12）、（13）輸入函數(shù)框，進行2次積分得到θ、α及x數(shù)值。仿真框圖如圖3所示[3]。

3 結(jié)果分析

分別表示θ和α在?=1 050 rad，F(xiàn)=150 N，h=0.4 m條件下0.5 s內(nèi)的反應(yīng)曲線，圖5為x在?=1 050 rad，F(xiàn)=150 N，h=0.4 m條件下1 s內(nèi)的反應(yīng)曲線。圖4說明當(dāng)有恒定力作用于自行車時，θ開始增加，直至此力消失θ達(dá)到最大值。當(dāng)作用力F=150 N時，θ的最大值小于0.04，說明平衡環(huán)和陀螺儀的進動效應(yīng)在此過程中使自行車保持平衡。圖5說明當(dāng)有恒定力作用于自行車時，自行車會滑行一定距離，由于摩擦力的存在，滑行速度會減慢直至為零，滑行距離與摩擦系數(shù)成反比。

圖6（a）和（b）分別表示θ和α在?=1 050 rad，F(xiàn)=150 N， h=0.4 m條件下20 000 s內(nèi)的反應(yīng)曲線。圖6說明即使在傾角很小的情況下，平衡環(huán)和陀螺儀也需要較長時間來使自行車恢復(fù)原有平衡狀態(tài)。在傾角減小的情況下，平衡環(huán)繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角α?xí)鄳?yīng)增加，但頻率有所降低。

通過分析以上MATLAB驗證曲線，說明該文推導(dǎo)的自行車相對于X-Z平面的旋轉(zhuǎn)角θ、平衡環(huán)繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角α及滑行距離x的微分方程是正確的，具有應(yīng)用價值。

4 結(jié)語

該文推導(dǎo)了自行車在行駛過程中，當(dāng)受到沿自行車輪軸方向作用力作用發(fā)生滑移并側(cè)傾時，自行車相對于X-Z平面的旋轉(zhuǎn)角θ、平衡環(huán)繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角α及滑行距離x的運動方程，并用MATLAB軟件的Simulink模塊進行仿真驗證運動方程的正確性。當(dāng)自行車受到?jīng)_擊后，具有快速、平穩(wěn)的恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)的能力十分必要。該文的推導(dǎo)及驗證過程對后續(xù)自行車平衡穩(wěn)定系統(tǒng)設(shè)計具有實際應(yīng)用價值。

參考文獻(xiàn)

[1] H.Yetkin.Stabilization of Autonomous Bicycle[D].The Ohio State University，2013.

[2] D.T.Greenwood.Principles of dynamics[Z].

[3] M.E.Ropp，S. Gonzalez.Development of a MATLAB/simulink model of a single-phase grid-connected photovoltaic system[J].IEEE Transactions on Energy Conversion，2009，24（1）：195-202.