時(shí)域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的應(yīng)用

伍玩秋

（陽江職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電系，廣東陽江529500）

時(shí)域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的應(yīng)用

伍玩秋

（陽江職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電系，廣東陽江529500）

對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析是揭示系統(tǒng)本身動(dòng)態(tài)特性的有效途徑。時(shí)域分析法充分運(yùn)用拉普拉斯變換（下稱“拉氏變換”）規(guī)則，重視發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢作用，在系統(tǒng)響應(yīng)分析中具有獨(dú)特而重要的應(yīng)用。其基本思路是：運(yùn)用物理規(guī)律，建立反映系統(tǒng)本質(zhì)的微分方程；通過拉氏變換及待定系數(shù)法求出系統(tǒng)輸入信號(hào)后的響應(yīng)輸出信號(hào)的拉氏變換式；利用拉氏反變換，求出系統(tǒng)響應(yīng)輸出信號(hào)的實(shí)變量函數(shù)解析式；再通過應(yīng)用軟件作出系統(tǒng)響應(yīng)曲線；最后結(jié)合曲線進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理，完成對(duì)系統(tǒng)有關(guān)性能的分析和總結(jié)。

時(shí)域分析法；拉普拉斯變換；系統(tǒng)響應(yīng)；思路

1 引言

在經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)是指系統(tǒng)在外加作用（信號(hào)輸入）的激勵(lì)下，其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系；時(shí)域分析法通常是指直接從微分方程或間接從傳遞函數(shù)出發(fā)去分析系統(tǒng)問題的方法。時(shí)域分析法是系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析中常用的方法，但對(duì)方法應(yīng)用的一般規(guī)律卻探討得較少。本文試圖以常用的單位階躍信號(hào)為系統(tǒng)輸入信號(hào)，以典型一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的時(shí)間響應(yīng)分析為例，以探求時(shí)域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的基本思路。

2 系統(tǒng)微分方程的建立

【例】圖1所示為慣性調(diào)節(jié)器，其中ui為輸入信號(hào)，uo為輸出信號(hào)，設(shè)初始條件為零。請(qǐng)運(yùn)用時(shí)域分析法分析其單位階躍響應(yīng)輸出性能。

解決問題的第一步是建立反映系統(tǒng)本質(zhì)規(guī)律的微分方程。

根據(jù)基爾霍夫電流定律（KCL）有：

由于運(yùn)算放大器的開環(huán)增益很大，這時(shí)可認(rèn)為：

式（1）即為慣性調(diào)節(jié)器的微分方程。

圖1 慣性調(diào)節(jié)器

3 運(yùn)用時(shí)域分析法進(jìn)行系統(tǒng)響應(yīng)分析的過程

3.1 求出輸出信號(hào)的拉氏表達(dá)式

將系統(tǒng)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換：

因輸入信號(hào)是單位階躍信號(hào)，且初始條件為0（即t≥1），所以u(píng)i（t）＝I（t）＝1，這時(shí)有，代入式（1）得：

式（3）即為輸出信號(hào)的拉氏表達(dá)式

3.2 用待定系數(shù)法求出輸出信號(hào)拉氏表達(dá)式的分式和的形式

先將式（3）變成含待定系數(shù)A、B的分式和的形式：

對(duì)比式（3）和式（4），可求得A＝1，B＝－T代入式（4）得：

3.3 通過拉氏反變換得出響應(yīng)輸出信號(hào)的函數(shù)解析式

根據(jù)常用函數(shù)拉氏變換對(duì)照表，將式（5）分項(xiàng)進(jìn)行拉氏反變換，得出響應(yīng)輸出信號(hào)的函數(shù)解析式。

3.4 應(yīng)用仿真軟件（如Simulink）作出系統(tǒng)響應(yīng)曲線

式（6）的函數(shù)圖像即為慣性調(diào)節(jié)器的單位階躍響應(yīng)曲線，如圖2所示。

圖2 慣性調(diào)節(jié)器的單位階躍響應(yīng)曲線

3.5 結(jié)合響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)有關(guān)性能

從上圖可以看出，慣性調(diào)節(jié)器的單位階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)規(guī)律下降的一條曲線。該曲線有以下特征：

（1）階躍響應(yīng)曲線起點(diǎn)的斜率

由上式可知，響應(yīng)曲線起點(diǎn)的斜率m是時(shí)間常數(shù)T′的倒數(shù)的相反數(shù)，T′越大，m的絕對(duì)值越小，Uo（t）下降過程越慢，即Uo（t）的絕對(duì)值上升過程越慢。

（2）穩(wěn)態(tài)值

Uo（t）的穩(wěn)態(tài)值為

（3）趨向穩(wěn)態(tài)值的過渡時(shí)間

由曲線可知，在t經(jīng)過T、2T、3T、4T、5T后，其響應(yīng)輸出值分別為穩(wěn)態(tài)值的63.2%、86.5%、95%、98.2%、99.3%。由此可見，對(duì)典型一階系統(tǒng)，其過渡時(shí)間大約為（3－5）T，響應(yīng)輸出值可達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%－99.3%。

4 結(jié)束語

綜上可知，時(shí)域分析法在系統(tǒng)響應(yīng)分析中的基本思路是：運(yùn)用物理規(guī)律，建立反映系統(tǒng)本質(zhì)的微分方程；通過拉氏變換、待定系數(shù)法及拉氏反變換，求出系統(tǒng)響應(yīng)輸出實(shí)變量函數(shù)解析式；通過應(yīng)用軟件做出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，最后結(jié)合曲線對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理，完成對(duì)系統(tǒng)有關(guān)性能的分析和總結(jié)。在此過程中，拉氏變換和拉氏反變換規(guī)則、常用數(shù)學(xué)模型及待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用，使求解過程變得簡單、有效；系統(tǒng)仿真軟件的運(yùn)用使系統(tǒng)響應(yīng)曲線的繪制變得更為方便、真實(shí)。盡管以上方法及思路是通過典型一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）的階躍響應(yīng)分析總結(jié)出來的，但對(duì)其他二階以上系統(tǒng)的響應(yīng)分析同樣具有普遍的借鑒意義。

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Application of time domain analysis method in system response analysis

WU Wan－qiu
（Yangjiang Vocational and Technical College，Yangjiang 529500，China）

The time response analysis of the system is an effective way to reveal the dynamic characteristics of the system itself.The time domain analysis method，which is based on the Laplace transform rule and takes advantage of the mathematical model，has a unique and important application in the system response analysis.The basic ideas in the analysis process are the following：to established the differential equation by the physical laws to reflect the essence of the system；to calculate the Laplace transform of the response output signal after the input signal by the Laplace transform method and the undetermined coefficient method；to calculate the system response functional analysis of the real－time variable－type output signal by using the inverse Laplace transform；to draw the system response curve by the software application；to do some mathematical calculations and some necessary reasoning by curves；to complete the analysis and summary for the performance of the system.

time domain analysis method；Laplace transform；system response；ideas and solutions

TM131

：A

1005—7277（2017）01—0058—03

伍玩秋（1967－），男，碩士，高級(jí)工程師，主要從事電氣自動(dòng)化相關(guān)課程教學(xué)及技術(shù)研究工作。

2016－10－09