新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)思想方法的滲透
——基于函數(shù)與方程“融合”的探究

廣州市鐵一中學(xué)(510600) 言彥

新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)思想方法的滲透
——基于函數(shù)與方程“融合”的探究

廣州市鐵一中學(xué)(510600) 言彥

目前,在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,很多學(xué)生遇到綜合性題目就覺得困難重重,聽老師的講解覺得容易理解,換個(gè)情境時(shí)又覺得無從下筆,數(shù)學(xué)素養(yǎng)不能得到較大的提高,究其原因,筆者認(rèn)為是數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中滲透不足所造成.數(shù)學(xué)基本思想方法正如新課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)指出的那樣”是需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過程,逐步理解和掌握的”,教師應(yīng)當(dāng)在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí),有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法.而很多教師只是在進(jìn)行課堂小結(jié)時(shí),才提到用過的數(shù)學(xué)思想方法的名稱,并沒有在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行滲透,導(dǎo)致學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法不夠具體,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解不夠透徹,難以在后續(xù)的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用.筆者針對(duì)這一問題進(jìn)行研究,通過將函數(shù)與方程內(nèi)容進(jìn)行“融合”,并在“融合”的教學(xué)過程中不斷滲透各種思想方法,最后達(dá)到提高學(xué)生綜合素質(zhì)與能力的目的.

一、在“融合”中滲透數(shù)學(xué)思想方法的原理

1.函數(shù)知識(shí)與方程知識(shí)聯(lián)系密切是“融合”的基礎(chǔ)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的”基石”,函數(shù)與方程的知識(shí)內(nèi)容貫穿于初中數(shù)學(xué)大部分教學(xué)內(nèi)容,幾乎滲透到初中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.雖然函數(shù)和方程是兩個(gè)不同的概念,但是這兩種數(shù)學(xué)知識(shí)卻有著密切的聯(lián)系,如:一次函數(shù)可以看成是一個(gè)二元一次方程、一元二次方程根的個(gè)數(shù)就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等等,這種緊密的關(guān)系,為函數(shù)知識(shí)與方程知識(shí)在初中數(shù)學(xué)中的相互轉(zhuǎn)化提供了條件,為兩者的“融合”提供了基礎(chǔ).

2.函數(shù)與方程思想和其他思想方法聯(lián)系密切是滲透的條件

函數(shù)與方程的理論內(nèi)容蘊(yùn)含著諸多數(shù)學(xué)思想方法.在函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)過程中自然能夠滲透函數(shù)思想和方程思想;函數(shù)與方程思想蘊(yùn)含了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化,在此基礎(chǔ)上通過比較和抽象,形成數(shù)學(xué)化歸思想.利用函數(shù)可以表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,使問題得以解決,這個(gè)過程與模型思想密切聯(lián)系;而利用平面直角坐標(biāo)系,函數(shù)可以將代數(shù)與幾何問題有機(jī)結(jié)合,無論是利用幾何直觀分析函數(shù)問題或利用函數(shù)思想解決幾何問題,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想.所以函數(shù)與方程思想和其他思想方法聯(lián)系密切,為滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)提供了有利的條件.

3.“融合”是滲透的手段

張景中院士用面積法“一線串通”幾何內(nèi)容的教學(xué)方式獲得了成功,函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的“基石”,函數(shù)與方程的知識(shí)內(nèi)容也貫穿于初中數(shù)學(xué)大部分教學(xué)內(nèi)容,幾乎滲透到初中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,這為函數(shù)與方程的“融合”提供了基礎(chǔ).

錢佩玲教授指出:“數(shù)學(xué)思想方法是隱形的本質(zhì)的知識(shí)內(nèi)容,因此在教學(xué)中教師必須深入鉆研教材,充分挖掘教材中有關(guān)的思想方法”.所以在教學(xué)過程中將函數(shù)與方程模塊“融合”,不僅是按新課標(biāo)的要求“用好教材”,更是將“無形的”數(shù)學(xué)思想方法更自然地滲透在“有形的”數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容中.

二、在“融合”中滲透數(shù)學(xué)思想方法的方法

新課程標(biāo)準(zhǔn)提到:數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,所以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與思想方法是密不可分的,教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)緊密結(jié)合這兩條線,通過函數(shù)與方程“融合”的方法,在“融合”的過程中精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng),在知識(shí)的形成過程中有意突出數(shù)學(xué)思想方法的核心問題,在知識(shí)的應(yīng)用過程中將對(duì)思想方法的思維示范與引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想方法相結(jié)合,在知識(shí)應(yīng)用后總結(jié)認(rèn)知操作程序,是滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效策略.

