由一道中考題引發(fā)的思考

廣東省新興縣蠶崗中學(xué)(527423) 王秋

由一道中考題引發(fā)的思考

廣東省新興縣蠶崗中學(xué)(527423) 王秋

學(xué)生解方程的計(jì)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要能力,在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中,計(jì)算占有很大的比重.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于各種計(jì)算的知識(shí)及技能.方程是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),其思想方法已滲透到數(shù)學(xué)的各方面,它是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要工具.其中解一元二次方程就是計(jì)算能力的一種表現(xiàn),一元二次方程的解法在應(yīng)用題、二次函數(shù)、圓等知識(shí)中都有密切的聯(lián)系,是不可或缺的內(nèi)容.近日,筆者參加2015年云浮中考閱卷,在閱卷過程中,筆者摘錄了一道一元二次方程計(jì)算題的種種錯(cuò)誤解答,通過對考生答題錯(cuò)誤情況的分析,試圖說明一些教學(xué)啟示,以提高學(xué)生的計(jì)算能力,提高計(jì)算的準(zhǔn)確率.

題目: 17.解方程:x2?3x+2=0.

本題主要考查一元二次方程的基本解法,可以用配方法、求根公式法、也可以用因式分解法來進(jìn)行求解.此題設(shè)計(jì)簡約、大方,難度不大,可以直接用方法解方程,但考試結(jié)果不盡人意,本題滿分6分,最終得分3.91分.筆者在閱卷中發(fā)現(xiàn)有以下典型的錯(cuò)誤類型:

錯(cuò)誤類型1:解:

致錯(cuò)原因:此解法在學(xué)生初初看來沒有什么問題,都按照了配方法的步驟來解題:移項(xiàng)、方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方、配方、用直接開平法解.可是仔細(xì)看來,學(xué)生對乘方和開方的概念有所誤解,導(dǎo)致本題出現(xiàn)錯(cuò)誤.

致錯(cuò)原因:學(xué)生用了求根公式法來解方程,解題步驟沒有問題,問題是學(xué)生記錯(cuò)了求根公式,在閱卷過程中,還有學(xué)生把根的判別式寫成4ac?b2,或者求根公式?jīng)]有分母,或者沒有±.學(xué)生對公式的不理解,或者靠死記硬背得到的公式,在緊張的考試氛圍中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,或者與二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式混淆.

教學(xué)啟示:關(guān)于公式結(jié)論,一般都采用多練來鞏固公式,或是死記硬背公式等,這樣的方法能取到暫時(shí)的成績,但是阻礙學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展.學(xué)生往往知其然而不知其所以然,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是知識(shí)的單純記憶、積累,而是信息的加工、構(gòu)造、改組的過程,是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)重組和擴(kuò)大的過程.關(guān)注數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程,讓學(xué)生通過感知、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用的過程,把握數(shù)學(xué)本質(zhì),在公式的推導(dǎo)過程中應(yīng)多花點(diǎn)時(shí)間,力求理解公式的得來.求根公式就是用配方法推導(dǎo)出來的,如果學(xué)生能理解了整個(gè)推導(dǎo)過程,這個(gè)公式也差不多記得了,教師再通過練習(xí)鞏固公式就好.同時(shí),用配方法推導(dǎo)求根公式的方法還是推導(dǎo)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的基礎(chǔ),打好了這個(gè)基礎(chǔ),也為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

錯(cuò)誤類型3:解:x2?3x=?2,x(x?3)=?2,x=?2, x?3=?2,x1=?2,x2=1.

致錯(cuò)原因:學(xué)生用了因式分解法來解題,但是對因式分解法的定義認(rèn)識(shí)偏差,因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,即A·B=0形式,學(xué)生忽略了右邊是等于0的形式,從而導(dǎo)致出錯(cuò).

教學(xué)啟示:因式分解是多項(xiàng)式的一種重要變形,它是學(xué)習(xí)分式、根式、方程等許多知識(shí)的工具,初學(xué)因式分解時(shí),有些同學(xué)由于對概念理解不清、方法運(yùn)用不當(dāng),常會(huì)犯這樣或那樣的錯(cuò)誤.針對因式分解有多種方法,教學(xué)時(shí)可以采用小組合作探究學(xué)習(xí).在探究過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生自己去深入思考、自己動(dòng)手、自己實(shí)踐,使學(xué)生在實(shí)踐過程中真正掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,尋求解決問題的方法.在探究過程中,師生間、生生間一起討論,形成解決問題的途徑,彼此的方法和思考的碰撞,就會(huì)引發(fā)學(xué)生思維的火花,不但加深對知識(shí)的理解和掌握,而且在思維的碰撞中有新的發(fā)現(xiàn).這樣,學(xué)生對提公因式、公式法、十字相乘法有更深刻的理解,總比老師在不停地講效果要好.當(dāng)然,少不了相應(yīng)的練習(xí),讓學(xué)生熟練掌握不同形式的多項(xiàng)式用不同的方法,有比較才有進(jìn)步.

