基于壓縮感知的稀疏度自適應(yīng)圖像修復(fù)探究

劉卓亞　李東

摘要；圖像修復(fù)是指利用圖像中已有的信息，對(duì)破損的地方進(jìn)行修復(fù)或者刪減目標(biāo)物的圖像處理技術(shù)。壓縮感知是信號(hào)處理技術(shù)，利用信號(hào)的稀疏度，進(jìn)行采樣并恢復(fù)原始信號(hào)的技術(shù)。針對(duì)圖像修復(fù)的算法，本文對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行大量的分析，對(duì)K-奇異值分解（K-SVD）字典訓(xùn)練，從而取代正交基函數(shù)。根據(jù)圖像的退化數(shù)據(jù)，約束感知矩陣。對(duì)圖像破損稀疏度未知的問(wèn)題，提出了一種稀疏度自適應(yīng)正則化正交匹配追蹤算法（SA-ROMP），提高圖像修復(fù)精度。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏度自適應(yīng)；圖像修復(fù)

中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2017）07-0165-03

圖像處理中圖像的修復(fù)是一個(gè)重要的步驟。它是利用破損圖像中已知的信息進(jìn)行重建圖像，從而達(dá)到修復(fù)圖像的目的。視頻修復(fù)，圖像解壓和特技渲染上都會(huì)應(yīng)用到圖像修復(fù)技術(shù)。這也就是圖像修復(fù)技術(shù)的重要性所在。

1圖像修復(fù)算法

1.1圖像修復(fù)技術(shù)

目前圖像修復(fù)技術(shù)基本上分為3種。微分方程、紋理合成、稀疏表示的圖像修復(fù)等三種。第一種，微分方程（KSCB）圖像修復(fù)算法是利用破損圖像的破損邊緣進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)信息傳播的方式進(jìn)行修復(fù)。這種算法適用于破損比較小的圖像。但是這種算法需要大量的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算分析，速度太慢。而且大面積破損圖片的修復(fù)效果不夠穩(wěn)定。第二種，紋理合成圖像修復(fù)是一個(gè)很熱門的圖像修復(fù)技術(shù)。紋理采樣的方法，對(duì)大面積破損圖像修復(fù)，有較好的效果。這種算法首先要在破損邊緣選一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)破損圖像邊緣尋找相似的圖像點(diǎn)進(jìn)行填充。反復(fù)重復(fù)修復(fù)步驟，最終達(dá)到修復(fù)圖像的目的。其中難點(diǎn)就在于相似圖塊匹配情況和確定修復(fù)破損區(qū)域的順序問(wèn)題。而它的缺點(diǎn)在于對(duì)圖像結(jié)構(gòu)的分析不夠透徹，也就是說(shuō)根據(jù)破損邊緣尋找的相似圖像點(diǎn)的匹配上會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，從而造成了圖像有些不太和諧的結(jié)果。第三種，稀疏度圖像修復(fù)是利用字典和修復(fù)圖像內(nèi)的一些信息進(jìn)行稀疏編碼，進(jìn)行圖像修復(fù)。Elad、Dohono等人提出的MCA分解單步壓縮感知的圖像修復(fù)算法，是將圖像分解為文理部分和結(jié)構(gòu)部分兩部分進(jìn)行修復(fù)。最后將兩部分圖片修復(fù)的結(jié)果相加得到的圖片就是修復(fù)后的圖片。但是這種圖片修復(fù)技術(shù)同樣也無(wú)法避免，信號(hào)擴(kuò)散過(guò)程中產(chǎn)生模糊的問(wèn)題。

1.2壓縮感知理論

壓縮感知是一門新穎的信息采集和處理技術(shù)。傳統(tǒng)的信息采集和處理是從采樣開(kāi)始，經(jīng)過(guò)壓縮和傳輸最后進(jìn)行解壓縮的步驟。經(jīng)過(guò)Dohono、Tao等人的深入研究，對(duì)壓縮感知技術(shù)進(jìn)行了提升。在未損失信息的情況下，利用信號(hào)的稀疏情況，將采集和壓縮步驟合并進(jìn)行。最后經(jīng)過(guò)重構(gòu)恢復(fù)原始信號(hào)。這種技術(shù)可以大大降低采樣的頻率，傳輸?shù)膲毫档汀⑻幚頃r(shí)間和計(jì)算成本變低。壓縮感知理論現(xiàn)在應(yīng)用在很多領(lǐng)域中，例如，信息通信和圖像處理上的應(yīng)用非常的廣泛。

