養(yǎng)成習(xí)慣 克服定式
——談數(shù)學(xué)解題過(guò)程中因定式造成的偏差校正

□吳志鵬

（德化第一中學(xué)，福建德化 362500）

養(yǎng)成習(xí)慣 克服定式
——談數(shù)學(xué)解題過(guò)程中因定式造成的偏差校正

□吳志鵬

（德化第一中學(xué)，福建德化 362500）

數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的定式包含思維定式，圖形定式，解題的方向、順序、步驟、模式、方法等多種類(lèi)型的定式.要克服定式造成的解題偏差，應(yīng)養(yǎng)成良好的審題、作圖、解題、思維、反思等習(xí)慣.

定式；解題偏差；習(xí)慣

定式是指由先前的活動(dòng)造成的一種對(duì)活動(dòng)特殊的心理準(zhǔn)備狀態(tài)或活動(dòng)的傾向性，在環(huán)境不變的情況下，定式使人能夠應(yīng)用已掌握的方法迅速地解決問(wèn)題，而在情境發(fā)生改變時(shí)，它則會(huì)阻礙人采用新的方法，束縛人的創(chuàng)造性.

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，定式是如何產(chǎn)生的呢？它是通過(guò)對(duì)一類(lèi)問(wèn)題或方法，作多次定向的強(qiáng)化訓(xùn)練，使得學(xué)生能“一見(jiàn)如故”地產(chǎn)生條件反射，不自覺(jué)地應(yīng)用已有的結(jié)論或相似的方法解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的定式包含有思維定式，圖形定式，解題的方向、順序、步驟、模式、方法等多種類(lèi)型的定式，在條件不變的情況下，定式確實(shí)對(duì)解題起到很好的幫助作用；可在條件發(fā)生改變，哪怕是微小的變化，定式有可能造成解題方向的偏差.要克服定式造成的解題偏差，應(yīng)養(yǎng)成下面幾種習(xí)慣.

一、應(yīng)養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣

例1甲去銀行辦理儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，已知銀行的營(yíng)業(yè)時(shí)間為9：00～17：00，設(shè)甲于當(dāng)天13：00～18：00之間的任一時(shí)刻去銀行的可能性相同，那么甲去銀行恰好能辦理儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)的概率為（）.

分析 變量的維數(shù)是判斷問(wèn)題是何種幾何概型的關(guān)鍵，再利用“一維空間線段比、二維空間面積比、三維空間體積比”求相應(yīng)概型的概率.本題的變量是時(shí)間，很多學(xué)生在題目中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)時(shí)間誤認(rèn)為是二維變量而用面積比進(jìn)行求解.這是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在于存在“兩個(gè)時(shí)間即是二維”這種定式思維.其實(shí)銀行的營(yíng)業(yè)時(shí)間9：00～17：00并非變量，而甲當(dāng)天13：00～18：00之間的任一時(shí)刻去銀行，這個(gè)時(shí)間才是變量，理解了這一點(diǎn)，易知本題乃一維型的幾何概型，其概率為甲去銀行能辦理業(yè)務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)度4小時(shí)與甲去銀行的時(shí)間長(zhǎng)度5小時(shí)的比值即4∶5，選擇D.

例2（由2015年山東高考題改編）在區(qū)間[0,2] 上 隨 機(jī) 取 一 整 數(shù) x，則 事 件發(fā)生的概率為（ ）.

分析 大部分學(xué)生選擇錯(cuò)誤的答案A，造成解題偏差的原因是：學(xué)生見(jiàn)到題目中的區(qū)間[0,2]以及不等式化簡(jiǎn)的結(jié)果得x所在的區(qū)間為聯(lián)系幾何概型的概率可用區(qū)間的長(zhǎng)度進(jìn)行表示，并由此而產(chǎn)生的定式，即用幾何概型求解，得到的錯(cuò)誤結(jié)論.本題實(shí)際為古典概型，即在區(qū)間[0 ,2]取一整數(shù)有0、1、2三種情況，而滿足條件的只有0、1兩種情況，所以P=，選擇B.

上述兩例均是由概念或條件的相似或相近而引發(fā)的定式導(dǎo)致的解題偏差，因此在解題時(shí)，應(yīng)鍛煉學(xué)生在接收題目信息時(shí)，不急于作出判斷，把一些數(shù)或式的特征不假思索地聯(lián)系起來(lái)，而要先花時(shí)間去閱讀、審題，厘清知識(shí)要點(diǎn)，少一些“先入為主”的思想.克服定式造成的解題偏差應(yīng)養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.

二、應(yīng)養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣

∴f(x)min=f(10)＜0，

∴f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn).

觀察學(xué)生對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)后作出的草圖，即只有一個(gè)極小值點(diǎn)，且極小值小于零的圖象為圖1，從圖象可直接獲得 f(x)的圖象與x軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即僅有兩個(gè)零點(diǎn).這是一個(gè)典型的由開(kāi)口向上二次函數(shù)的圖象的形態(tài)特征產(chǎn)生的圖形定式造成的解題偏差，實(shí)際上函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)且在x軸的下方，此時(shí)函數(shù)圖象，有如圖1到圖4四種情形而不僅僅是圖1的情況.

圖1

圖2

圖3

圖4

由此本題的解答還應(yīng)做以下的補(bǔ)充：

∴f(1)×f(10)＜0.

∵x∈(1,10)，f(x)的圖象單調(diào)遞減，∴x∈(1,10)，f(x)有唯一零點(diǎn).

同理：

f(10)×f(e4)＜0.

∵x∈(10,e4)，f(x)的圖象單調(diào)遞增，

∴x∈(10,e4)，f(x)有唯一零點(diǎn).

綜上可得，f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn).

