題組引領(lǐng) 借題發(fā)揮 有效復(fù)習(xí)
——解與圓有關(guān)的折疊問(wèn)題幾例

浙江省寧波市鄞州區(qū)瞻岐鎮(zhèn)中學(xué)(315145) 周紅芳

題組引領(lǐng) 借題發(fā)揮 有效復(fù)習(xí)
——解與圓有關(guān)的折疊問(wèn)題幾例

浙江省寧波市鄞州區(qū)瞻岐鎮(zhèn)中學(xué)(315145) 周紅芳

習(xí)題課的的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)工作的重要一環(huán),通過(guò)習(xí)題復(fù)習(xí)可以鞏固、梳理、整合知識(shí),以達(dá)到查漏補(bǔ)缺、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),促進(jìn)學(xué)生解題思想方法的形成.傳統(tǒng)的習(xí)題課教學(xué)大家采用“教師少講,學(xué)生多練”的方式,本節(jié)課中以圓中軸對(duì)稱(chēng)內(nèi)容專(zhuān)題為載體,題組引領(lǐng),借題發(fā)揮,優(yōu)化模式,在構(gòu)建知識(shí)體系,提煉解題方法,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),感悟數(shù)學(xué)思想做了有益嘗試.

一、與弦和弧都有關(guān)的折疊

問(wèn)題1: 如圖1,優(yōu)弧APB所在⊙O的半徑為2,AB=2,點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B重合)將圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′.

(1)點(diǎn)O到弦AB的距離是____;

(2)如圖2,當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),∠ABA′=___;

(3)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí),如圖3,求折痕BP的長(zhǎng);

(4)若線段BA′與優(yōu)弧APB只有一個(gè)公共點(diǎn)B,設(shè)∠ABP=α,確定α的取值范圍.

圖1

圖2

圖3

圖4

分析:本題以點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn),在優(yōu)弧APB上不同位置的幾種情形設(shè)置問(wèn)題的.(1)題考查吹徑定理以及勾股定理,圓中常見(jiàn)計(jì)算有半弦,弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形,如圖1,作OH⊥AB,連結(jié)OB,可求得OH=1;也容易發(fā)現(xiàn)∠OBH=30?.這樣就很快得出(2)題的結(jié)論∠ABA′= 60?;如圖3,當(dāng)線段BA′與⊙O相切時(shí),連結(jié)OB作OE⊥PB于E,此時(shí)∠OBA′=90?,所以∠ABA′=120?,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知∠ABP=∠A′BP=∠ABA′= 60?,∴∠OBE=∠OBH=∠ABP=30?,∴OH=OE,BP=BA=2.通過(guò)上述三圖(圖1,圖2,圖3)會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧APB上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A′在以B為圓心,BA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),如圖4所示,得出(4)題的結(jié)論0＜α＜30?或60?＜α＜120?.(注意:在幾何中經(jīng)常遇到一些求角的大小范圍,解決這些問(wèn)題要弄清角的邊在什么位置最大,什么位置最小,這樣的臨界位置的探尋就可也解決問(wèn)題了)

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)改變圖形的位置,改變題目的條件或所求問(wèn)題,但不改變題目的本質(zhì)特征.復(fù)習(xí)垂徑定理,軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí).本題通過(guò)(1),(2),(3)問(wèn),進(jìn)行對(duì)比,由靜態(tài)到動(dòng)態(tài),在對(duì)比中感悟(4)問(wèn)的數(shù)學(xué)真知,目的是激發(fā)學(xué)生的探究熱情和能力,培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

二、與弧有關(guān)的折疊

問(wèn)題2: 已知,紙片⊙O的半徑為2,如圖5,沿弦AB折疊操作

①折疊后的弧AB所在圓的圓心為O′時(shí),則O′A的長(zhǎng)為_(kāi)___;

②如圖6,當(dāng)折疊后的弧AB經(jīng)過(guò)圓心O時(shí),則弧AOB的長(zhǎng)度為_(kāi)__;

③如圖7,當(dāng)弦AB=2時(shí),折疊后的弧AB所在圓的圓心為O’時(shí),則圓心O′到弦AB的距離為_(kāi)__;

④如圖8,設(shè)弧AB與直徑CB交于D,DB=x,試用x的代數(shù)式表示弦AB(直接寫(xiě)出結(jié)果).

圖5

圖6

圖7

圖8

分析:折疊前的弧和折疊后的弧是等弧,只有在同圓或等圓中才有等弧,不管弧AB的大小發(fā)生怎樣的變化,折疊前的弧和折疊后的弧所在圓都是等圓.