1.3圖像修復(fù)算法

重構(gòu)算法是壓縮感知理論（CS）中一個(gè)重要環(huán)節(jié)。從低維信號(hào)中恢復(fù)原始高維信號(hào)，是算法的關(guān)鍵所在。在壓縮感知理論下的重構(gòu)算法有三種。最常用的算法為貪婪算法。顧名思義，其意義為，在對(duì)問(wèn)題求解時(shí)總是從當(dāng)前情況中選擇最好的解決方法。由于貪婪算法的重構(gòu)效率較高、算法的復(fù)雜度比較低等原因，應(yīng)用比較廣泛。它的典型算法有匹配追蹤算法、正則化正交匹配追蹤（ROMP）和正交匹配追蹤（OMP）算法等。但是這些算法必須要求對(duì)信號(hào)稀疏度的精確性把握。稀疏度參數(shù)一旦出現(xiàn)問(wèn)題，圖像重構(gòu)質(zhì)量就會(huì)下降。稀疏度未知時(shí)可以對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，這時(shí)的重構(gòu)效果將更不穩(wěn)定。

對(duì)于破損圖像來(lái)說(shuō)，對(duì)信號(hào)稀疏度的估計(jì)根本無(wú)法事先完成。所以修復(fù)質(zhì)量將出現(xiàn)很多問(wèn)題。而SAMP算法在選定稀疏度步長(zhǎng)時(shí)過(guò)小，會(huì)出現(xiàn)很多算法數(shù)值相等的情況。而過(guò)大時(shí)圖像修復(fù)效果將極度降低。所以本文提出了一種基于壓縮感知的稀疏度自適應(yīng)修復(fù)算法。應(yīng)用一個(gè)超完備字典，通過(guò)破損圖像模型，對(duì)感知矩陣進(jìn)行約束，應(yīng)用壓縮感知的稀疏度自適應(yīng)正則化正交匹配追蹤算法（SA-ROMP），建立模型進(jìn)行圖像修復(fù)。這種算法可以根據(jù)選擇的原子點(diǎn)自適應(yīng)選擇原子個(gè)數(shù)，可以靈活地將適合的作為候選，用正則化再次篩選出精度較高的原子，保證更好的修復(fù)圖像。

2壓縮感知（CS）理論的圖像修復(fù)模型

信號(hào)在變換域上有稀疏度，那么就用與變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣將變換得到的高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上。最后對(duì)一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。從低維空間的投影中以高概率重構(gòu)出原始信號(hào)。

原始信號(hào)設(shè)為X，X可以看作是在低維空間R^N空間的N×1的向量。R^N空間中的信號(hào)都可以用Ψ_i（i=1，2，…，N）表示。因此得公式：X=Ψ_a

如果X在Ψ上的表示0<α

根據(jù)CS理論，對(duì)原始信號(hào)稀疏變換，原始信號(hào)X（XERn）。信號(hào)長(zhǎng)度為N，基向量為Ψ_i（i=1，2，…，N）。信號(hào)X投影到稀疏基雪上以后得到公式：

（1）

選擇適合的稀疏基是研究的重點(diǎn)。所以研究方向分兩個(gè)，一為設(shè)計(jì)更一個(gè)算法更快速有效的稀疏分解計(jì)算。常用的有小波變換、震蕩信號(hào)Gabor變換和離散余弦變換算法。而另一個(gè)研究方向是建設(shè)一個(gè)超級(jí)完備字典K-SVD等。

3基于CS理論的稀疏度自適應(yīng)圖像修復(fù)實(shí)驗(yàn)

3.1K-SVD字典訓(xùn)練算法

信號(hào)的稀疏表示能力越強(qiáng)，運(yùn)用算法時(shí)更快捷方便。K-SVD字典訓(xùn)練算法是對(duì)各類圖像樣本進(jìn)行訓(xùn)練，通過(guò)自適應(yīng)更新字典原子，建設(shè)出超完備字典。因?yàn)槭菙U(kuò)展了原有的字典訓(xùn)練算法，能更有效的減少字典中原子的個(gè)數(shù)。訓(xùn)練后的原子數(shù)還是可以表示出初始字典的所有信息。

（2）

K-SVD字典訓(xùn)練算法是將此公式優(yōu)化進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果。其中y表示本集{y_i）}^N_i=1。D表示我們建設(shè)的超完備字典，X表示稀疏矩陣，T₀（T₀≠0）元素個(gè)數(shù)的最大值。

在進(jìn)行K-SVD字典訓(xùn)練算法時(shí)首先要給字典D賦予初始值?？梢允褂萌魏我环N追蹤算法，求解每個(gè)y_i的向量x_i。從而更新字典，也就是根據(jù)x_i更新D，可以假設(shè)d_i是D中第k列原子。E_k是誤差矩陣：

（3）

從而得到下來(lái)式子；

（4）

3.2感知矩陣設(shè)計(jì)

本文選用超完備字典對(duì)正交變換基進(jìn)行取代，感知矩陣A—RD。D為超完備字典。為感知矩陣能滿足RIP條件，選用MC代替。定義A的互相干是

（5）

α_i是A的第i列向量。在稀疏度和互相干參數(shù)能滿足一定的條件下，應(yīng)用K-SVD訓(xùn)練的超完備字典進(jìn)行對(duì)圖像的修復(fù)。經(jīng)過(guò)計(jì)算，其圖像修復(fù)效果還是比較好的。對(duì)于破損面積比較大的圖像，可能存在一定的模糊情況。

