初中數(shù)學(xué)課堂環(huán)節(jié)中促進(jìn)學(xué)生高階思維的策略
——以《矩形》為例

浙江省杭州市清泰實(shí)驗(yàn)學(xué)校(310016) 張娟萍

初中數(shù)學(xué)課堂環(huán)節(jié)中促進(jìn)學(xué)生高階思維的策略
——以《矩形》為例

浙江省杭州市清泰實(shí)驗(yàn)學(xué)校(310016) 張娟萍

按布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類(看作思維目標(biāo)),將教學(xué)目標(biāo)依據(jù)認(rèn)知復(fù)雜程度由低到高分成:識(shí)記、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造這六個(gè)層次,其中后三層,分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造,被稱為“高階思維能力”.[1]當(dāng)代教育注重解決問(wèn)題的能力、批判性思考、創(chuàng)造力,就是分析問(wèn)題(第四層),然后綜合個(gè)人知識(shí)創(chuàng)出解決方案(第五層),繼而評(píng)鑒及改善方案(第六層),[2]旨在追求教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生高階思維的能力.

數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的主陣地.抓住課堂的“引入;概念、定義、規(guī)律形成;例題學(xué)習(xí);鞏固練習(xí)和課堂小結(jié)”等環(huán)節(jié),設(shè)計(jì)高層次的思維任務(wù),引發(fā)學(xué)生開(kāi)展高階思維.以下通過(guò)兩則《矩形》課堂實(shí)例,談?wù)務(wù)n堂環(huán)節(jié)促進(jìn)學(xué)生高階思維的一點(diǎn)看法.

一、案例實(shí)錄:《矩形》的課堂環(huán)節(jié)

1.情境引入

(1)展示生活中實(shí)際應(yīng)用平行四邊形的圖片(推拉門,活動(dòng)衣架,籬笆、井架等),請(qǐng)同學(xué)們思考:這里用了平行四邊形的什么性質(zhì)?

(2)一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具,輕輕拉動(dòng)一個(gè)點(diǎn),觀察不管怎么拉,它還是一個(gè)平行四邊形嗎?為什么?(動(dòng)畫演示拉動(dòng)過(guò)程如圖1)

圖1

(3)再次演示平行四邊形的移動(dòng)過(guò)程,當(dāng)移動(dòng)到一個(gè)角是直角時(shí)停止,讓學(xué)生觀察這是什么圖形?(長(zhǎng)方形)

師:同學(xué)們能根據(jù)這個(gè)圖2得出哪些結(jié)論?

生: 對(duì)邊平行且相等,對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ),對(duì)角線互相平分,四個(gè)角是直角,對(duì)角線相等,有四個(gè)等腰三角形,有四個(gè)直角三角形,是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形.

圖2

教師板書學(xué)生所說(shuō)的所有結(jié)論(有意識(shí)分區(qū)域板書在黑板上)

教師及時(shí)鼓勵(lì)和點(diǎn)評(píng)學(xué)生出彩的地方.還沒(méi)有學(xué),你們?cè)趺聪氲接羞@么多的結(jié)論啊?

生:可以用以前學(xué)三角形的一些方法.

師:對(duì),用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法來(lái)分析和研究新的內(nèi)容,這個(gè)能力非常棒!我們來(lái)歸類,剛才分別得到了哪些方面的結(jié)論?

生:(根據(jù)板書)分別得到了關(guān)于:邊、角、對(duì)角線、位置關(guān)系、特殊圖形等方面的結(jié)論.

師: 同學(xué)們得出的結(jié)論是否正確,需要驗(yàn)證.同學(xué)們?nèi)绾蔚贸鰧?duì)邊相等?

生: 因?yàn)樗瞧叫兴倪呅?長(zhǎng)方形首先是個(gè)平行四邊形.

師: 它與平行四邊形不同的地方在哪里呢?引出今天要研究的課題《矩形》.

師:請(qǐng)同學(xué)們給矩形下定義嗎.

