等粒徑球體三維體心立方堆積體接觸力傳遞模型研究

張春光

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市 200092）

等粒徑球體三維體心立方堆積體接觸力傳遞模型研究

張春光

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市 200092）

基于等粒徑球體三維體心立方堆積體的排列特點(diǎn)，提出了力均勻傳遞分配等五條基本假設(shè)，建立了豎向均布荷載作用下，等粒徑球體三維體心立方堆積體中接觸力豎向分量的計(jì)算模型，并利用該模型計(jì)算了相應(yīng)堆積體中不同位置處的球體的接觸力豎向分量，分析了堆積體內(nèi)部接觸力的理論分布規(guī)律。

三維體心立方堆積；接觸力傳遞模型；接觸力分布規(guī)律

0 引言

顆粒堆積體的研究及其工程應(yīng)用是近年來(lái)多學(xué)科交叉發(fā)展研究起來(lái)的一門新興學(xué)科，在路基填筑、堤壩填筑等工程技術(shù)研究中得到了較廣泛的應(yīng)用[1]。顆粒堆積體內(nèi)部接觸力的大小及分布規(guī)律決定著堆積體的宏觀力學(xué)性能，由于堆積體中顆粒具有明顯的離散性，傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)彈性理論在揭示堆積體中接觸力分布規(guī)律方面適用性不足。因此探索研究荷載作用下顆粒堆積體中的接觸力傳遞模型，對(duì)于揭示堆積體中接觸力的分布規(guī)律，分析堆積體力學(xué)性能宏觀表現(xiàn)的內(nèi)在原因，解決堆積體實(shí)際工程問(wèn)題有著重要的意義。

荷載在顆粒堆積體中的傳遞，可看作從堆積體頂層荷載作用位置出發(fā)，沿深度方向?qū)訉觽鬟f擴(kuò)散的過(guò)程，荷載的傳遞規(guī)律與顆粒間的接觸位置和接觸狀態(tài)有關(guān)[2]。本文基于靜力平衡理論，結(jié)合堆積體中顆粒排列的特點(diǎn)，提出合理的假設(shè)，建立了豎向均布荷載作用下，三維體心立方堆積體中接觸力的理論傳遞模型，并分析了堆積體中接觸力的理論分布規(guī)律。

1 接觸力傳遞模型研究現(xiàn)狀簡(jiǎn)析

大量的堆積體接觸力檢測(cè)試驗(yàn)結(jié)果[3，4]表明，堆積體中接觸力的峰值并非總是出現(xiàn)在外荷載作用線穿過(guò)的顆粒處，接觸力存在雙峰現(xiàn)象，且并非全部球體都分擔(dān)外荷載，這與傳統(tǒng)的彈性力學(xué)理論得到的結(jié)果不符。許多學(xué)者[5，6]從上述試驗(yàn)現(xiàn)象出發(fā)，探索了二維堆積體中接觸力傳遞的理論模型。

劉建國(guó)[7]參考布辛涅斯克關(guān)于二維各向同性半無(wú)限線彈性體應(yīng)力的推導(dǎo)成果，推導(dǎo)得到了顆粒在點(diǎn)荷載作用下的應(yīng)力，并用光彈試驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)結(jié)果。蘇梁等[8]用解析法推導(dǎo)得到了外荷載作用下堆積體中的力鏈分布，并通過(guò)PFC2D模擬了雙軸試驗(yàn)，在其他參數(shù)固定，僅改變應(yīng)力水平的實(shí)驗(yàn)條件下，得到了相應(yīng)的力鏈分布，發(fā)現(xiàn)二者結(jié)果定性吻合。

