探尋初中數(shù)學規(guī)則課型教學
——以“直角三角形全等的判定”教學為例

廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 王碧瑩

探尋初中數(shù)學規(guī)則課型教學
——以“直角三角形全等的判定”教學為例

廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 王碧瑩

數(shù)學中的定理、公式是揭露和反映數(shù)學概念本質(zhì)屬性及屬性間的聯(lián)系的一種重要形式,也是學生思維提升和思維訓練的良好素材.定理、公式課的教學是一個動態(tài)的生成過程,如何提高教學效率,是一線老師的追求.

1 緣起

課型即課的類型,是根據(jù)一節(jié)課(有時是連續(xù)的兩節(jié)或三節(jié)課)承擔的主要任務來劃分的.以初中數(shù)學中的法則、公式、公理、定理、數(shù)學重要結(jié)論等數(shù)學規(guī)則的教學作為主要教學任務的一類課統(tǒng)稱為初中數(shù)學規(guī)則課型.[1]

初中數(shù)學規(guī)則課型教學的主要任務是使學生能說明規(guī)則反映的關(guān)系,以及能靈活運用規(guī)則在其適用的各種不同情景中解決問題,學與教的過程是:習得階段——轉(zhuǎn)化階段——遷移與應用階段.下面,筆者以《直角三角形全等的判定》[2]為例,探尋初中數(shù)學規(guī)則課型的教學,以見教于同行.

2 教學片斷簡錄

2.1 習得規(guī)則階段

2.1.1 創(chuàng)設情景,激發(fā)學習規(guī)則的動機

[教學片斷1]

[問題1]學校報告廳舞臺背景的形狀是兩個直角三角形,工作人員想知道兩個直角三角形是否全等,但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住,無法測量.

圖1

師:工作人員知道這兩個直角三角形哪些因素相等嗎?

生:兩個直角相等.

師:如果他有量角器和卷尺,你能幫他想個辦法嗎?根據(jù)是什么?

生1:測量對應一邊和一銳角,根據(jù)ASA,AAS.

生2:測量其余兩邊與這兩邊的夾角,根據(jù)SAS.

(學生方法很多,有量邊的,有量角的,此時教師加以引導)

師:如果他只帶一個卷尺,能完成這個任務嗎?只帶了卷尺,那他用卷尺只能量出邊,能完成任務嗎?

(學生交頭接耳,興趣高漲.)

【設計意圖】直接進入本節(jié)課學習的內(nèi)容,激起學生的興趣,讓學生大膽提出猜想.

2.1.2 實驗操作,習得規(guī)則

[教學片斷2]

[問題2]像圖中,如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等,這兩個直角三角形全等嗎?

[實驗操作]:

圖2

已知任意Rt△ABC,∠C= 90?,再畫一個Rt△A′B′C′,使∠C′=90?,B′C=BC,A′B′=AB,然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上,你發(fā)現(xiàn)了什么?

(學生同桌合作,畫圖,剪圖,教師巡堂,適當幫扶,在學生作圖后,老師結(jié)合學生的作圖感悟進一步引導.)

師:(1)作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律?(2)你能用文字語言和符號語言概括嗎?

生: 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

師: 判定兩個直角三角形全等的方法有哪些?運用定理HL要注意哪些?

生:(1)“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.(2)注意對應相等.

2.1.3 辨析依據(jù),明確規(guī)則適用的條件

[問題3]把下列說明Rt△ABC～=Rt△DEF的條件或根據(jù)補充完整.

圖3

圖4

(1)____,∠A=∠D(ASA)

(2)AC=DF,___(SAS)

(3)AB=DE,BC=EF( )

(4)AC=DF,___(HL)

(5)∠A=∠D,BC=EF( )

(6)____,AC=DF(AAS)

(學生思考、交流,代表回答,老師同步PPT展示)

【設計意圖】通過作圖、剪圖、比較圖的過程讓學生獲得“斜邊、直角邊”的判定方法,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力,鍛煉學生運用數(shù)學語言的能力.通過小結(jié)和辨析,培養(yǎng)學生分類討論的思想、反思的習慣、理性的思維.

