讓“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在“概念教學(xué)”中落地

江蘇省新沂市高級(jí)中學(xué)(221421) 晁豐成

讓“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在“概念教學(xué)”中落地

江蘇省新沂市高級(jí)中學(xué)(221421) 晁豐成

從提出高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)開始,“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”問題就受到高中數(shù)學(xué)教育界的普遍關(guān)注,有關(guān)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的理論探索和研究成果層出不窮.其中“數(shù)學(xué)抽象”位于六大核心素養(yǎng)之首,是優(yōu)先研究的對(duì)象,史寧中教授是這樣表達(dá)的:“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西,數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想就是‘?dāng)?shù)學(xué)抽象’.”眾所周知,數(shù)學(xué)概念是一切數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)思維存在和產(chǎn)生的基本形式,本質(zhì)上數(shù)學(xué)概念的形成過程就是數(shù)學(xué)思維的形成過程,也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成過程.李邦河院士是這樣評(píng)價(jià)的的:“數(shù)學(xué)的根本在于概念,而不在于技巧,一定程度上,數(shù)學(xué)技巧也是數(shù)學(xué)概念的一部分.”如何在概念教學(xué)中精心設(shè)計(jì)問題,帶領(lǐng)學(xué)生從具體事實(shí)出發(fā),抽取出一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象的共同屬性或本質(zhì)屬性,從而形成數(shù)學(xué)概念,考驗(yàn)著教師對(duì)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的理解和和對(duì)課堂生態(tài)的把握,影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感受及數(shù)學(xué)整體素養(yǎng)的提升.鑒于此,如何讓“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課堂中落地生根,是每一位高中數(shù)學(xué)教育工作者都要面對(duì)的重要課題.本文從兩個(gè)案例出發(fā),結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,就上述問題作出淺薄思考.

案例1:(聽課:江蘇師大課改實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“學(xué)講方式下高效教學(xué)實(shí)踐”研討課課堂實(shí)錄(片段),課題:《函數(shù)奇偶性概念課》)

師:你學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖象中,有哪些軸對(duì)稱圖形?哪些中心對(duì)稱圖形?

生:二次函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形.

師: 您能分別畫出一個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的二次函數(shù)的圖象和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的反比例函數(shù)的圖象?

圖1

圖2

師:觀察以上兩個(gè)函數(shù)的圖象,嘗試將函數(shù)圖象的對(duì)稱性用表達(dá)式給出.

師:以上結(jié)論可靠嗎?請(qǐng)你給出證明.

生:驗(yàn)證發(fā)現(xiàn),f(?1)=f(1);f(?2)=f(2);f(?3)=f(3),歸納發(fā)現(xiàn)f(?x)=(?x)2=x2=f(x),由此可知可知,結(jié)論f(?x)=f(x)可靠,同理可以證明另一個(gè)結(jié)論.

師: 是不是任何圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)都有規(guī)律f(?x)=f(x)?請(qǐng)結(jié)合圖象給出說明.

生:根據(jù)圖象對(duì)稱性,結(jié)合坐標(biāo)變化說明圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)都有f(?x)=f(x).

師:我們把圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù),如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱?

生:f(?x)=f(x).

師: 回答的是對(duì)的,f(x)=x2就滿足f(?x)=f(x),我們稱形如f(x)=x2,且滿足f(?x)=f(x)關(guān)系的函數(shù)為偶函數(shù),接下來我們給出偶函數(shù)的定義:(板書)一般的,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意的x∈A,都有f(?x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

師:類比偶函數(shù)定義,請(qǐng)您給出奇函數(shù)定義.

生:回答基本準(zhǔn)確,具體略.

聽課感受:

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)貼近學(xué)生思維,過程中從形到數(shù)過度自然,學(xué)生在數(shù)學(xué)概念生成過程中數(shù)學(xué)思維受到簡(jiǎn)單歷練,數(shù)學(xué)能力初步產(chǎn)生,整體課堂效果良好,課堂目標(biāo)基本達(dá)成.但是對(duì)偶函數(shù)進(jìn)行定義時(shí),學(xué)生面對(duì)的問題缺乏挑戰(zhàn),沒有真正達(dá)成“學(xué)有所思,思有所得”,在進(jìn)行抽象概括,提煉升華的關(guān)鍵時(shí)刻——對(duì)偶函數(shù)進(jìn)行定義時(shí),老師過于急躁,剝奪了學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的樂趣和主動(dòng)抽象的機(jī)會(huì),應(yīng)該把定義偶函數(shù)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生,讓其主動(dòng)歸納、抽象出偶函數(shù)的概念,在概念生成的“節(jié)骨眼上”獲得數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)抽象能力.

研討課結(jié)束后,筆者進(jìn)行進(jìn)一步的思考,如何更好設(shè)計(jì)這節(jié)課,才能更好地錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,使學(xué)生在經(jīng)歷和體驗(yàn)中感受數(shù)學(xué)樂趣,在探究和思考中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì);不僅學(xué)到了知識(shí),還獲得了發(fā)展,使概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)抽象訓(xùn)練更有實(shí)效,讓“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在“概念教學(xué)”中落地生根.帶著問題,筆者進(jìn)行了大量查閱、思考并嘗試實(shí)踐,以下為反思后的課堂實(shí)踐(片段):

案例2:(上課:校內(nèi)公開課片段,課題:《函數(shù)奇偶性概念課》)

師:對(duì)稱是一種自然美,生活中到處都是以對(duì)稱美呈現(xiàn)的事物?請(qǐng)您舉例說明.