《水利工程混凝土耐久性技術(shù)規(guī)范》提出的水利工程混凝土設(shè)計(jì)、施工、運(yùn)行管理等階段的耐久性技術(shù)要求，有利于促進(jìn)資源節(jié)約利用，提高水利工程興利減災(zāi)效果，有利于更好地實(shí)現(xiàn)水利工程設(shè)計(jì)使用年限目標(biāo)，適應(yīng)水利現(xiàn)代化的需要。

要克服圖形造成的定式，在平時(shí)作圖訓(xùn)練時(shí)，即使是作草圖也必須謹(jǐn)慎對(duì)待而不能隨意馬虎，特別是圖形有多種情況時(shí)，作圖時(shí)更應(yīng)該做到“心中有形”.如橢圓、雙曲線不能只作焦點(diǎn)在x軸上的圖形，而拋物線也不能都作開(kāi)口向右和向上的圖形，這樣很容易造成圖形定式，導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)偏差，因此要克服之，就必須養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣.

三、應(yīng)養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣

例4執(zhí)行如圖5所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

分析 記錄每一次運(yùn)算結(jié)果得：①n=8，i=2；②n=31，i=3；③n=123，i=4.不少學(xué)生運(yùn)算到第三次時(shí)，就不再往下運(yùn)算即獲結(jié)論i=5，選A.這是錯(cuò)誤的，正確的答案應(yīng)為B.導(dǎo)致解題偏差的原因是學(xué)生在做算法問(wèn)題時(shí)，對(duì)程序結(jié)束判定認(rèn)識(shí)的定式，即當(dāng)n=123不滿足算法結(jié)束，那么下一次運(yùn)算即可滿足，基于這樣一種認(rèn)識(shí)的定式，而造成的解題偏差，實(shí)際上因?yàn)?n=123是3的倍數(shù)，再一次運(yùn)行得n=119，算法并未結(jié)束.因此要克服定式造成的解題偏差，就必須規(guī)范解題，不急于下結(jié)論，應(yīng)養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

圖5

四、應(yīng)養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣

例5兩戶人家A，B在馬路CD的同側(cè)，且分別距馬路CD是4千米和5千米，AB相距7千米，現(xiàn)從馬路上接電到A、B，問(wèn)電線至少要多長(zhǎng)？

分析 對(duì)于這樣的問(wèn)題，大部分的學(xué)生會(huì)類(lèi)比下面的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解：A，B兩點(diǎn)在直線CD的同側(cè)，且到直線CD的距離分別為4和在 CD上 找 一 點(diǎn) E，使 得的值最小，并求最小值.即作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接BA′交直線CD于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為我們所求作的點(diǎn)E，此時(shí)取得最小值為.本題是由熟悉的幾何原型引發(fā)的定式導(dǎo)致解題的偏差.這是一種模型范式的定式，解題時(shí)如不加以思考，套用之就會(huì)出現(xiàn)解題方向的偏差.這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，拉電線并不一定從CD上的一點(diǎn)直接拉到A，B兩點(diǎn)，本題應(yīng)轉(zhuǎn)化成“在銳角三角形ABE內(nèi)求一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”[1]，如圖6所示，這一點(diǎn)為三角形的費(fèi)爾馬點(diǎn)，即這一點(diǎn)對(duì)三邊的視角均為120°，找一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)，OH⊥CD且∠AOB=∠BOH=∠AOH=120°，由此算出距離之和的最小值（結(jié)果為10.5）.有興趣的讀者可自行解決.解題時(shí)利用定式進(jìn)行方法類(lèi)比，要注意條件是否發(fā)生變化，模式是否恰當(dāng)、合理，這樣才能克服定式造成的解題方向的偏差，因此養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣是很有必要的.

圖6

五、應(yīng)養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣

例6 f(x)=log2(x2+ax-a)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 大部分學(xué)生會(huì)把真數(shù)x2+ax-a＞0恒成立與真數(shù)取到一切大于零的實(shí)數(shù)作等價(jià)處理，即Δ=a2+4a＜0，得-4＜a＜0.要克服這類(lèi)由于思維方向定式造成的解題失誤，平時(shí)解題訓(xùn)練時(shí)要有意識(shí)地讓學(xué)生在解完題時(shí)進(jìn)行及時(shí)的反思，對(duì)“等價(jià)”轉(zhuǎn)化進(jìn)行必要的質(zhì)疑，如可取a=-2代入進(jìn)行檢驗(yàn)，得 f(x)=值域?yàn)閇0,+∞)而非R，因此這個(gè)解法是錯(cuò)誤的.

即(ax-1)(x-b)＞0的解集為(- 1,1)，

轉(zhuǎn)化得(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1，

即ax2-abx-x+b=0的根為-1和1.

所以a+2b=-1或a+2b=1.

本題利用“不等式的解集可轉(zhuǎn)化為方程的根”這一思維定式解決問(wèn)題，反思這一轉(zhuǎn)化是否有條件限制？如果“(ax-1)(x-b)＞0的解集為(- 1,1)”與“(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1”是等價(jià)的，那么“(ax-1)(x-b)＜0的解集為(- 1,1)”與“(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1”是否也會(huì)等價(jià)？如等價(jià)，上述的兩種情形有無(wú)區(qū)別，又如何進(jìn)行區(qū)別？反思之，可得本題“不等式的解集與相應(yīng)方程的根”等價(jià)是有條件的，還有必要完善，即保證a＜0，所以結(jié)論為{a=-1，得a+2b=-1.因此要克服定式造b=1，成的解題偏差，還應(yīng)養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣.

［1］鄭馨春.數(shù)學(xué)解題中的策略性錯(cuò)誤分析［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（5）：27.