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    高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探討

    2017-06-05 14:52:04江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué)214000
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:實(shí)數(shù)圖象數(shù)形

    江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué)(214000)

    童 嫣●

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    高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探討

    江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué)(214000)

    童 嫣●

    一、巧用換元、間接解決問題

    二、數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造問題框架

    在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,一些較為簡單的函數(shù)恒成立問題,如一元一次、多元一次、一元兩次、多元兩次等問題一般出現(xiàn)在選擇填空中,而在需要運(yùn)用綜合知識(shí)的解答題中往往出現(xiàn)的是二次函數(shù)和指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)等等,這一類的問題要想直接通過計(jì)算解決有一定難度,不僅是計(jì)算麻煩,而且需要列出一些技巧性的不等式,具有一定的挑戰(zhàn)性.因此,應(yīng)該進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,按照不等式的兩邊分別畫出圖象再求解問題.例如,已知有函數(shù)f(x)=logax,g(x)=(x-1)2,且當(dāng)x在區(qū)間(1,2)內(nèi),f(x)>g(x)恒成立,求a的取值范圍.對(duì)于這樣的題目,學(xué)生們?nèi)绻苯又诌M(jìn)行計(jì)算整道題目都會(huì)變得十分復(fù)雜,但采取數(shù)形結(jié)合的辦法,如圖畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,就可以很快地根據(jù)圖象解決問題.如圖可以看到當(dāng)01.其次,若要在區(qū)間(1,2)范圍內(nèi)滿足不等式f(x)>g(x)恒成立,則必須要讓f(x)圖象位于g(x)圖象上方,則可以確定一個(gè)不等式,即f(2)≥g(2),可以很輕松需要1≤loga2,則當(dāng)x在(1,2)范圍內(nèi),若使不等式成立,必須要使1

    三、分類討論、深層探討問題

    一般來說,二次函數(shù)在不同的主元素取值范圍內(nèi)其增減性是不同的,我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中常常以是否存在定點(diǎn),或說求出最大值、最小值為解決目標(biāo).最值問題一般都在整個(gè)函數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)探討增減性分解的某些點(diǎn),因此在探討二次函數(shù)恒成立問題中,應(yīng)該將函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象特點(diǎn)和分類討論作為解題的三個(gè)思路,分別切入.結(jié)合圖象在上文已經(jīng)簡略介紹過,但這樣的方法并不能適用于多元二次函數(shù)問題,例如,當(dāng)遇到g(x)=mx2+nx+q>0恒成立,x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),且m不等于0.則首先需要m>0且Δ<0.當(dāng)在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)g(x)<0恒成立,則必須要m和Δ同時(shí)<0.像這樣分情況討論,在具體的一元二次型函數(shù)問題中,根據(jù)已知條件,以未知條件為依據(jù),討論二次項(xiàng)系數(shù)和Δ的取值條件解決問題可以將復(fù)雜問題簡單化.除此之外,還可以將分類討論和換元法結(jié)合在一起解決數(shù)學(xué)問題,例如,已知函數(shù)f(x)在x<0時(shí)的表達(dá)式為3x-2,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)表達(dá)式為2x,求在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能使得f(x)≥1的所有x的值.在剛接觸到題目時(shí),學(xué)生們通常會(huì)對(duì)出現(xiàn)的復(fù)雜關(guān)系感到一頭霧水,這時(shí)可以運(yùn)用換元法,在x<0使令t=3x-2,因此需要解答的方程變成了t≥1,同理當(dāng)x>0時(shí),令t=2x.這樣十分便于學(xué)生們進(jìn)行方程的計(jì)算.在計(jì)算這個(gè)方程的過程中引入圖象,在直角坐標(biāo)系中觀察會(huì)更加直觀.

    在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,不僅要學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念和課本上的知識(shí),還應(yīng)該形成較為成熟的數(shù)學(xué)思想,能夠通過數(shù)形結(jié)合、換元等方法解決多樣性的數(shù)學(xué)問題,多加練習(xí),在練習(xí)過程中不斷歸納、總結(jié),以此鍛煉學(xué)生們的恒成立問題的解題能力,擊破恒成立問題這一大障礙.

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0046-01

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