如圖5∴OA=OB=O′A=O′B,四邊形OAO′B是菱形,所以問(wèn)題①中的,O′A就等于OA,∴O′A=2;

培養(yǎng)基:普通肉湯、普通營(yíng)養(yǎng)瓊脂、改良馬丁瓊脂培養(yǎng)基,廣東環(huán)凱微生物科技有限公司生產(chǎn); 甘露醇高鹽瓊脂培養(yǎng)基,青島高科園海博生物技術(shù)有限公司生產(chǎn)。

設(shè)計(jì)意圖: 本題復(fù)習(xí)了等弧的概念,弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,勾股定理或解特殊直角三角形,通過(guò)動(dòng)點(diǎn)A的變化,弧AB的大小也隨之變化,但圖中始終有不變的,即⊙O和⊙O′的半徑相等(即等圓),四邊形OAO′B是菱形.通過(guò)以靜制動(dòng)

,定格符合條件的圖形,訓(xùn)練和促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,達(dá)到對(duì)知識(shí)實(shí)質(zhì)性的理解,積淀數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).通過(guò)圖形的變式教學(xué),告訴我們數(shù)學(xué)題目并非是“一些孤立”的題目,它們之間有很多聯(lián)系,但在這些題目中數(shù)學(xué)本質(zhì)完全一樣的,教會(huì)學(xué)生透過(guò)題目看本質(zhì),善于挖掘題目的隱含條件.

三、與弦有關(guān)的折疊

問(wèn)題3: 如圖,P是以AB為直徑的圓上的一點(diǎn),PA=4,AB=10,將弦PA沿AC折疊使P點(diǎn)正好落在AB上的P′處,則折痕AC的長(zhǎng)為_(kāi)___.

分析:此題是計(jì)算線段的長(zhǎng)度,涉及線段長(zhǎng)度的計(jì)算一般情況是在直角三角形中根據(jù)勾股定理計(jì)算或利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)計(jì)算的.下面提供與學(xué)生共同探討的兩種方法.

圖9

圖10

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)此題,鞏固圓周角定理及推論,直角三角形中的母子相似性,勾股定理,等腰三角形性質(zhì)及全等和相似三角形性質(zhì)等知識(shí),讓學(xué)生學(xué)會(huì)用構(gòu)造或轉(zhuǎn)化的方法,把線段的計(jì)算放到直角三角形中.

四、與三角形有關(guān)的折疊

問(wèn)題9: 如圖,半徑為6cm的⊙O中,C,D為直徑AB的三等分點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在AB兩側(cè)的半圓上,∠BCE=∠BDF=60?,連結(jié)AE,BF,則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為_(kāi)_______m2

圖11

圖12

總結(jié)與反思:學(xué)案的設(shè)計(jì)目標(biāo)明確,容量適中,符合學(xué)生實(shí)際,內(nèi)容設(shè)計(jì)能體現(xiàn)知識(shí)問(wèn)題化,問(wèn)題層次化,知識(shí)梯度化;做到目標(biāo)定位,學(xué)法指導(dǎo);在師生互動(dòng)中,在老師的點(diǎn)撥、引導(dǎo)中使學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)得到升華.

1.選擇典型的,適合自己學(xué)生認(rèn)知的題目.

選擇恰當(dāng),且符合學(xué)生學(xué)情的數(shù)學(xué)題目,直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握.要明確題目練習(xí)的目的,知識(shí)點(diǎn)的覆蓋,不要貪多求全,既能體現(xiàn)能力,又關(guān)注基礎(chǔ),切不可把所謂的好題(難題)都選進(jìn)來(lái),使學(xué)生的積極性受到打擊.

2.選擇合適的呈現(xiàn)方式.

題目選好后,合適的呈現(xiàn)方式才能夠提高教學(xué)效率;首先,從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),由淺入深,體現(xiàn)參差感,讓每一位學(xué)生都能參與,從而以題引題,拾級(jí)而上,達(dá)到一定的高度.其次要突出知識(shí)的整合,題目之間不可孤立,要前后串聯(lián)、逐步生長(zhǎng),形成一個(gè)整體,使每一道題目都發(fā)揮作用,這樣整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)流暢,參差感強(qiáng).

3.給學(xué)生留思維空間,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)及滲透思想.

以習(xí)題引領(lǐng)的復(fù)習(xí)課,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是習(xí)題教學(xué)地靈魂,而解題方向和方法的確認(rèn)需要時(shí)間的,所以要還學(xué)生思維空間,引發(fā)學(xué)生的深度思考,提升學(xué)生興趣,通過(guò)自主探究,合作交流,學(xué)生的說(shuō),教師的聽(tīng),錘煉學(xué)生的表達(dá)能力,暴露學(xué)生的思維,使大家分享更多、更優(yōu)的解法.老師做到適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié),揭示題目共性,認(rèn)清題目的本質(zhì)內(nèi)涵,幫助學(xué)生挖掘和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想,掌握必要的解題方法和策略.有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維,提高學(xué)生的思考力和創(chuàng)造力.