1.在“融合”中滲透轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵就是將未知的難題轉(zhuǎn)化成已學(xué)的問題,將抽象的表述轉(zhuǎn)化為具體的描述.函數(shù)與方程聯(lián)系密切,在學(xué)習(xí)方程知識(shí)時(shí),可以融合函數(shù)知識(shí),從而滲透轉(zhuǎn)化思想.又因?yàn)樵诟拍睢⒐叫纬蛇^程中實(shí)施局部探究,是滲透數(shù)學(xué)思想方法的基本方法,所以在學(xué)習(xí)方程的概念時(shí),通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯栴}情境融合函數(shù)知識(shí),對(duì)滲透轉(zhuǎn)化思想尤其有效.例如學(xué)習(xí)方程的概念時(shí)利用函數(shù)引入:

問題:

(1)一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用1700h,預(yù)計(jì)每月再使用150h,請(qǐng)寫出經(jīng)過t月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的總使用時(shí)間y與月數(shù)t的函數(shù)關(guān)系式?當(dāng)使用時(shí)間2450h時(shí),你能得到什么等式?

(2)長(zhǎng)方形的面積為1,設(shè)長(zhǎng)為x,寬為y,則y與x的關(guān)系如何?當(dāng)y=0.5時(shí),你能得到什么等式?

(3)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x,面積為y,則y與x有什么關(guān)系?當(dāng)y=0時(shí),你能得到什么等式?觀察上面的等式,它們有什么共同特征?這些都是含有未知數(shù)的等式——方程(equation).

思考:函數(shù)與方程有什么關(guān)系?

當(dāng)函數(shù)取定一個(gè)值時(shí),函數(shù)解析式轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)方程.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為(x?1)cm,周長(zhǎng)為ycm,則y與x有什么關(guān)系?是什么函數(shù)?當(dāng)y=10時(shí),你能得到什么樣的等式?當(dāng)y=24,y=30,又如何呢?

這些等式有什么共同點(diǎn)?你能給他們起個(gè)名字嗎?

在學(xué)習(xí)二元一次方程的概念時(shí),可以再次引導(dǎo)學(xué)生觀察二元一次方程和一次函數(shù)解析式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)也可以看成二元一次方程.同樣在學(xué)習(xí)分式方程和一元二次方程時(shí),都可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化思想.

這樣在方程知識(shí)的形成過程中反復(fù)“融合”,學(xué)生能夠?qū)D(zhuǎn)化思想進(jìn)行模仿應(yīng)用和體會(huì),轉(zhuǎn)化思想的滲透效率就更高了.

2.在“融合”中滲透數(shù)形結(jié)合思想

我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),常常通過二元一次方程組求兩條直線的交點(diǎn)等方式滲透以數(shù)解形的方法,利用函數(shù)圖象求解函數(shù)的解析式滲透以形解數(shù)的方法,但在學(xué)習(xí)方程的時(shí)候?qū)?shù)形結(jié)合思想的滲透很少,而方程和函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想都有密切聯(lián)系,所以在講解方程的問題時(shí)可以將函數(shù)的問題也融入其中,有意突出滲透數(shù)形結(jié)合思想,不僅能使學(xué)生在知識(shí)的應(yīng)用過程中充分感悟數(shù)形結(jié)合思想,體驗(yàn)以形解數(shù)、以數(shù)解形的方法帶來的優(yōu)越性,還能讓學(xué)生通過探究問題的多角度性進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想.

將方程和不等式的教學(xué)內(nèi)容與函數(shù)“融合”,能讓數(shù)形結(jié)合思想方法更多地建立在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的基礎(chǔ)上,從而能讓學(xué)生在體驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法提煉的關(guān)鍵認(rèn)知操作.

3.在“融合”中滲透模型思想

模型思想的滲透必須包括具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容,而方程和函數(shù)思想都是模型思想的下位思想方法,所以方程和函數(shù)都蘊(yùn)含著模型思想,通過“融合”方程與函數(shù)中的實(shí)際問題,可以使模型思想滲透更為高效更為透徹.

首先要通過“融合”在模型的形成過程中滲透模型思想,即將模型思想的教學(xué)融入方程和函數(shù)的基本概念教學(xué).方程和函數(shù)的“融合”能幫助學(xué)生更好地理解掌握其中的重要概念、性質(zhì)定理的形成過程和抽象過程,挖掘并體會(huì)其中蘊(yùn)含的模型思想,如通過“融合”的方法學(xué)習(xí)方程概念的形成過程就充分體現(xiàn)了“等號(hào)兩邊的兩件事情是等價(jià)的”這一數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)(“融合”方法在前面已說明,在此不再贅述).學(xué)生在知道有哪些模型,并理解了這些模型后,才能更好的應(yīng)用模型解決實(shí)際問題.

