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    關(guān)于求解數(shù)列通項公式的方法

    2017-06-05 14:52:04廣東省肇慶市百花中學(xué)526000
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:公比歸納法通項

    廣東省肇慶市百花中學(xué)(526000)

    何正文●

    ?

    關(guān)于求解數(shù)列通項公式的方法

    廣東省肇慶市百花中學(xué)(526000)

    何正文●

    數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置,而求數(shù)列通項公式是高中數(shù)學(xué)中的堡壘,具有一定的技巧性,是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要素之一.它的求解方法是靈活多變的,構(gòu)造的技巧性也很強,但是此類題目也有很強的規(guī)律性,存在著解決問題的通法.

    歸納猜想;公式法;策略

    一、歸納猜想法:由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式

    (1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時,需仔細(xì)觀察分析,抓住以下幾方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征;③拆項后的特征;④各項符號特征等,并對此進行歸納、聯(lián)想.(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法,它蘊含著從特殊到一般的思想,由不完全歸納提出的結(jié)果是不可靠的,要注意代值檢驗,對于正負(fù)符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.

    例1 寫出下面數(shù)列的一個通項公式.

    二、公式法:這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目

    高中重點學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列,當(dāng)題目中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項,只需求得首項及公差或公比.

    1.等差數(shù)列通項公式an=a1+(n-1)d

    例2 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10,求數(shù)列{an}的通項公式.

    為an=2-n.

    2.等比數(shù)列通項公式an=a1·qn-1

    3.由an與Sn的關(guān)系求an

    解析a1=S1=0.

    當(dāng)n≥2時an=Sn-Sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1.

    三、由遞推公式求數(shù)列通項公式

    對于遞推公式確定的數(shù)列的求解,通??梢酝ㄟ^遞推公式的變換,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.

    類型1 :遞推公式為an+1=an+f(n)

    其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比較易求 ,通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.

    解析 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1則

    an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

    =[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

    =2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1

    =n2

    類型2:遞推公式為an+1=anf(n)

    兩邊分別相乘得,得an=f(n-1)f(n-2)…f(2)f(1)a1,

    ∵an+1=f(n)an

    ∴an=f(n-1)an-1,an-1=f(n-2)an-2,…,a2=f(1)a1

    依次向前代入,得an=f(n-1)f(n-2)…f(1)a1.

    類型3: 遞推公式為an+1=can+d,(c≠0).

    (1)若c=1時,數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

    (2)若d=0時,數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

    (3)若c≠1d≠0時,數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列,

    其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.

    推理如下:(待定系數(shù)法)設(shè)an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,與題設(shè)an+1=can+d,比較系數(shù)得

    (相減法):在遞推關(guān)系an+1=can+d中把n換成n-1有an=can-1+d,兩式相減有an+1-an=c(an-an-1)從而化為公比為c的等比數(shù)列{an+1-an},進而求得通項公式.an+1-an=cn(a2-a1),再將an+1=can+d代入,即可解出an.

    解法一 ∵an=2an-1+1(n≥2),

    ∴an+1=2(an-1+1).

    ∴an+1=2×2n-1,即an=2n-1.

    解法二 ∵an=2an-1+1(n≥2),

    ∴an+1=2an+1.

    (倒數(shù)變換法)利用兩邊取倒數(shù)求通項公式.

    (對數(shù)變換法 )這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an+1=pan+q,再利用待定系數(shù)法求解.

    類型7: 遞推公式為an+2=pan+1+qan(其中p,q均為常數(shù))

    解析 3an+2-5an+1+2an=0的特征方程是:3x2-5x+2=0.

    類型8:遞推公式為an+1=pan+an+b(p≠1,0,a≠0)

    解析 設(shè)bn=an+An+B則an=bn-An-B,將an,an-1代入遞推式,得

    ∴bn=an+n+1…(1),則bn=3bn-1.

    又b1=6,故bn=6×3n-1=2×3n.

    代入(1)得an=2×3n-n-1.

    評注 (1)若f(n)為n的二次式,則可設(shè)bn=an+An2+Bn+C;

    (2)本題也可由an+1=3an+2n+1與原式相減得an+1-an=3(an-an-1)+2.記an+1-an=bn,則有bn=3bn-1+2,轉(zhuǎn)化為類型3.

    類型9:雙數(shù)列型

    根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系,靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.

    所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,

    即an+bn=1. (1)

    由(1)、(2)得:

    類型10:含根式的遞推關(guān)系式(換元法)

    類型11:(數(shù)學(xué)歸納法 )

    通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項,猜出數(shù)列的通項公式,再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

    由此可知,當(dāng)n=k+1時等式也成立.

    根據(jù)(1),(2)可知,等式對任何n∈N*都成立.

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0023-04

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