位值制

張新春

討論位值制，我們應(yīng)先區(qū)分位值制與進(jìn)位制。事實(shí)上，相對(duì)于位值制而言，進(jìn)位制出現(xiàn)得更早，更普遍。從某種意義上說(shuō)，進(jìn)位制是對(duì)刻痕記數(shù)的直接改進(jìn)———刻痕記數(shù)，數(shù)是多少就刻多少道痕，對(duì)大數(shù)尤其是比較大的數(shù)而言，顯然不方便，于是很容易想到進(jìn)位制。所謂進(jìn)位制，就是以P個(gè)數(shù)組成一個(gè)新的單位，用一個(gè)新的符號(hào)表示。P個(gè)新的單位又組成一個(gè)更高的單位，用另一個(gè)符號(hào)表示。我們就把這個(gè)叫做P進(jìn)制。P叫做進(jìn)位的基?！叭绮凰阕钤嫉目毯塾洈?shù)，古今中外的記數(shù)法都是進(jìn)位制的”（梁宗巨，《世界數(shù)學(xué)通史》，遼寧教育出版社），而位值制則是在進(jìn)位制的基礎(chǔ)上，對(duì)如何處理新的單位想到了漂亮的辦法。以下即詳述這種辦法。

我們不難發(fā)現(xiàn)，前面敘述的加法累數(shù)制的羅馬記數(shù)和乘法累數(shù)制的中國(guó)記數(shù)有一個(gè)共同特點(diǎn)：新的單位必須創(chuàng)造新的名稱———無(wú)論是羅馬的“X”和中國(guó)的“十”，都是表示新的單位的符號(hào)。而位值制的漂亮在于不需要?jiǎng)?chuàng)造新的符號(hào)表示新的單位。比如，表示“20”，不需要寫成“XX”或“二十”，只需要把表示“2”的符號(hào)寫到表示“十”的位置上即可。同樣是這個(gè)“2”，還可以表示“200”，或“2000”……一個(gè)數(shù)碼表示什么數(shù)值，就看它在什么位置上，這就是位值的含義。

中國(guó)算籌記數(shù)與位值制雛形

中國(guó)算籌記數(shù)法非常接近位值制。古代的算籌實(shí)際上是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，一般長(zhǎng)為13～14cm，徑粗0.2～0.3cm，多用竹子制成。也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的。大約二百七十幾根為一束，放在一個(gè)布袋里，系在腰間隨身攜帶，需要記數(shù)和計(jì)算時(shí)就取出來(lái)。

在算籌記數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式表示單位數(shù)目，其中1～5分別用縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌表示，6～9則以上面的算籌加下面相應(yīng)的算籌表示，此時(shí)上面的一根表示5（如下圖所示）。

如前面所述，當(dāng)前通用的數(shù)字為阿拉伯?dāng)?shù)字，但使用何種數(shù)字卻并非十進(jìn)位值制的實(shí)質(zhì)。比如，我們可以用零、一、二、……九表示，4785就表示為“四七八五”。事實(shí)上，阿拉伯?dāng)?shù)字剛傳到歐洲，即引起當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家斐波拉契的高度關(guān)注。他在其名著《算盤書(shū)》中寫道：“這里的印度9個(gè)數(shù)字9，8，7，6，5，4，3，2，1，還有一個(gè)阿拉伯人稱之為零的符號(hào)0，可以把任何數(shù)表示出來(lái)，實(shí)在是一種理想的計(jì)數(shù)符號(hào)。”正是基于這種認(rèn)識(shí)，他號(hào)召歐洲人用這種數(shù)字取代羅馬數(shù)字。隨后又經(jīng)過(guò)諸多曲折，阿拉伯?dāng)?shù)字終于在16世紀(jì)得到廣泛的應(yīng)用。

位值制記數(shù)法最重要的優(yōu)點(diǎn)之一就是便于計(jì)算?！捌溆?jì)算規(guī)則可以用這些數(shù)字的加法表和乘法表的形式來(lái)表示，而且一旦記住，便可永遠(yuǎn)運(yùn)用自如。古代的計(jì)算技巧一度只限于少數(shù)專家所掌握，而現(xiàn)在則是小學(xué)里的課程了。像這樣的科學(xué)進(jìn)步對(duì)日常生活有如此深刻影響，并帶來(lái)極大方便的例子還不是很多”（[美]R·柯朗，H·羅賓，《什么是數(shù)學(xué)》，復(fù)旦大學(xué)出版社，2008）。

于是，在十進(jìn)位值制記數(shù)法之下，在運(yùn)算定律的支持下，任意兩個(gè)數(shù)相加，通過(guò)以上豎式的計(jì)算程序（法則），可以轉(zhuǎn)化成一系列20以內(nèi)加法的組合。而20以內(nèi)的加法原則上都是需要記憶的。因此，在20以內(nèi)加法的教學(xué)過(guò)程中，不管我們?nèi)绾未_定教學(xué)目標(biāo)，“接受”“記憶”是必須的方法。一定的計(jì)算速度是必要的目標(biāo)，不能簡(jiǎn)單地將“接受”和“記憶”等同于“落后”。

對(duì)于乘法，也完全類似。有了十進(jìn)位值制記數(shù)法，在乘法交換律、結(jié)合律以及分配律的支持下，任意兩數(shù)相乘都可以通過(guò)一定的程序（法則）轉(zhuǎn)化為一系列表內(nèi)乘法和加法的組合。這里的程序（法則）可以用我們熟悉的乘法豎式表示，而表內(nèi)乘法正如20以內(nèi)的加法一樣，都是需要記憶的。于是，乘法口訣的教學(xué)也一樣，其最根本的目標(biāo)是口訣能脫口而出。