2.定義、規(guī)律探究

【操作】在一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架上(圖3),用兩根橡皮筋分別套在相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)上(作對(duì)角線),拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn),改變平行四邊形的形狀.

圖3

同學(xué)操作,思考、交流、歸納后得到矩形的性質(zhì).

師:請(qǐng)同學(xué)來(lái)說(shuō)“矩形的定義和性質(zhì)”,并說(shuō)明為什么.

學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)“矩形”的概念.在組內(nèi)交流,互相糾正.由學(xué)生反饋得到的概念:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

師: 可以得到哪些結(jié)論?猜想并驗(yàn)證你所得到的性質(zhì).在組內(nèi)交流,達(dá)成共識(shí)后,向大家展示思考過(guò)程.

生:因?yàn)榫匦问翘厥獾钠叫兴倪呅?所以平行四邊形的性質(zhì)它全部具備.再考慮它特殊的地方,角的方面:有一個(gè)直角,所以可能所有的角都是直角,可以證明的:因?yàn)槠叫兴倪呅?對(duì)邊平行,所以鄰角互補(bǔ).

學(xué)生板書.

生:關(guān)于對(duì)角線,肯定是考慮數(shù)量關(guān)系.由△ABC與△DCB全等,可以得到“線段相等”

生:可以得到很多等腰三角形.

師:怎樣用自己的文字語(yǔ)言來(lái)描述這些性質(zhì)?

由學(xué)生自己歸納得出了性質(zhì)定理.同學(xué)互相糾正.老師板書性質(zhì).

3.例題應(yīng)用

師:有了這些性質(zhì)后,怎么用來(lái)解決一些問(wèn)題呢?

例1(教材P104例1)已知:如圖4,矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠AOB=60?,AB= 4cm,(1)求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).

師: 先獨(dú)立思考,然后請(qǐng)同學(xué)說(shuō):想到了什么辦法?是怎么想到的?說(shuō)說(shuō)思考過(guò)程中的經(jīng)歷.

圖4

生: (1)主要思考過(guò)程:求對(duì)角線的長(zhǎng)度,涉及到邊長(zhǎng),根據(jù)前面的性質(zhì),得到四個(gè)等腰三角形,聯(lián)想到60?,所以估計(jì)是正三角形了.得到正三角形,三條邊都相等.對(duì)角線跟OA有關(guān)系,由平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)就可以得到.

生: 可有多種方法:法一:AC=2BO=2;法二:AC= 2CO=2;法三:∵∠BAC= 60?,∴∠ACB=30?,∴AC= 2AB=2.

生: 由條件朝結(jié)論方向思考,同時(shí)結(jié)論的特征指導(dǎo)思考的方向.學(xué)生板書解題過(guò)程.

圖5

師跟進(jìn)題目條件:(2)如果作∠BAD的平分線,交BC于點(diǎn)F,連結(jié)OF.是否產(chǎn)生新的特殊三角形?(3)延長(zhǎng)AF,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.同學(xué)們還能再找到新的特殊三角形.(4)DE和BE有什么關(guān)系?如圖5.

學(xué)生獨(dú)立思考后組內(nèi)交流,反饋如下:

(2)生:根據(jù)矩形的性質(zhì),對(duì)角線相等且平分,四個(gè)角都是90?.導(dǎo)致有很多等腰三角形.可以得到△ABF是等腰三角形.

(3)生:可以得到△ACH是等腰三角形.從圖中看,剩下的三角形△ACH是很像等腰三角形,而且也容易找到那兩條應(yīng)該是腰.但是發(fā)現(xiàn)直接找兩邊相等很難,所以設(shè)法找底角相等.

(4)學(xué)生小組思考路徑整理:考慮DE和BE的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)圖形直觀,可以猜測(cè)BE=3ED.這個(gè)問(wèn)題中“起始條件”:在矩形ABCD中,若∠AOD=120?,AB=1,AF平分∠BAD,CE⊥BD;“目標(biāo)結(jié)論”:BE=3ED.先從目標(biāo)結(jié)論出發(fā),思考較短線段ED,因?yàn)镃E⊥BD,會(huì)考慮三線合一,由于希望求得E是中點(diǎn),所以,思考“三線合一”的時(shí)候,要找到角平分線,根據(jù)上一題∴△ACH是底角為15?等腰三角形,可以得到∠OCE=30?,從而可以得到EC平分∠ACD.得到OD=2ED,ED與BE產(chǎn)生關(guān)聯(lián).從而使得目標(biāo)與條件聯(lián)通.