2.2 轉(zhuǎn)化規(guī)則階段

[教學片斷3]

2.2.1 樣例學習,明確規(guī)則流程

圖5

圖6

例題1:如圖5,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分別為C,D,AC=BD.求證:BC=AD.

2.2.2 變式練習,熟悉規(guī)則

變式:若圖中AC,BD相交于點E,圖中還有全等三角形嗎?怎樣證明?

2.2.3 實際場景,習得技能

例題2:如圖6,有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么關(guān)系?

(學生思考,老師引導,提煉模型,分析思路,明確規(guī)則適用的情景和程序,滲透轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想方法.)

2.3 遷移和應用規(guī)則階段

[教學片斷4]

2.3.1 學以致用,應用規(guī)則

1.使兩個直角三角形全等的條件是 ( )

A.一個銳角對應相等 B.兩個銳角對應相等

C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等

2.如圖7,O是∠BAC內(nèi)一點,點O到BA,AC距離相等,即OE=OF,則AE=AF的依據(jù)是( )

A.SSS B.AAS C.HL D.SAS

圖7

圖8

3.如圖8,DB⊥AB于點B,DC⊥AC于點C,且BD=CD.求證:AD平分∠BAC.

2.3.2 拓展延伸,遷移規(guī)則

圖9

4.已知:如圖9,在△ABC和△A′B′C′中,AD、A′D′分別是高,并且AC=A′C′,AD=A′D′,∠CAB=∠C′A′B′.求證:△ABC～=△A′B′C′.

變式1:若把題中的∠ACB=∠A′C′B′改為AB=A′B′,△ABC與△A′B′C′全等嗎?請說明思路.

變式2:若把題中的∠ACB=∠A′C′B′改為BC=B′C′,△ABC與△A′B′C′全等嗎?請說明思路.

變式3:請你把題中的∠ACB=∠A′C′B′改為另一個適當條件,使△ABC與△A′B′C′仍能全等.試說明證明思路.

2.3.3 小結(jié)反思,內(nèi)化規(guī)則

以問題帶動總結(jié),幫助學生整理思路,引導學生回放錯題,從錯因分析中積累運用規(guī)則的經(jīng)驗和細節(jié).

3 教學反思

3.1 以問題為導線,明確規(guī)則

問題是數(shù)學的心臟,也是教學的起點,在本節(jié)課的教學中,教師以問題為導線,步步為營,揭示規(guī)則的本質(zhì)、明確規(guī)則運用的情景、學會用規(guī)則去解決問題,促進了學生思維的發(fā)展,能力的提升.在片斷1中,我精心設置情景,通過測量工具的作用和變更,一問問進行,既帶動著學生回顧了直角三角形的判定方法,又引出課題.在片斷2規(guī)則的習得過程中,老師設計問題:＂作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律?你能用自己的語言描述嗎?你能用文字語言概括嗎?你能用符號語言表述嗎?＂在環(huán)環(huán)相扣的問題中,帶著學生的思維一步步從具體到抽象,從理解到規(guī)范的文字表述,在表述中理解新的規(guī)則.在直角三角形全等的辨析中,引領(lǐng)學生在新知識內(nèi)部和新舊知識之間進行加工,自我建構(gòu)知識.