錯(cuò)誤類型4:解:(x+1)(x?2)=0,x+1=0,x?2= 0,x1=?1,x2=2.

致錯(cuò)原因:學(xué)生用了因式分解的十字相乘法來解,此方法不是考試大綱要求的,但是在八年級上冊課本中,在“閱讀與思考”的內(nèi)容中出現(xiàn)過,為了擴(kuò)大學(xué)生知識(shí)面介紹了一種簡單的形式:x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解.由于分解因數(shù)以及十字相乘都有多種情況,所以容易出錯(cuò).

教學(xué)啟示:代數(shù)式的十字相乘法:先分解二次項(xiàng)系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數(shù)項(xiàng),分別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項(xiàng)系數(shù).十字相乘法在解一元二次方程中不是萬能的,要使得Δ=b2?4ac能夠開得盡方才能使用.化方程為一般式,在分解因數(shù)以及十字相乘時(shí)會(huì)有多種可能情況,往往需要經(jīng)過多次嘗試,才能確定怎樣分解.學(xué)生解完題目,提醒學(xué)生代入題目檢驗(yàn)下,是否正確,像這個(gè)題目,把x1=?1,x2=2代入方程中發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的,如果考試時(shí)檢驗(yàn)的話,還可以糾正,拿到這題目的6分.讓學(xué)生養(yǎng)成在解答過程中檢驗(yàn)的習(xí)慣,是保證解答正確性的法寶之一.

錯(cuò)誤類型5:解:

經(jīng)檢驗(yàn):x1=2,x2=1是原方程的根.

致錯(cuò)原因:此種寫法的學(xué)生,混淆了一元二次方程和代數(shù)式解題的書寫格式,方程的變化是等式的變形,等號(hào)左右兩邊是恒等的變形,計(jì)算過程中的等號(hào),是說明上一個(gè)式子與下一個(gè)式子是相等的.檢驗(yàn)是在解分式方程才需要寫上檢驗(yàn),整式方程不需要寫出來.上述寫法還反映了學(xué)生審題不清,沒有搞清楚是解方程還是化簡代數(shù)式.

教學(xué)啟示:這種錯(cuò)誤在學(xué)習(xí)了代數(shù)式的化簡后就容易出現(xiàn),知識(shí)產(chǎn)生了負(fù)遷移,我們在教學(xué)過程中,一要注意將這種錯(cuò)誤進(jìn)行比較,分析錯(cuò)誤的原因;二要加強(qiáng)對比練習(xí),以引起學(xué)生區(qū)分鑒別題型,最終達(dá)到理解代數(shù)式的運(yùn)算和解方程是兩種不同變形,一種是恒等變形,另一種是等式變形,變形的理由是不一樣的.平時(shí)在分析例題時(shí),要具有解題的示范性,尤其是書寫格式,要有規(guī)范性.

錯(cuò)誤類型6:解:

……

致錯(cuò)原因:心理因素影響,產(chǎn)生筆誤.移項(xiàng)不記得變號(hào)、抄題出錯(cuò)、計(jì)算結(jié)果粗心寫錯(cuò),計(jì)算錯(cuò),這些錯(cuò)誤都是致命的,計(jì)算過程往往涉及較多步驟,一步錯(cuò)就會(huì)發(fā)生連環(huán)錯(cuò).

教學(xué)啟示:在考試的環(huán)境下,學(xué)生情緒緊張,常常會(huì)產(chǎn)生一些“莫名其妙”的錯(cuò)誤,其中許多就是由于心理因素造成的.解決這種問題,仍然是檢查,方法是一步一回頭,做一步回頭檢查一步,保證一環(huán)扣一環(huán)是正確的.同時(shí),考前教師對學(xué)生進(jìn)行心理輔導(dǎo),力爭保持最佳的考試狀態(tài).

總之,教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,要注重概念的形成,注重公式的生成,注重方法的運(yùn)用,注重學(xué)生的書寫格式,注重學(xué)生的身心健康,注重知識(shí)間的聯(lián)系.只有教師在教學(xué)中多下功夫研究、學(xué)習(xí)、總結(jié),才能有足夠的能力讓學(xué)生學(xué)得輕松,才能讓學(xué)生在面對中考千變?nèi)f化的題目時(shí)從容應(yīng)對.

[1]中華人民共和國教育部制定,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M],北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

[2]課程教材研究所,義務(wù)教育教科書,數(shù)學(xué)(八年級上冊)[J],北京:人民教育出版社,2012.

[3]課程教材研究所,義務(wù)教育教科書,數(shù)學(xué)(九年級上冊)[J],北京:人民教育出版社,2012.

[4]雷玲主編,中學(xué)數(shù)學(xué)名師教學(xué)藝術(shù)[M],上海:華東師范大學(xué)出版社, 2014.