學(xué)生展示作業(yè),教師對(duì)下面學(xué)生的反饋(老師在學(xué)生作業(yè)時(shí)巡視)——尤其是錯(cuò)誤信息的反饋.

師: 你們能說(shuō)說(shuō):你們一般從哪些方面去思考這些可能的結(jié)論?小組歸納反饋:一般考慮,邊、角、對(duì)角線、位置關(guān)系、特殊圖形等方面的性質(zhì).

4.任務(wù)延伸

師:應(yīng)用這些性質(zhì)繼續(xù)解決題目.

已知:如圖6,過(guò)矩形ABCD的頂點(diǎn)C作CE//BD,交AB的延長(zhǎng)線于E,延長(zhǎng)EC、AD相交于點(diǎn)H,你能得到哪些結(jié)論?若矩形的頂點(diǎn)C在HE上移動(dòng),你能設(shè)計(jì)什么樣的問(wèn)題?組內(nèi)同學(xué)設(shè)計(jì)條件編制問(wèn)題,并解決問(wèn)題.(小組合作,一周后反饋)

5.總結(jié)反思

本例,“通過(guò)本課的學(xué)習(xí),你得到了那些收獲?課中什么讓你得到啟發(fā)和感悟?組內(nèi)互相說(shuō)一說(shuō),并對(duì)本堂課中的自己和同學(xué)(觀點(diǎn)、行為、方式)做出評(píng)價(jià)和反思.”

圖6

二、案例分析:在課堂環(huán)節(jié)中發(fā)展學(xué)生高階思維能力

1.課堂導(dǎo)入時(shí)啟動(dòng)思維

富有啟發(fā)性的導(dǎo)入可以激發(fā)學(xué)生的思維興趣,設(shè)計(jì)情境,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,刺激他們進(jìn)入積極思維狀態(tài).

案例中,從縱向角度設(shè)計(jì):以生活經(jīng)驗(yàn)中關(guān)于平行四邊形和矩形的實(shí)際應(yīng)用引入,能激起學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的興奮,同時(shí)有利于學(xué)生體驗(yàn)概念的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用意識(shí).動(dòng)手操作,有利于學(xué)生比較直觀地感受邊、角的變化及其關(guān)系,方便學(xué)生探索結(jié)論;從橫向角度設(shè)計(jì):類比之前研究平行四邊形的相關(guān)元素以及小學(xué)學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形的相關(guān)內(nèi)容,使學(xué)生通過(guò)運(yùn)用自己已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)遷移到新的知識(shí)及其研究方法,是基于“先行組織”的學(xué)習(xí)、研究方式遷移,屬于方法層面.這也是第3環(huán)節(jié)老師問(wèn)“你們一般從哪些方面去思考這些可能的結(jié)論?”時(shí)學(xué)生能順利梳理的原因,學(xué)生從方法上得到遷移.

另外,案例的問(wèn)題是開(kāi)放式的“你能得出那些結(jié)論”,由學(xué)生“猜想、假設(shè)”得出盡可能多的結(jié)論——教師“歸類”板書學(xué)生所說(shuō)的所有結(jié)論,內(nèi)容、概念的得出全部是由學(xué)生自己探索得來(lái).

2.概念、定義、公式、規(guī)律發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程推進(jìn)思維

教師要給學(xué)生平臺(tái),讓學(xué)生去體驗(yàn)和經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)過(guò)程”,用自己的方法“發(fā)現(xiàn)、猜想、證明”得到概念或規(guī)律,并用自己語(yǔ)言歸納得到它的表述.

