復(fù)數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)題型

■陜西省西安市高新區(qū)第三中學(xué) 呂二動(dòng) 姬亞鵬

復(fù)數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)題型

■陜西省西安市高新區(qū)第三中學(xué) 呂二動(dòng) 姬亞鵬

復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識,涉及知識面廣,對綜合能力要求較高,基礎(chǔ)性題目多是關(guān)于復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)代數(shù)形式等;綜合性題目主要考查同學(xué)們的運(yùn)算能力,及運(yùn)用復(fù)數(shù)知識分析解決問題的能力。

題型1：考查復(fù)數(shù)定義

①復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是:

故當(dāng)m=-2時(shí),復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)。

②復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是:

故當(dāng)m≠-3且m≠-2時(shí),復(fù)數(shù)z為虛數(shù)。

③復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是:

故當(dāng)m=1時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)。

點(diǎn)評:要注意m的取值范圍是m≠-3,它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的必要條件。特別注意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0。

題型2：考查in(n∈N+)的周期性

計(jì)算:1+2i+3i2+…+

1000i999。

解：設(shè)S=1+2i+3i2+…+1000i999,則iS=i+2i2+3i3+…+999i999+1000i1000。

(1-i)S=1+i+i2+…+i999-

點(diǎn)評:i是虛數(shù)單位,并規(guī)定i2=-1。由此我們可以發(fā)現(xiàn)i的一些有趣的結(jié)論:

(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= -i(n∈N+);(2)i-1=-i;(3)(1±i)2=±2i,

題型3：考查±1的立方根

若1+x+x2=0,則1+x+x2+…+x100=____。

解：因?yàn)?1+x+x2)(x-1)=x3-1=0(x≠1),所以可令

則原式=1+ω+ω2+…+ω100=(1+ω+ω2)+(ω3+ω4+ω5)+…+(ω96+ω97+ω98)+ω99+ω100=1+

點(diǎn)評:ω是1的一個(gè)立方根。在復(fù)數(shù)的范圍內(nèi),1的立方根是:1通常我們令,有關(guān)它的常見的結(jié)論有若把其中的ω?fù)Q成ω,結(jié)論仍然成立,即(ω)3

(責(zé)任編輯 徐利杰)