高考數(shù)列中不等式的證明

貴州省遵義市正安縣格林鎮(zhèn)永長村校(563405)

葉 飛●

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高考數(shù)列中不等式的證明

貴州省遵義市正安縣格林鎮(zhèn)永長村校(563405)

葉 飛●

對數(shù)列的考查，是高中數(shù)學(xué)的難點，也是高考的熱點.一般解法是利用重要不等式，對不等式進行放縮，并結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進行證明.本文結(jié)合高考題，對數(shù)列不等式的證明進行討論.

不等式;數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法；放縮法

數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有廣泛的應(yīng)用，尤其在數(shù)列的相關(guān)證明中發(fā)揮重要的作用.

分析 該題的兩道小題均涉及對一切正整數(shù)均成立的問題，從而優(yōu)先考慮數(shù)學(xué)歸納法，

解 (1) 用數(shù)學(xué)歸納法.先證明a2為奇數(shù).

解 (1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,

a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)×22=2λ3+23,

a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)×23=3λ4+24.

a.當(dāng)n=1時，a1=(1-1)λ+2=2,等式成立.

b.假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即ak=(k-1)λk+2k，則有

ak+1=λ[(k-1)λk+2k]+λk+1+(2-λ)2k=kλk+1+2k+1,

從而當(dāng)n=k+1時，等式成立.

因此，an=(n-1)λn+2n對任意n∈N*均成立.

(2) 設(shè)bn=(n-1)λn，則bn的前n項和

Tn=λ2+2λ3+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn，

λTn=λ3+2λ4+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1.

因為λ>0，所以an>0，要使得不等式成立，只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).

而(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+4)2n>4λ(n-1)λn+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2,

小結(jié) 從上面兩個例子可以看到，對于數(shù)列中的不等式進行處理，首先根據(jù)前幾項發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再使用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，并結(jié)合重要不等式，這是一種常用的處理手段，也是高考數(shù)學(xué)中考查分析能力的一種重要方法.

[1]劉劍鵬. 高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題技巧探析[J] . 數(shù)理化解題研究.2016，28：39

[2] 文衛(wèi)星. 挑戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)壓軸題[M].上海：華東師范大學(xué)出版社,2010

[3] 曲一線.五年高考三年模擬[M].北京：首都師范大學(xué)出版社,2016

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