案例中,學(xué)生在操作中經(jīng)歷觀察和概括,涉及到多個(gè)層次的思維能力.通過(guò)學(xué)生漫天漫地的說(shuō)“結(jié)論”,然后發(fā)現(xiàn)“它們”有一定的規(guī)律,于是進(jìn)行提煉,這是學(xué)習(xí)的非常重要的能力——概括,用他們自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),然后去偽存真,逐步完善,最后提煉成書面語(yǔ)言,這樣的概念得出,是學(xué)生自己內(nèi)化得出來(lái)的,有利于他們思維的整合,同時(shí)對(duì)概念具有親切感.概括內(nèi)容、提煉學(xué)習(xí)方法,是高層次思維,而且在自覺(jué)應(yīng)用的情況下有意識(shí)地“從幾個(gè)方面”來(lái)概括性質(zhì):

定義表示元 素:邊角對(duì)角線性質(zhì):從邊的角度而言:位置、數(shù)量關(guān)系;從角的角度而言:相等;90?;互補(bǔ);三線:數(shù)量、位置關(guān)系;從面積、周_______ ______ _________ __________________________________ _____________________ ____________________________ ____________________長(zhǎng)等.圖形關(guān)系:全等、相似軸對(duì)稱、中心對(duì)稱特殊圖形:矩形性質(zhì):邊;角;對(duì)角線;判定:邊;角;對(duì)角線;數(shù)量和位置關(guān)系

經(jīng)過(guò)自己探索而得到的概念,學(xué)生會(huì)有親切感;自己思維得到成果,這種成就感是對(duì)他思維的獎(jiǎng)勵(lì),促進(jìn)他更愛(ài)思維.因此,給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)經(jīng)歷概念的形成與發(fā)展過(guò)程,進(jìn)一步推進(jìn)學(xué)生思維縱向深入,促進(jìn)高階層次思維的發(fā)展.

3.例題路徑挖掘浸入高階思維

例題教學(xué)最重要的是學(xué)生尋找思維路徑及其思維發(fā)現(xiàn)的展示過(guò)程,暴露思維的過(guò)程,是他解決問(wèn)題方法、策略的顯性化過(guò)程:這個(gè)例題要解決什么問(wèn)題?(學(xué)生理清題中所給的顯性和隱性信息,然后分析化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題),用到什么知識(shí)、概念、規(guī)律?是怎么想到的?這么想的理由是什么?在什么地方碰到了困難,是怎么解決的?等等.這個(gè)過(guò)程有利于學(xué)生梳理解題的整個(gè)思維過(guò)程,使學(xué)生把注意力從指向問(wèn)題本身轉(zhuǎn)向思維加工過(guò)程.

案例中,①先讓學(xué)生獨(dú)立思考,使學(xué)生獲得原始的思維和體驗(yàn).②學(xué)生自主思考,同時(shí)自發(fā)產(chǎn)生討論,對(duì)于不同的思維和方法的鼓勵(lì),大大激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維.③例題由變式和條件跟進(jìn),層層推進(jìn)思維,得到圖形中所涉及到的幾乎所有基本圖形的特征.問(wèn)題以開(kāi)放題的形式呈現(xiàn),由猜想到驗(yàn)證,到(4)小題,題目已經(jīng)達(dá)到非常綜合的高度,學(xué)生像科學(xué)家探究規(guī)律一樣探究性學(xué)習(xí),由起始條件到目標(biāo)結(jié)論是一個(gè)思維的不斷轉(zhuǎn)化、反復(fù)調(diào)整的過(guò)程,目標(biāo)起著定向作用,它始終引導(dǎo)思維朝一個(gè)方向推進(jìn).④例題后還要求學(xué)生提煉解題的一般方法,并思考:是否達(dá)到預(yù)期目的?用什么辦法隨時(shí)調(diào)控自己的思考過(guò)程和方向?還有別的做法嗎?條件可替嗎?問(wèn)題可逆?有什么新的問(wèn)題?您能否改編問(wèn)題情境或者問(wèn)題條件、結(jié)論做變式變換等等,激發(fā)學(xué)生思維的進(jìn)一步升華.

