向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域中的應(yīng)用

馬光燦

摘 要：向量式有限元已逐漸應(yīng)用于各類工程結(jié)構(gòu)的分析，為工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析提供了新方法。該文首先介紹了向量式有限元的基本原理，緊接著總結(jié)了向量式有限元的在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用現(xiàn)狀，并將向量式有限元和傳統(tǒng)有限元進(jìn)行對(duì)比，緊接著介紹了目前向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的主要應(yīng)用，最后提出了向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：向量式有限元 工程領(lǐng)域 海洋工程

中圖分類號(hào)：TU311.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）03（b）-0074-02

目前對(duì)海洋工程結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)以及海洋結(jié)構(gòu)物之間的相互作用過程中，應(yīng)力、應(yīng)變的求解方法是主要通過傳統(tǒng)有限元方法進(jìn)行求解，但傳統(tǒng)有限元在求解結(jié)構(gòu)的大變形、大變位、彈塑性、倒塌、碰撞等非連續(xù)或非線性等力學(xué)行為時(shí)由于不收斂等原因容易出現(xiàn)無解的情形。

向量式有限元是由普渡大學(xué)丁承先教授等提出，是基于向量式結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)值計(jì)算提出的一種新型的數(shù)值計(jì)算方法，是求解結(jié)構(gòu)的大變形、大變位、彈塑性、倒塌、碰撞等非連續(xù)或非線性等力學(xué)行為的新方法。與傳統(tǒng)的有限元相比，有很大區(qū)別，總體來說向量式有限元是以結(jié)構(gòu)的物理模型為基礎(chǔ)，引用廣義向量力學(xué)作為運(yùn)動(dòng)和變形的準(zhǔn)則，選擇直接以數(shù)值計(jì)算方法中常用的點(diǎn)值取代傳統(tǒng)分析力學(xué)中的連續(xù)函數(shù)微分控制方程作為結(jié)構(gòu)行為描述的方式。

1 向量式有限元的基本概念

向量式有限元有3個(gè)創(chuàng)新性概念，即點(diǎn)值描述、途徑單元、虛擬的逆向運(yùn)動(dòng)。下面簡(jiǎn)單地對(duì)這些概念及在求解過程中的用處進(jìn)行闡述。

1.1 點(diǎn)值描述

經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)是構(gòu)件由無限多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，向量式有限元也假設(shè)構(gòu)件由無限多個(gè)點(diǎn)組成，但從這無限多個(gè)點(diǎn)中取出有限個(gè)點(diǎn)，用取出的有限個(gè)點(diǎn)去描述構(gòu)件的任意時(shí)刻的位置狀態(tài)。將點(diǎn)與點(diǎn)之間的構(gòu)件質(zhì)量分配到相鄰的兩個(gè)點(diǎn)上，因此，整個(gè)桿件的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用有限多個(gè)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)來描述，而質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以用牛頓運(yùn)動(dòng)公式來計(jì)算，荷載、內(nèi)力和運(yùn)動(dòng)的約束用力與點(diǎn)位移來描述，點(diǎn)與其他點(diǎn)之間的位置用一組標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)插函數(shù)來計(jì)算。

1.2 途徑單元

將構(gòu)件上任一個(gè)空間點(diǎn)的時(shí)間軌跡也用一個(gè)時(shí)間段來描述，而空間點(diǎn)從一個(gè)空間位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)空間位置需要一定的時(shí)間段，空間點(diǎn)在該時(shí)間段內(nèi)的具體位移可以通過牛頓第二定律來描述，而為了數(shù)值計(jì)算的方便，我們將空間點(diǎn)從一個(gè)空間位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)空間位置需要的時(shí)間進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即認(rèn)為這些時(shí)間段是相等的，這個(gè)時(shí)間段就稱為途徑單元。用一組相互連接的標(biāo)準(zhǔn)途徑單元來描述時(shí)間軌跡可以簡(jiǎn)化內(nèi)力的計(jì)算和處理不連續(xù)行為，在選擇途徑單元的時(shí)間點(diǎn)時(shí)，可以選擇足夠小的途徑單元，在這個(gè)時(shí)間單元內(nèi)，構(gòu)件的幾何變形足夠小。雖然結(jié)構(gòu)的總的變形可能很大，但是在這個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)構(gòu)件的幾何變形很小，可以用大變位和小變形理論來處理，即構(gòu)件的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。

1.3 逆向運(yùn)動(dòng)

逆向運(yùn)動(dòng)的引入是為了計(jì)算在一個(gè)途徑單元內(nèi)構(gòu)件的純變形，進(jìn)而計(jì)算在該途徑單元內(nèi)構(gòu)件的內(nèi)力而引入的物理量。向量式有限元的初始條件之一是已知構(gòu)件的有限個(gè)點(diǎn)的初始的位置狀態(tài)，但不可能直接獲取每個(gè)時(shí)間段結(jié)束時(shí)的構(gòu)件的坐標(biāo)位置，因此，通過構(gòu)件的變形大小而獲取每個(gè)時(shí)間段結(jié)束時(shí)構(gòu)件的有限多個(gè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)以及作用在質(zhì)點(diǎn)上的內(nèi)力大小。

