對一道統測試題的探源及拓展*

●陳 兒 (奉化中學 浙江奉化 315500) ●楊亢爾 (武嶺中學 浙江奉化 315502)

對一道統測試題的探源及拓展*

●陳 兒 (奉化中學 浙江奉化 315500) ●楊亢爾 (武嶺中學 浙江奉化 315502)

文章通過對一道2015年1月浙江省杭州市高三(理)統測試題的探源和拓展，追根溯源回歸到圓的性質，開拓出解決橢圓問題的新思路，揭示了圓錐曲線的內在聯系，促進了數學知識的融會貫通.

探源;拓展;統一;相似性

1 試題呈現

1)求點C的軌跡Γ的方程.

第2)小題的解法如下：

圖1

解法1 設點E,F,K的橫坐標為x1,x2,x3，點D(x0,y0)，直線m的方程

y=kx+b，

則切點弦PQ的方程為

計算得

將直線m代入橢圓方程，得

將直線m的參數方程代入橢圓方程，得

求得t=2.

2 試題探源

弄清楚試題的源頭，有助于把握問題的來龍去脈.本題研究的是圓錐曲線中直線與橢圓的位置關系，而橢圓與圓可經過伸縮變換相互轉化且對應圖形的位置關系保持不變.因此，可嘗試將橢圓轉化成圓，容易證明如下命題成立.

圖2 圖3

證明 如圖3，取EF的中點A，由垂徑定理得OA⊥EF.因為DP,DQ是切線，所以

∠DAP=∠DQP.

又因為DP,DQ是切線，所以

∠DPQ=∠DQP,

從而

∠DAP=∠DPK,

于是

△DAP∽△DPK,

故

|DP|2=|DK|·|DA|.

由切割線定理得

|DP|2=|DE|·|DF|,

從而

|DK|·|DA|=|DE|·|DF|.

3 試題拓展

因為橢圓、雙曲線、拋物線是可以統一定義的，所以它們具有許多統一的性質.類比橢圓，可得到如下圓錐曲線的統一性質：

圖4

如圖4，以拋物線y2=2px(其中p>0)為例加以證明:

證明 設點D(x0,y0),則直線m的參數方程為

其中t是參數.若點E,F,K的參數為t1,t2,t3，則

將直線m的參數方程代入拋物線方程，得

t2sin2α+(2y0sinα-2pcosα)t+y0-2px0=0,

從而

設點P(x1,y1),則直線DP的方程為

又點D在直線DP上，從而

即

px1-y0y1+px0=0.

同理可得

px2-y0y2+px0=0,

因此直線PQ的方程為

px-y0y+px0=0，

將直線m的參數方程代入PQ的方程得

求得t=2，結論成立.

進一步探究：既然橢圓與圓有很多相似性，猜想上述性質的逆命題在圓中是否成立？得到如下性質：

圖5 圖6

DG·DK=DE·DF.

因為DP與⊙O相切于點P，所以

DP2=DE·DF，

從而

DP2=DK·DG.

又∠KDP=∠PDG，從而

△KDP∽△PDG,

于是

∠DGP=∠DPK.

因為∠DPO=∠DGO=90°,所以點P,D,G,O共圓，從而

∠DGP=∠DOP，

于是

∠DOP=∠DPK，

故

DO⊥PQ，

進一步得

△DPO≌△DQO，

從而

∠DQO=∠DPO=90°.

繼續(xù)拓展，上述性質在橢圓中成立嗎？

圖7

(證明略.)

至此，通過對這道統測題的探源和拓展，揭示了圓錐曲線的內在統一性，顯示了數學知識之間的縱橫聯系，促進了數學知識的融會貫通.有了這樣的認識，我們的探究不再孤立，學生的思維能力得到了明顯提高，同時也彰顯了數學的核心價值.

2016-11-24；

2016-12-30

陳 兒(1978-)，女，浙江奉化人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-17-03