4.課外作業(yè)延伸高階思維

案例問(wèn)題的延伸,實(shí)際是任務(wù)驅(qū)動(dòng)的探究式學(xué)習(xí)內(nèi)容,通過(guò)它可以讓學(xué)生經(jīng)歷完整探究過(guò)程:設(shè)計(jì)行動(dòng)方案(猜想假設(shè)),然后實(shí)踐并驗(yàn)證.分析論證、檢查評(píng)估、結(jié)論決策.小組合作,互助研討.學(xué)生通過(guò)自主合作探究的方式應(yīng)用和實(shí)踐習(xí)得的方法,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

5.課堂小結(jié)與反思修正思維

課堂小結(jié),是思維收斂和升華的過(guò)程.通過(guò)學(xué)生歸納總結(jié),使內(nèi)容和方法系統(tǒng)化、思維一般化,同時(shí)也對(duì)情感感悟和體驗(yàn)進(jìn)行總結(jié).案例中,開(kāi)放性的任務(wù),使學(xué)生小組之間各個(gè)層面展開(kāi)梳理、提煉、評(píng)價(jià)和反思.

學(xué)生反思數(shù)學(xué)活動(dòng)中思維習(xí)慣、方式、效果,反思和評(píng)價(jià)自己成功、失誤之處以及師生的見(jiàn)解等.“反思”是指對(duì)自身研究問(wèn)題的思維過(guò)程、思維結(jié)果和思維方法等進(jìn)行再認(rèn)識(shí)再評(píng)價(jià)以及再檢驗(yàn)的過(guò)程.其中,錯(cuò)誤性反思教學(xué)最常用,反饋錯(cuò)誤資源,通過(guò)暴露思維歷經(jīng)的挫折過(guò)程,分析找到錯(cuò)誤的根源,合理調(diào)整思維方向?qū)ふ医鉀Q的方案,有利于培養(yǎng)學(xué)生批判性思維,使思維變得越來(lái)越成熟.

三、總結(jié)與反思

課堂學(xué)習(xí)兩條清晰的線索,一是學(xué)生思維,二是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)含的思維.這兩條線索體現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷“從一般到特殊”的數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)體驗(yàn):學(xué)生從已有知識(shí)和方法(小學(xué)長(zhǎng)方形知識(shí)和初一學(xué)習(xí)三角形的經(jīng)驗(yàn))的遷移,以后還要遷移到其它幾何圖形的研究中去.兩則案例的任務(wù)呈現(xiàn)方式、思維互動(dòng)過(guò)程不一樣,對(duì)促進(jìn)學(xué)生高階思維的效果完全不一樣.

課堂各個(gè)環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是如何讓學(xué)生卷入學(xué)習(xí)過(guò)程中去.面對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù),學(xué)生先獨(dú)立探索、體驗(yàn),啟動(dòng)默會(huì)知識(shí),形成自己的感受;學(xué)生經(jīng)過(guò)思維或挫折后,他需要同伴互助,采用小組合作,互助研討:交流思考過(guò)程中碰到困惑或者新鮮的想法,從教師和同學(xué)中得到啟發(fā),從而引導(dǎo)自己做出思維重整.抓住課堂“引入;概念、定義形成;例題學(xué)習(xí)等”環(huán)節(jié),設(shè)計(jì)任務(wù)探究,激發(fā)學(xué)生積極參與高階層次思考:

利用學(xué)生個(gè)體或小組爭(zhēng)強(qiáng)好勝,尤其是思維上的暗暗較量,教師可以激發(fā)學(xué)生多層次思維參與:比較,歸納、創(chuàng)造的思維.學(xué)生反饋不同的解法和思維過(guò)程本身是學(xué)生思維的撞擊,教師敏銳地抓取信息及時(shí)跟進(jìn)問(wèn)題,比如:你能幫他減少一次全等嗎?刺激學(xué)生最大程度地調(diào)動(dòng)思維創(chuàng)造性.