3.2 構(gòu)建模型提煉策略,推進數(shù)學思考

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)[2]指出:“在數(shù)學課程中,應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”.平面幾何是初中數(shù)學課程的重要組成部分,是培養(yǎng)學生空間想象能力、邏輯思維能力、創(chuàng)造能力、分析和解決問題能力的源本.但是,八年級學生由于年齡和認識所限,邏輯推理、圖形分析方面較弱.因此,建構(gòu)模型、提煉策略有利于學生的數(shù)學思考、幾何規(guī)則的習得.在本節(jié)課中,在片斷1情景的引入中,我引導學生提煉舞臺背景:兩個直角三角形,問題的本質(zhì)轉(zhuǎn)化為探索兩個直角三角形全等.在片斷3例題2的學習中,老師通過PPT工具,從實際情景抽煉出模型:兩個直角三角形,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題解決,“建模、化歸”的數(shù)學思想方法在問題解決中自然滲透,讓學生獲得學習自主的成長與發(fā)展.習得規(guī)則之后,如何運用規(guī)則解決問題呢?教師要適時引導,明確規(guī)則流程,提煉思維策略,例如在片斷3例題的學習中,為了更好地讓學生明確規(guī)則流程,整理思維,教師采用分析法的手段:

例1:求:BC=AD←△ABC～=△BAD←知:AC=BD,AC⊥BC,BD⊥AD,AB公共邊,并追問:全等依據(jù)是什么?

例2:求∠ABC=∠DEF←△ABC～=△DEF←知:BC=EF,AC=DF,∠A,∠D是直角.并追問:全等依據(jù)是什么?

引導學生經(jīng)歷由果索因的問題解決的過程,滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.再引導學生整理解題的步驟,體會綜合法的表述:

例1的步驟為:①由AC⊥BC,BD⊥AD得△ABC和△BAD都是直角三角形;②運用HL證明△ABC～=△BAD;③BC=AD.

例2的步驟為:①由∠A,∠D是直角得△ABC和△DEF都是直角三角形;②運用HL證明△ABC ～=△DEF;③∠ABC=∠DEF.

初中數(shù)學規(guī)則課的目的是為了運用規(guī)則去解決有關(guān)“怎么辦”的問題,因此,在教學中我們不僅在教規(guī)則,更要在問題解決過程中,建模型、煉思維、提策略、滲透意識與方法,推進學生思考,幫助學生熟悉運用規(guī)則辦事的程序與步驟,將規(guī)則轉(zhuǎn)化為辦事的技能.

3.3 慢化過程,領(lǐng)悟規(guī)則的運用

初中數(shù)學性質(zhì)、法則等規(guī)則都具有高度的概括性,對于初中學生而言比較抽象,不易理解,容易混淆.如何運用學到的抽象規(guī)則、靈活運用規(guī)則在其適用的各種不同情景中解決問題,這就要求老師在教學時要準確把握學生的認知水平,慢化過程,引導學生領(lǐng)悟規(guī)則的運用,促進其對規(guī)則本質(zhì)的理解.在本節(jié)課中,第一個慢化處是“實驗操作”的畫圖,有些學生畫了BC,畫了AB,但發(fā)現(xiàn)沒辦法完成三角形,有些學生畫了直角C,畫了BC,但畫不出AB,此時,教師放慢過程,引導學生分析錯因,優(yōu)化畫圖,這一處的慢化有利于學生作圖能力的培養(yǎng).第二處慢化在兩個直角三角形全等的辨析,教師借助PPT,將圖和題同步展示,標圖,讓學生在辨析中體會新舊規(guī)則的不同,防止學生知識的負遷移,利于學生自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡.第三處慢化是例題的示范,旨在學生經(jīng)歷解決問題的過程,理解規(guī)則運用的程序,領(lǐng)悟規(guī)則適用的情景.規(guī)則的運用在于悟,教師應在學生當前的認知結(jié)構(gòu)中尋找最近的“生長點”,在關(guān)鍵處慢化規(guī)則的學習,有利于學生領(lǐng)悟規(guī)則的本質(zhì)和運用.

課堂教學的創(chuàng)新永遠在路上,課堂教學的研究推動著課型研究的發(fā)展.初中數(shù)學規(guī)則課型教學的探究、規(guī)則課的有效教學是每一個教師不斷追求的目標,它是教學過程的最優(yōu)化,教育效果的最大化.