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    處理立體幾何問題的常用數(shù)學(xué)思想

    2017-06-05 14:52:05陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)710609
    數(shù)理化解題研究 2017年13期
    關(guān)鍵詞:四邊形正方體平面

    陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)

    童永奇●

    ?

    處理立體幾何問題的常用數(shù)學(xué)思想

    陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)

    童永奇●

    本文擬通過歸類舉例的形式,具體說明處理有關(guān)立體幾何問題時經(jīng)常用到的一些重要的數(shù)學(xué)思想,旨在幫助讀者拓寬解題思維,進一步提高分析、解決此類問題的實際能力.

    類型一、轉(zhuǎn)化思想

    轉(zhuǎn)化既是一種思想,又是一種策略,也是一種方法.對一個數(shù)學(xué)問題,經(jīng)過分析思考后,認(rèn)為需要轉(zhuǎn)變成另一個數(shù)學(xué)問題,這就是轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)就是“尋求聯(lián)系,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化”.

    (Ⅰ)求該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;

    (Ⅱ)求PC和NC的長.

    分析 第一問比較簡單,根據(jù)正三棱柱的側(cè)面展開圖為矩形即可獲解;第二問的難點在于,準(zhǔn)確分析最短路線對應(yīng)的具體情景——可借助側(cè)面展開圖,將空間中的最小值問題等價轉(zhuǎn)化為平面中的最小值問題,以便靈活利用平面幾何知識加以思考.

    (Ⅱ)如圖,將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°,使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面內(nèi),此時點P運動到點P1的位置,連接MP1,則易知MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線.

    (Ⅰ)求證:EF∥平面ABC;

    (Ⅱ)求證:平面ACD⊥平面BCDE;

    (Ⅲ)求直線BD與平面AED的夾角θ的正弦值.

    分析 第一問考慮直線與平面平行的判定定理可知,欲證直線與平面平行,即證直線與直線平行;第二問考慮平面與平面垂直的判定定理可知,欲證平面與平面垂直,即證直線與平面垂直;第三問考慮空間向量法可知,欲求線面夾角的正弦值,即求直線的一個方向向量與平面的一個法向量的夾角的余弦值.

    又EF?平面ABC,BM?平面ABC,故由線面平行的判定定理,得EF∥平面ABC.

    ∴AC2+BC2=AB2,

    ∴AC⊥BC.

    ∵CD⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴CD⊥AC.

    于是,由BC∩CD=C及線面垂直的判定定理,得AC⊥平面BCDE.

    又AC?平面ACD,故由面面垂直的判定定理,得平面ACD⊥平面BCDE.

    設(shè)平面AED的法向量n=(x,y,z),則

    評注 本題主要考查立體幾何中線面平行、面面垂直的判定定理和空間向量法,突出地體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化思想”在分析、解決問題中的靈活運用.

    類型二、分類與整合思想

    分類與整合思想是指當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進行分類,對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整體問題的解答.實質(zhì)上,分類與整合是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數(shù)學(xué)解題策略.

    分析 由于球心O與正三棱錐A-BCD的位置關(guān)系不確定,所以本題應(yīng)分情況加以討論.為了便于分析求解,在每種情況下需要先畫出圖形,并通過適當(dāng)作輔助線構(gòu)造直角三角形.

    解析 設(shè)正三角形△BCD的中心為H,作截面ABH.

    由球心O與正三棱錐A-BCD位置關(guān)系的不同可分為以下兩種情況:

    評注 從解題目標(biāo)看,難點是計算錐體的高,而在求高的過程中,必須注意圖形的不確定性,突出地體現(xiàn)了“分類與整合思想”在分析、解決問題中的靈活運用.

    例4 如圖,在棱長為1的正方體AC1中,E、G分別為棱C1D1、BB1的中點,點F是正方形AA1D1D的中心,則空間四邊形BGEF在正方體的六個面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形的面積中的最大值是____.

    分析 為了便于求解射影面積的最大值,就必須分別求出空間四邊形BGEF在正方體的六個面內(nèi)的射影所構(gòu)成的六個圖形的面積.考慮正方體的對稱性,只需求出三個相鄰面內(nèi)的射影.

    解析 結(jié)合正方體的對稱性可知,考查空間四邊形BGEF的射影面積可分以下三種情況:

    評注 注意到本題以特殊的幾何體“正方體”為載體設(shè)置而成,可以大大降低分類討論的過程,優(yōu)化解題思維,突出地體現(xiàn)了“分類與整合思想”在分析、解決問題中的靈活運用.

    類型三、數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合思想,就是在研究問題的過程中,注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查,斟酌問題的具體情形,把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題,或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,化難為易,獲得簡便易行的成功方案.

    例5 如圖,要在呈空間四邊形形狀的支撐架上安裝一塊矩形太陽能吸光板,矩形EFGH的四個頂點分別在空間四邊形ABCD的邊上.已知AC=a,BD=b,問E、F、G、H在什么位置時,吸光板的吸光量最大.

    分析 從目標(biāo)問題看,要滿足吸光板的吸光量最大,即應(yīng)滿足矩形EFGH的面積最大.于是,可從“數(shù)”的角度出發(fā),先得到該面積的表達式,再具體分析何時面積取得最大值即可順利獲解.

    解析 設(shè)EH=x,EF=y,因為EH∥FG,EH?平面ABD,F(xiàn)G?平面ABD,所以FG∥平面ABD.又FG?平面BCD,平面BCD∩平面ABD=BD,所以FG∥BD.同理可證EF∥HG∥AC.

    故當(dāng)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點時,吸光板的吸光量最大.

    評注 本題求解的關(guān)鍵是首先充分利用圖形,巧妙地給出矩形EFGH面積的表達式,然后再利用均值不等式確定該面積何時取得最大值.這種解法的優(yōu)點是將立體幾何問題代數(shù)化,便于從“數(shù)”的角度加以研究,突出地體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”在分析、解決問題中的靈活運用.

    例6 如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為____.

    分析 從正方體出發(fā),很容易想到建立空間直角坐標(biāo)系,進而考慮空間向量法,于是可從“數(shù)”的角度出發(fā),先得到點P到直線CC1的距離的解析表達式,再具體分析最小值即可順利獲解.

    于是,

    又直線CC1的一個單位方向向量

    從而,點P到直線CC1的距離為

    綜上,由于數(shù)學(xué)思想方法是高考考查的重點,所以我們在解題時應(yīng)學(xué)會有意識地去考慮常用數(shù)學(xué)思想方法,不斷積累解題經(jīng)驗,逐步提升解題技能.

    G632

    B

    1008-0333(2017)13-0021-03

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