生:舉例,蝴蝶、天安門城樓、等腰三角形

師:在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)中,也出現(xiàn)很多函數(shù)圖象是對(duì)稱的函數(shù),請(qǐng)您舉例:圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)有哪些,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)有哪些?

生:板演,口述(具體細(xì)節(jié)基本和案例1相同).

師: 我們不妨先研究函數(shù)f(x)=x2,x∈R,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是f(x)=x2的圖象上某一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是什么?這兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系如何?

生: 點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是P(?x0,y0),它們的縱坐標(biāo)都是y0,所以他們的縱坐標(biāo)是相等的.

師追問1: 縱坐標(biāo)相等如何用式子準(zhǔn)確表達(dá)、清晰刻畫?

生: 對(duì)點(diǎn)P,y0=f(x0),對(duì)點(diǎn)P′,y0=f(?x0),因此f(?x0)=f(x0).

師追問2: 能否對(duì)函數(shù)f(x)=x2重新?lián)Q一個(gè)定義域,使其圖象仍然關(guān)于y軸對(duì)稱?結(jié)合數(shù)軸,請(qǐng)您談?wù)勑聯(lián)Q的定義域應(yīng)該滿足什么樣的特征?

生:x∈[?1,1],x∈[?2,2],x∈[?a,a],定義域應(yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,否則函數(shù)圖象不可能關(guān)于軸對(duì)稱.

師追問3: 對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈R,如果滿足f(?2)=f(2),能否判斷此函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱?如果不能,請(qǐng)您給出合適條件,能夠使得函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?

生:f(?2)=f(2)不足以判斷函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

要使函數(shù)y=f(x),x∈R的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,應(yīng)滿足對(duì)定義域內(nèi)的任意x0,都有f(?x0)=f(x0),這正是要想函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的原因.

師追問4: 如果我告訴你們f(x)=x2,x∈R是偶函數(shù),結(jié)合此函數(shù)圖象的對(duì)稱特征,請(qǐng)您們?cè)诨ハ嘤懻摵脱a(bǔ)充后嘗試給出偶函數(shù)的定義.(學(xué)生根據(jù)圖形和現(xiàn)有結(jié)論激烈討論,情緒激動(dòng),思維活躍,教師用微笑對(duì)他們鼓勵(lì),并掌控討論方向和引導(dǎo)討論結(jié)果.)

生(2分鐘后): 對(duì)定義域內(nèi)任意x0,都有f(?x0)= f(x0),那么y=f(x)是偶函數(shù).

師:很好,因?yàn)閿?shù)學(xué)中我們常用x0表示一個(gè)常量,x表示變量,我們作出簡(jiǎn)單的修正:(板書)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意的x∈A,都有f(x)=f(?x),那么y=f(x)是偶函數(shù).

師: 試由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,分析奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像特征以及奇函數(shù)與偶函數(shù)對(duì)函數(shù)定義域的要求.

生:回答很準(zhǔn)確,具體內(nèi)容不再細(xì)述.

感悟與反思:

1.重視“數(shù)學(xué)過程”是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ):

有效的概念教學(xué)絕不是帶領(lǐng)學(xué)生記憶和模仿,而是設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)筆等“數(shù)學(xué)經(jīng)歷”的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納、猜想、研究、挖掘、概括、反思、修正,在活動(dòng)中訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維,在過程中形成數(shù)學(xué)能力.在函數(shù)的奇偶性概念學(xué)習(xí)中,最讓學(xué)生感到困惑的是如何突破常量到變量的轉(zhuǎn)化,案例2中的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)活動(dòng)能夠帶領(lǐng)學(xué)生動(dòng)手操作、自主探索、合作交流,促進(jìn)學(xué)生從圖象出發(fā),借助函數(shù)圖象準(zhǔn)確把握偶函數(shù)定義中“任意x”,學(xué)生先經(jīng)歷從數(shù)到形,又經(jīng)歷從形到數(shù),最終概括出最簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式,整個(gè)過程都在感知、概括、應(yīng)用,最后完成知識(shí)遷移、誤區(qū)矯正、歸納總結(jié),使最關(guān)鍵的“數(shù)學(xué)抽象”找到強(qiáng)有力地過程支撐,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力在遞進(jìn)問題的探索中得到發(fā)展,思維在逐層探究中得以豐富,情感在交流中得以升華,而以上的一切都離不開“數(shù)學(xué)過程”.在概念學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)經(jīng)歷后的探究才是有效探究,充分的數(shù)學(xué)經(jīng)歷之后的數(shù)學(xué)抽象才是有價(jià)值的、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)抽象.

2.提升“概括能力”是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的抓手和動(dòng)力:

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)的思維過程.主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.而數(shù)學(xué)概括水平最能夠反映思維活動(dòng)的速度、廣度、深度和靈活遷移的程度,而這恰好符合學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)產(chǎn)生和發(fā)展的要求,因此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概括水平就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).判斷預(yù)設(shè)探究問題究竟是否