其次要通過“融合”在模型的應(yīng)用過程中滲透模型思想,即在問題解決過程中主動(dòng)聯(lián)想,在重要概念原理的應(yīng)用過程中,幫助學(xué)生體會(huì)運(yùn)用模型思想的過程.函數(shù)模型和方程模型都是把語(yǔ)言表達(dá)的問題數(shù)量化,抓住問題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行建模,區(qū)別在于在運(yùn)動(dòng)變化的過程中,函數(shù)模型刻畫的是兩個(gè)變量的聯(lián)系情況,而方程模型刻畫的是兩個(gè)變量的瞬間情況,所以在實(shí)際問題中“融合”方程和函數(shù)模型,使得模型思想的滲透事半功倍.

4.在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行“融合”

在方程和函數(shù)“融合”過程中還能滲透其他的數(shù)學(xué)思想方法,但無論滲透哪種數(shù)學(xué)思想方法,都應(yīng)該在“融合”時(shí)將思想方法目標(biāo)和教學(xué)環(huán)節(jié)切實(shí)對(duì)應(yīng),設(shè)計(jì)相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng),給學(xué)生增加領(lǐng)悟思維程序的渠道.

值得注意的是,數(shù)學(xué)思想方法的滲透需要大量的樣例,所以不僅要在課堂教學(xué)中“融合”,還要在課后練習(xí)中“融合”.如在進(jìn)行二元一次方程與實(shí)際問題的教學(xué)后,可以設(shè)計(jì)和函數(shù)有關(guān)的練習(xí)以滲透數(shù)形結(jié)合思想:甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠,所挖河渠的長(zhǎng)度y(m)與挖掘時(shí)間x(h)的關(guān)系如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:

圖1

①甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

②乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

③當(dāng)x為何值時(shí),甲、乙兩隊(duì)在施工過程中所挖河渠長(zhǎng)度相等?

這樣學(xué)生能通過更多的具體實(shí)例進(jìn)行思辨,感悟到數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì),并內(nèi)化為思維程序,使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想支配下的思維能力逐步增強(qiáng),在各種情景下都能自如運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法.

三、在“融合”中滲透數(shù)學(xué)思想方法的反思

1.能幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解

初中學(xué)生通常對(duì)思想方法僅停留于表面,當(dāng)與新情境相結(jié)合時(shí),部分同學(xué)會(huì)感到吃力,這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解比較孤立,沒有用相同的思想方法解決不同形式、不同情境問題的經(jīng)歷,沒有利用聯(lián)系的思維來理解數(shù)學(xué)思想方法,沒有在一個(gè)更大的空間中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法,所以在具體問題的解決過程中容易陷入困境.通過將函數(shù)與方程“融合”來滲透數(shù)學(xué)思想方法,不僅能在數(shù)學(xué)思想方法形成的過程增加理解渠道,還能使學(xué)生在“融合”中不斷鞏固對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí),不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解,使學(xué)生能有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題,從而增強(qiáng)遷移能力.

2.能幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)思想方法網(wǎng)絡(luò)是通過橫向聯(lián)系和縱向概括活動(dòng)來逐步建構(gòu)的.通過“融合”可以對(duì)不同思想方法進(jìn)行縱向概括,如:從函數(shù)概念到二元一次方程概念可以滲透轉(zhuǎn)化思想等.通過“融合”還可以建立不同思想方法上的橫向聯(lián)系.利用方程和函數(shù)之間的聯(lián)系,可以將多種思想方法進(jìn)行類比、交叉、融合,如讓學(xué)生掌握方程、函數(shù)等模型思想方法后,在此基礎(chǔ)上通過比較和抽象,形成數(shù)學(xué)化歸思想.這樣,將學(xué)生頭腦中的化歸思想具體化,有助于產(chǎn)生更深刻的感悟.通過不斷地進(jìn)行橫向比較和縱向概括,不斷具體化并拓展已有的思想方法,可以幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法網(wǎng)絡(luò),使得數(shù)學(xué)思想方法的滲透更具有系統(tǒng)性.

3.能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

著名教育學(xué)家布魯納在《教育過程》中指出:對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的融會(huì)貫通能夠使得知識(shí)的遷移更加容易.所以通過方程和函數(shù)“融合”的方法幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法網(wǎng)絡(luò)后,不僅能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力和概括能力,還能讓學(xué)生在提高成績(jī)的同時(shí)樹立科學(xué)的思維方式,從而形成正確的數(shù)學(xué)觀,真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

綜上所述,通過函數(shù)與方程“融合”來滲透數(shù)學(xué)思想方法,提高了數(shù)學(xué)思想方法滲透的有效性,事半功倍.