首先，假設(shè)在時(shí)間點(diǎn)及空間點(diǎn)的選擇上做了適當(dāng)選擇，使得點(diǎn)之間的變形接近于一個(gè)均勻變形的狀態(tài)，而且在途徑單元內(nèi)構(gòu)件的純變形量很小。因此，內(nèi)力計(jì)算是一個(gè)大變位、小變形和近似均勻變形的問題。此外，用途徑單元的初始時(shí)間的構(gòu)件形態(tài)作為內(nèi)力計(jì)算的參考狀態(tài)。

其次，假設(shè)點(diǎn)之間的桿件單元，在途徑單元中的任意時(shí)間t時(shí)的空間位置，做一個(gè)虛擬的逆向剛體運(yùn)動(dòng)，包括平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，得到一個(gè)虛擬的單元形態(tài)，由于途徑單元內(nèi)的運(yùn)動(dòng)及變形為小變位、小變形，因此，在這個(gè)途徑單元內(nèi)內(nèi)力與位移的關(guān)系可以用材料力學(xué)基本公式進(jìn)行推導(dǎo)。

2 向量式有限元與傳統(tǒng)有限元的區(qū)別

首先，向量式有限元采用點(diǎn)值描述，將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量集中于質(zhì)點(diǎn)，而點(diǎn)之間的單元沒有質(zhì)量，選取有限數(shù)量的一組點(diǎn)作為獨(dú)立變量，然后通過一組標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)插函數(shù)來確定這兩點(diǎn)之間其他節(jié)點(diǎn)位置，構(gòu)件是物理連續(xù)體，獨(dú)立位置變量是可選的有限數(shù)。

其次，向量式有限元引入途徑單元的概念，將構(gòu)件的受力過程看作由一個(gè)個(gè)途徑單元構(gòu)成，各個(gè)途徑單元之間是連續(xù)的，但認(rèn)為各個(gè)途徑單元內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是相互獨(dú)立的，且荷載及構(gòu)件的變形在途徑單元的始末時(shí)刻發(fā)生突變，在途經(jīng)單元內(nèi)荷載及變形保持不變。

向量式有限元的處理和求解方式使其不需要建立結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，因此，結(jié)構(gòu)具有極大變形時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)因?yàn)椴皇諗慷鵁o法求解的情況。

3 向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用現(xiàn)狀

目前向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域主要應(yīng)用在海洋平臺(tái)扶正預(yù)測(cè)、海洋導(dǎo)管架平臺(tái)樁腿的力學(xué)分析、海底管道不平整度分析等方面。

胡狄等基于向量式有限元方法，通過一個(gè)實(shí)例對(duì)Spar平臺(tái)的扶正過程進(jìn)行預(yù)測(cè)模擬，并對(duì)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和整體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度進(jìn)行了詳細(xì)的分析，為Spar平臺(tái)扶正分析提供了新方法。

陳旭俊等采用基于向量式有限元法對(duì)導(dǎo)管架平臺(tái)的樁腿進(jìn)行了力學(xué)分析，假定桿件為梁結(jié)構(gòu)，對(duì)導(dǎo)管架平臺(tái)進(jìn)行靜力分析以分析局部結(jié)構(gòu)、整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)和力學(xué)性能，評(píng)估平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)在極端環(huán)境條件下的安全性與可靠性。

徐雷閣等將向量式有限元方法應(yīng)用在求解海管不平整度上，求解中直接使用牛頓第二定律控制質(zhì)點(diǎn)的移動(dòng)過程，不用生成總體矩陣，避免了矩陣非奇異而導(dǎo)致的不可解問題，具有拉格朗日體系的優(yōu)勢(shì)，利于計(jì)算。利用上述方法，設(shè)計(jì)了并行管土耦合海管不平整度分析軟件，并模擬了我國南海北部海域某海管的實(shí)例，計(jì)算結(jié)果與調(diào)查結(jié)果吻合良好，并且，通過分析，討論了3種工況對(duì)懸跨特征及管道彎矩的影響，進(jìn)而提出了治理危險(xiǎn)懸跨的方案。

曾國瑋使用向量式有限元方法對(duì)導(dǎo)管架平臺(tái)的二維模型進(jìn)行了動(dòng)力分析，考慮了阻尼材料的影響，得出了相關(guān)數(shù)據(jù)。利用平面鋼架單元對(duì)鋼架式海域結(jié)構(gòu)物在波浪作用下的動(dòng)力特性進(jìn)行了研究，采用微小振幅波理論計(jì)算波浪荷載，模擬了海洋結(jié)構(gòu)物中安裝粘彈性阻尼后的情形，對(duì)安裝阻尼后的結(jié)構(gòu)改變構(gòu)件尺寸的影響也進(jìn)行了研究，結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的自振頻率越小，阻尼的減震效果越好。

4 向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用前景

目前向量式有限元目前主要應(yīng)用于空間結(jié)構(gòu)的分析中，在海洋工程中的應(yīng)用還很罕見，在海洋工程領(lǐng)域主要應(yīng)用在以上方面，向量式有限元還可拓展應(yīng)用于各類海洋平臺(tái)及海上結(jié)構(gòu)物如海上風(fēng)力機(jī)、船舶的錨鏈的破斷、漂移、碰撞等各類問題，在海洋工程領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用前景。

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