3.3稀疏度自適應(yīng)正則化正交匹配追蹤算法

正交匹配追蹤算法每次選代只能選擇與殘差最相關(guān)的一列。而正則化正交匹配追蹤算法則是一種改進(jìn)的算法，是在成組篩選原子時(shí)加入了回溯思想，在選出候選支撐原子集后，需要進(jìn)行正則化過(guò)程，對(duì)候選支撐原子集進(jìn)行分組，選擇能量最大的組作為本次迭代所得支撐原子集。

本文算法提出的SA-ROMP是利用殘差和感知矩陣相關(guān)系數(shù)的變化特性，對(duì)該系數(shù)進(jìn)行差分運(yùn)算，不僅滿足了ROMP算法，還在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行的了更新。與之相比，不依賴稀疏度K，無(wú)需對(duì)稀疏度進(jìn)行評(píng)估的情況下可以直接進(jìn)行原始信號(hào)恢復(fù)。SA-RQMP算法也不需要設(shè)定弱選擇參數(shù)，從而能更好地完成自適應(yīng)條件。所以從這些情況能發(fā)現(xiàn)，SA-ROMP算法優(yōu)勢(shì)是比較明顯的。

3.4SA-ROMP算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟

1）設(shè)定算法輸入：測(cè)量信號(hào)y，感知矩陣φ，常數(shù)C，算法迭代誤差t，

2）輸出：殘差r_k，信號(hào)估計(jì)x

3）初始化：初始?xì)埐钪祌₀=y，迭代次數(shù)初始值k=1；支撐原子集I_k=φ

4）迭代

4實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證SA-ROMP算法的可行性，我們選擇了多種類型的破損圖像進(jìn)行修復(fù)?？梢灾庇^地從圖像修復(fù)的質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。經(jīng)過(guò)PMSE預(yù)算，反應(yīng)修復(fù)圖片的前后誤差，對(duì)比逼近程度。再經(jīng)過(guò)SSIM對(duì)修復(fù)前后的兩幅圖像進(jìn)行相似度對(duì)比。設(shè)x是原始圖像，y是修復(fù)完成后的圖像；

（9）

（10）

其中μ是圖像的均值，而σ表示的則是方差。c₁，c₂表示的是常數(shù)。有這樣的常數(shù)跟更增加計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性。

為了更好的比較每種算法受到稀疏度的影響所呈現(xiàn)的圖像修復(fù)情況，進(jìn)行了對(duì)照試驗(yàn)。經(jīng)過(guò)各種算法的圖片對(duì)比如下：

從圖中可以直觀地看出，各種算法在不同稀疏度取值后的修復(fù)結(jié)果。其中的差距還是比較大。稀疏度的選取非常的重要，一旦不合適，其圖片修復(fù)質(zhì)量也會(huì)直接下降。從圖2可以看到，在ROMP應(yīng)用K-SVD字典算法的PSNR的最高在32.101 9 dB。但是本文提出的算法PSNR指標(biāo)一直保持在35.213 8 dB，明顯高于其他算法。所以在圖像修復(fù)性能上要比其他算法有一定的優(yōu)勢(shì)。根據(jù)上述不同算法圖片修復(fù)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比。如下表；

從圖表1的數(shù)據(jù)中，可以看出各種算法的修復(fù)指標(biāo)。本文提出的SA-ROMP算法相對(duì)于其他算法在各種修復(fù)指數(shù)上都要占有一定的優(yōu)越性。并且根據(jù)表2的結(jié)果可以看出應(yīng)用稀疏度自適應(yīng)SAMP算法修復(fù)圖片的效果比較差。而弱選擇的稀疏度自適應(yīng)算法在不同參數(shù)下的修復(fù)效果不同。但是本文提出的SA-ROMP算法根本不需要人工提前設(shè)定參數(shù)進(jìn)行預(yù)算。其自適應(yīng).陛要比其他算法更有優(yōu)勢(shì)。

5總結(jié)

貪婪算法受稀疏度參數(shù)的影響，在圖像重構(gòu)結(jié)果上有一定的缺陷。本文根據(jù)ROMP算法的基礎(chǔ)上提出了稀疏度自適應(yīng)正則化正交匹配追蹤算法。利用超完備字典取代正交基函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了在未知稀疏度的情況下，完成對(duì)圖像的修復(fù)技術(shù)。而且通過(guò)不同算法圖像修復(fù)的對(duì)比，可以直觀地看出本文提出的圖像修復(fù)算法的優(yōu)越性。但是超完備字典的訓(xùn)練時(shí)間比較長(zhǎng)，在圖像修復(fù)技術(shù)中更快更好的完成圖像修復(fù)還需要更多的技術(shù)研究。