巧用圓錐曲線的定義解題

江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校(225000)

李冬明 ●

?

巧用圓錐曲線的定義解題

江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校(225000)

李冬明 ●

圓錐曲線的定義反映了它們的本質(zhì)特征，它是推導(dǎo)圓錐曲線方程和研究幾何性質(zhì)的依據(jù)，又是解題常用的一把鑰匙.在處理解析幾何問題時(shí)，若能結(jié)合圓錐曲線的定義來考慮，可以避免繁瑣的計(jì)算過程，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.

圓錐曲線；定義；焦點(diǎn)；離心率

我們知道，課本上給出的圓錐曲線的定義有兩種不同的形式，第一定義體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別，第二定義體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一.巧用圓錐曲線的定義解題是解決有關(guān)問題的重要策略，要引起重視.以下舉例說明圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用.

一、巧用定義解決軌跡(方程)問題

例1 在圓C：(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)，Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C,Q的連線的交點(diǎn)為M，求M點(diǎn)的軌跡方程．

變式1：已知定點(diǎn)A(0,7),B(0,-7),C(12,2)，以C點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，作過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的橢圓，則另一焦點(diǎn)F的軌跡方程是____．

變式2：到定點(diǎn)A(2,0)的距離比到直線x+1=0的距離大1的點(diǎn)M的軌跡方程是____．

解析 根據(jù)題意知，點(diǎn)M到定點(diǎn)A(2,0)的距離與到直線x=-2的距離相等，故M點(diǎn)的軌跡是以A為焦點(diǎn)的拋物線，方程為y2=8x．

二、巧用定義解決焦半徑(焦點(diǎn)弦)問題

解析 方法一根據(jù)第二定義，由點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離求出它到右焦點(diǎn)的距離，再由第一定義求出點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離；方法二由點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離求出它到左準(zhǔn)線的距離，再由第一定義求出點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離．

三、巧用定義解決離心率問題

變式：我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為“相關(guān)曲線”.已知F1、F2是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2=60°時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是____．

四、巧用定義解決最值問題

五、巧用定義解決其它問題

解析 如圖，分別過點(diǎn)A、B及圓心M作雙曲線右準(zhǔn)線l1的垂線，垂足分別為A*、B*、M*．則

(其中e為雙曲線的離心率，R為圓的半徑)

故以AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線有2個(gè)交點(diǎn)．

探究：若將“雙曲線”改為“橢圓”、“拋物線”會(huì)有幾個(gè)交點(diǎn)？

綜上，運(yùn)用圓錐曲線的定義解題，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運(yùn)算，使問題巧妙獲解.利用圓錐曲線的定義解題的關(guān)鍵是先識(shí)別出可用定義解題的題目，應(yīng)注意以下幾種情形：

(1)題目中有到兩定點(diǎn)間距離關(guān)系的條件或動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)、定直線距離關(guān)系的條件，應(yīng)考慮是否可利用圓錐曲線的定義解題；

(2)已知定曲線方程，在已知或未知關(guān)系中有動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線、焦點(diǎn)距離時(shí)，可補(bǔ)上動(dòng)點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)、另一焦點(diǎn)或相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再考慮是否可用定義解題；

(3)當(dāng)已知或未知條件中的點(diǎn)構(gòu)成三角形(其中有焦點(diǎn)、曲線上的點(diǎn))，常常將定義與解三角形有關(guān)知識(shí)與方程綜合使用；

(4)當(dāng)題目中等量關(guān)系不夠用時(shí)，應(yīng)考慮用定義解題.總之，靈活應(yīng)用圓錐曲線的定義解題，優(yōu)解題思路，方便求解.

G632

B

1008-0333(2017)13-0007-02