帶有不確定干擾的一維不穩(wěn)定熱方程的穩(wěn)定性分析

賈彥娜,劉軍軍

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046；2.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030024)

帶有不確定干擾的一維不穩(wěn)定熱方程的穩(wěn)定性分析

賈彥娜1,劉軍軍2*

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046；2.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030024)

文章所考慮的問(wèn)題是控制端帶有干擾的一維不穩(wěn)定熱方程的穩(wěn)定性分析，首先借助于狀態(tài)觀測(cè)信號(hào)設(shè)置觀測(cè)器估計(jì)非線性不確定項(xiàng)，然后抵消干擾，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，其次，由于點(diǎn)觀測(cè)信號(hào)更容易測(cè)量，于是借助于點(diǎn)測(cè)量信號(hào)構(gòu)造觀測(cè)器估計(jì)干擾，并達(dá)到消除的目的，同樣可以得到系統(tǒng)是穩(wěn)定的。通過(guò)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明，當(dāng)不確定干擾的導(dǎo)數(shù)是有界時(shí)，采取的策略是有效的。

熱方程;不確定干擾;穩(wěn)定性;邊界控制;高增益

近幾年,偏微分方程邊界控制問(wèn)題已經(jīng)成了分布參數(shù)系統(tǒng)控制問(wèn)題中非常重要的研究課題之一[1]。 許多研究者對(duì)分布參數(shù)控制問(wèn)題已經(jīng)做了大量的研究,詳見(jiàn)參考書(shū)[2]以及其中涉及的一些參考文獻(xiàn)[3-5]。這類系統(tǒng)包括拋物型熱傳導(dǎo)方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程,雙曲型薛定諤方程、波動(dòng)傳播方程、振動(dòng)梁方程等。但是當(dāng)系統(tǒng)外部存在不確定干擾時(shí),原先的方法不能再用,因?yàn)闀?huì)直接影響到系統(tǒng)的觀測(cè)誤差,使得閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)的控制端存在外在的干擾時(shí)(同一軌道),在集中參數(shù)系統(tǒng)中，可以理解為未知參數(shù)的不確定,在分布參數(shù)系統(tǒng)中,可以從工程角度理解為在狀態(tài)輸入時(shí),可能含有噪音,我們把噪音信號(hào)理解成干擾,具體物理背景我們也可以見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。 滑?？刂婆c自抗擾控制已成為了處理干擾的兩大強(qiáng)大工具[6-8]等。有關(guān)熱方程的研究問(wèn)題,在我們的文章[9]中,我們也借助于滑?？刂婆c自抗擾控制方法考慮了如下帶有干擾的一維不穩(wěn)定熱方程的鎮(zhèn)定問(wèn)題:

(1)

其中w(x,t)表示系統(tǒng)的狀態(tài),q是大于零的常數(shù),U0(t)是系統(tǒng)外部控制輸入,d(t)是外部輸入干擾,相比較上述文獻(xiàn),我們采用這兩種方法也能證明系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的。基于上述問(wèn)題,我們主要研究如下不穩(wěn)定熱方程的穩(wěn)定性:

(2)

其中w(x,t)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t與位置x處的溫度分布,U0(t)是系統(tǒng)外部控制輸入,d(t)是外部輸入干擾,Yw(t)是輸出觀測(cè),其中核函數(shù)k(x,y)形式如下:

本文的目的是基于輸出Yw(t),設(shè)計(jì)控制器U0(t) 抵消干擾,并且鎮(zhèn)定系統(tǒng) (2)。

我們引入以下變換:

(3)

通過(guò)變換(3)可以將系統(tǒng) (2)轉(zhuǎn)化為以下系統(tǒng):

(4)

我們?cè)O(shè)計(jì)新的控制器如下:

(5)

將控制器(5)代入閉環(huán)系統(tǒng)(4)可以得到如下系統(tǒng):

(6)

我們將在狀態(tài)空間:

中考慮系統(tǒng)(6),

系統(tǒng)的能量函數(shù)定義為:

1 對(duì)系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性分析

由于我們對(duì) Y(t) 選取的合理性,可以得到以下兩個(gè)等式,分別為:

與

由此容易看出上面兩個(gè)等式右端也相等,即:

(7)

其中ε是比較小的調(diào)節(jié)參數(shù)。

令誤差系統(tǒng)為:

則滿足如下系統(tǒng):

(8)

(9)

(10)

其中:

(11)

常微分方程 (10)的解的形式為如下形式:

(12)

因?yàn)锳是Hurwitz矩陣,那么存在常數(shù)w,L>0,使得 ‖eAs‖F(xiàn)≤Le-ωs。再由(11)與(12)可得:

(13)

等價(jià)于如下方程:

(14)

因此對(duì)于任意給定的t0>0,我們可以得到當(dāng)t→∞,ε→0,時(shí),

(15)

另一方面,由(8)第一個(gè)等式可知:

(16)

則結(jié)合(15)與(16),可以得出我們的結(jié)論。

(17)

在控制器 (17) 的閉環(huán)系統(tǒng)為如下形式:

(18)

證明:將閉環(huán)系統(tǒng)(18)改寫(xiě)成誤差系統(tǒng),可以得到以下形式:

(19)

對(duì)于任意的θ>0,根據(jù)Young不等式可以得到:

由上式計(jì)算可以直接得出

根據(jù)(9),可以推出上面不等式右邊的第二個(gè)式子為

因此,根據(jù)(13),(14),可以得出

(20)系統(tǒng)(20)的解存在唯一,并且當(dāng)t→∞,ε→0 時(shí),任意趨于零。因?yàn)樵诳赡孀儞Q下,上述系統(tǒng)與系統(tǒng)(18)性質(zhì)上是等價(jià)的。

2 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

由于偏微分方程全狀態(tài)可測(cè)的困難性,在本節(jié)我們利用點(diǎn)觀測(cè)的思想考慮系統(tǒng)(21),有關(guān)系統(tǒng)(21)的物理背景詳見(jiàn)文獻(xiàn)[13], 具體問(wèn)題討論如下:

(21)

其中w(x,t)表示系統(tǒng)的狀態(tài),U0(t)是控制輸入,Yout(t)是輸出,λ>0是一個(gè)常數(shù)。

我們假設(shè)這里的干擾d(t) 是有界的,也就是說(shuō)對(duì)于任意的M0>0,都有 |d(t)|≤M0。

接下來(lái),我們?cè)O(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)原系統(tǒng)(21)的狀態(tài)。

定義多值函數(shù)

那么我們可以設(shè)計(jì)系統(tǒng)(21)的狀態(tài)觀測(cè)器為如下形式:

(22)

其中M1>M0+α,α>0,c1是正的設(shè)計(jì)參數(shù)。

(23)

定義Lyapunov函數(shù)如下:

(24)

我們對(duì)函數(shù)V(t) 求導(dǎo),得到

(25)

上面第二個(gè)不等式我們采用了Poincare不等式,其中

那么系統(tǒng)(23)在空間H2(0,1) 中存在Filippov解。

3 通過(guò)自抗擾控制方法設(shè)置輸出反饋控制器

在本節(jié)中,我們通過(guò)自抗擾控制方法給系統(tǒng)(21)設(shè)計(jì)基于輸出控制的狀態(tài)觀測(cè)器,基于文獻(xiàn)[18]的思想,我們選取如下形式:

(26)

因?yàn)槲覀円呀?jīng)通過(guò)觀測(cè)器(22)得到了系統(tǒng)的近似表達(dá)式,自然的,我們考慮 (26)的y(t).

顯然y1(t),y2(t) 完全由系統(tǒng) (21)的輸出形式所決定。對(duì)上式y(tǒng)1(t) 求導(dǎo)可以得到

(27)

在文[9]中我們已經(jīng)用基于自抗擾控制的常數(shù)增益思想設(shè)計(jì)控制器抵消干擾,在這里我們采用時(shí)變?cè)鲆嬖O(shè)置狀態(tài)觀測(cè)器如下:

(28)

其中r(t)就是時(shí)變?cè)鲆?滿足如下條件:

(29)

文獻(xiàn)[9]中,狀態(tài)反饋的控制律設(shè)置為

(30)

(31)

那么最后的閉環(huán)系統(tǒng)寫(xiě)成如下形式:

(32)

(33)

(34)

然而 (34)的式子與文獻(xiàn)[9]是等價(jià)的,已經(jīng)證明了 當(dāng)t→∞時(shí),w(x,t)→0。

4 結(jié)論

采取估計(jì)/抵消的辦法處理帶有外部干擾的一維不穩(wěn)定熱方程的穩(wěn)定性,我們借助于輸出信號(hào)估計(jì)非線性不確定干擾,而后抵消。通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明驗(yàn)證,我們的這種方法是有效的,當(dāng)外部干擾的導(dǎo)數(shù)是有界的。

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The Stability for a One-Dimensional Unstable Heat Equation with Boundary Input Uncertainty Disturbance

JIA Yanna1,LIU Junjun2*

(1.CollegeofMathematicsandSystemSciences,XinjiangUniversity,Urumqi830046，China;2.CollageofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnonlogy,Taiyuan030024,China)

In this paper, we are concerned with the boundary stabilization of a one-dimensional unstable heat equation with the external disturbance flowing to the control end. Firstly，we design the observer estimate the nonlinear uncertainty in terms of the state observer signal，and eliminate the disturbance， then we show that the the closed-loop system is stable. Secondly, since it is easier to measure the point observation signal ,we construct the observer estimate the disturbance by the point observation signal, and prove that the closed-loop system is also stable. Finally，through the mathematical strict proof，we show that this strategy is valid when the derivative of the disturbance is also bounded.

heat equation;uncertainty disturbance;stability;boundary control;high-gain

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.01.008

2016-09-12；

2016-11-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(11626165)；太原理工大學(xué)青年基金項(xiàng)目(2015QN062)

賈彥娜(1985-)，女，山東臨沂人，碩士生，主要研究方向?yàn)槠⒎窒到y(tǒng)控制理論與數(shù)值計(jì)算。

*通信作者：劉軍軍(LIU Junjun)，E-mail：liujunjun_0517@163.com

O174.52

A

0253-2395(2017)01-0062-08