定積分計算的解題技巧

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

定積分計算的解題技巧

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

定積分的計算是高考中一個基本考點,常見的計算方法有定義法、幾何意義法與微積分基本公式法等。高中階段,由于定義法求定積分(四個基本步驟:分割、近似代替、求和、取極限)過程比較煩瑣,實際計算中不太實用。在實際應(yīng)用中,一般利用幾何意義法、微積分基本公式法、定積分性質(zhì)法以及被積函數(shù)奇偶性法等來計算求解。

1.幾何意義法

根據(jù)定積分的幾何意義,對于在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0,那么定積分表示由直線x=a,x=b(a≠b), y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。特別地,對于一些特殊函數(shù)的定積分求解,可以借助特殊圖形(如:圓等)加以計算。在實際求解曲邊梯形的面積時要注意在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負(fù)號。

分析：結(jié)合題中被積函數(shù)所表示的曲線為相應(yīng)的圓的一部分,利用定積分的幾何意義,結(jié)合圓的面積公式來計算。

由定積分的幾何意義可知,此積分計算的是半圓的面積。

(2)被積函數(shù)y=1-x2(x∈[0,1])表示的曲線是圓心在原點,半徑為1的四分之一圓周。

由定積分的幾何意義可知,此積分計算的是四分之一圓的面積。

點評:本題主要考查定積分的計算,圓的面積公式。利用定積分的幾何意義計算定積分時,關(guān)鍵是正確判斷被積函數(shù)所表示的曲線以及變量的取值限制,把問題轉(zhuǎn)化為求相對應(yīng)的圖形的面積。

2.微積分基本公式法

微積分基本公式揭示了定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系,為計算定積分提供了一種十分簡捷的方法。如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F'(x)=f(x),則∫baf(x)dx =F(b)-F(a)。其步驟為:第一步:求f(x)的一個原函數(shù)F(x);第二步:計算F(b)-F(a)的值。

分析：直接根據(jù)微積分基本公式進(jìn)行求解即可。

故答案為0。

點評:本題主要考查定積分的計算與函數(shù)值的計算問題。利用微積分的基本公式計算定積分時應(yīng)注意兩點:一是正確選擇被積函數(shù),二是注意被積區(qū)間,其結(jié)果是原函數(shù)在[a,b]上的改變量F(b)-F(a)。

3.定積分性質(zhì)法

如果直接利用定積分的定義求解定積分難度比較大,而利用微積分基本定理的相應(yīng)公式計算時計算量有點大,可以考慮利用定積分的相應(yīng)性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化與計算。

分析：通過定積分的相關(guān)性質(zhì),將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為x2,直接利用已知條件,大大簡化計算過程,也體現(xiàn)了發(fā)散思維能力的訓(xùn)練。

點評:本題主要考查定積分的計算,定積分的相關(guān)性質(zhì)。結(jié)合已知條件,若直接利用定積分的定義求相應(yīng)的定積分的值難度非常大,而通過逆用定積分的相應(yīng)性質(zhì)加以分析求解,就非常巧妙簡捷。

4.被積函數(shù)奇偶性法

如果被積函數(shù)是奇函數(shù),則其在對稱區(qū)間上的定積分為0;如果被積函數(shù)是偶函數(shù),則其在對稱區(qū)間上的定積分等于正數(shù)區(qū)間的2倍。利用被積函數(shù)奇偶性法,可以使得一些定積分的計算化難為易,簡單快捷。

(2014年湖北省理科卷第6題)若函數(shù)f(x),g(x)滿足0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的一組正交函數(shù)。給出三組函數(shù):

②f(x)=x+1,g(x)=x-1;

③f(x)=x,g(x)=x2。

其中為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

分析：常規(guī)方法可根據(jù)創(chuàng)新定義分別計算各組函數(shù)對應(yīng)的定積分的值,結(jié)合題目條件加以判斷。而直接利用創(chuàng)新定義,若函數(shù)f(x),g(x)滿足∫1-1f(x)g(x)dx=0,則對應(yīng)的函數(shù)f(x)g(x)必須為奇函數(shù),這樣判斷更為直觀。

解：由題意知,要滿足f(x),g(x)是區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù),需滿足∫1-1f(x)·

g(x)dx=0,此時f(x)g(x)必須是奇函數(shù)。

②中,f(x)g(x)=(x+1)(x-1)= x2-1是偶函數(shù),不滿足條件;

③中,f(x)g(x)=x·x2=x3是奇函數(shù),滿足條件。

綜上,在區(qū)間[-1,1]上是正交函數(shù)的組數(shù)是2,故答案為C。

點評:本題主要在新定義下考查定積分的計算,函數(shù)的基本性質(zhì)。采用以上的被積函數(shù)奇偶性法來處理,顯然比直接去計算相應(yīng)的定積分更為簡單快捷,理解起來比較容易,處理起來也比較簡單。

在實際的定積分計算中,有時可以單一使用相關(guān)的方法,有時要綜合以上多種相關(guān)的方法加以應(yīng)用。正確掌握定積分的定義,把握相關(guān)的計算方法是解決定積分計算的關(guān)鍵所在,也是考查的重點。

(責(zé)任編輯 徐利杰)