蔣紅英[5，9]應(yīng)用隨機(jī)理論，將力的傳遞分為平均分配部分和波動(dòng)量?jī)刹糠郑玫搅硕S緊密排列堆積體的豎向力的傳遞方程，定性地分析了相應(yīng)排列方式下理想剛性顆粒堆積體中的底層接觸力的變化規(guī)律。魯進(jìn)步等[9]應(yīng)用隨機(jī)理論，將顆粒間的力的傳遞特性分為等概率傳遞和單邊偏移兩種情況，建立了有序?qū)ΨQ排列的二維顆粒堆積體中堆積體內(nèi)部接觸力的傳遞模型，并將該模型用于五層顆粒堆的力的傳遞分析，發(fā)現(xiàn)傳遞模型的理論分析結(jié)果與相應(yīng)模型的光彈試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性吻合。

總體而言，堆積體中接觸力傳遞的理論模型的研究，目前仍處于初級(jí)階段，現(xiàn)有的理論模型尚不能同時(shí)定量和定性地解釋堆積體中接觸力的分布規(guī)律性[5]。

2 堆積體接觸力傳遞模型

本文參考蔣紅英[5，9]的研究成果，將力的傳遞部分分為平均分配部分和波動(dòng)量?jī)刹糠?，并假設(shè)力波動(dòng)量為零，提出了相應(yīng)的基本假設(shè)，得到了如圖1所示的等粒徑球體三維體心立方堆積體中接觸力的傳遞模型。

圖1 豎向均布荷載作用下三維體心立方堆積體接觸力傳遞模型推導(dǎo)示意圖

圖1中，Am/x/y表示第m層投影平面位置坐標(biāo)為（x，y）處的球體，第m-1層中與Am/x/y球體緊鄰的 4 個(gè)球體分別為 Am-1/x-1/y-1、Am-1/x-1/y+1、Am-1/x+1/y-1、Am-1/x-1/y+1，由此可以確定堆積體中任意位置處球體的編號(hào)。

2.2.1 基本假設(shè)

堆積方式不同，堆積體的空隙率、配位數(shù)等堆積狀態(tài)參數(shù)也將不同，堆積體在荷載作用下的力學(xué)響應(yīng)也會(huì)有所差別。

圖1所示的三維堆積體中球體層間交錯(cuò)排列，荷載傳遞的同時(shí)伴隨著擴(kuò)散。參考文獻(xiàn)[5]的研究成果，在建立堆積體接觸力傳遞模型時(shí)提出以下基本假設(shè)：

（1）顆粒單元為等粒徑球體；

（2）顆粒間接觸位置處無(wú)切向力；

（3）只考慮豎向力的傳遞，橫向力相互平衡；

（4）堆積體中遠(yuǎn)離邊界處的單個(gè)球體受上層四個(gè)球體傳遞下來(lái)的力，且將力均勻傳遞給下層的四個(gè)鄰近球體，緊鄰邊界處的球體將力均勻傳遞給下層鄰近的一個(gè)或者兩個(gè)球體；

（5）球體的位移和形變不改變力的傳遞路徑。

2.2.2 堆積接觸力傳遞模型的建立

由基本假設(shè)可知，圖1所示的三維堆積體中，緊鄰邊界的球體所承擔(dān)的豎向力分量只能完全分配給下層緊鄰的一個(gè)球體或者兩個(gè)球體，此時(shí)的力的分配比率為1或者1/2，其它位置處球體力的分配率均為1/4，由此可得均布荷載作用下三維體心立方堆積體中豎向力分量傳遞的通項(xiàng)公式，如式（1）所示：

通項(xiàng)公式（1）即為等粒徑球體三維體心立方堆積體，在理想堆積狀態(tài)下（力波動(dòng)量為零）的接觸力豎向分量傳遞計(jì)算模型。

其中，fm-1/x-1/y-1為第 m 層中球體 Am-1/x-1/y-1的豎向力的分配比率；同理，fm-1/x-1/y+1、fm-1/x+1/y-1、fm-1/x-1/y+1為對(duì)應(yīng)位置處球體的豎向力的分配比率。

顯然，圖1所示的三維堆積體中，存在如圖2所示的兩種層間關(guān)系：

根據(jù)通項(xiàng)公式（1），從堆積體頂層開(kāi)始推算，首先對(duì)同一層中接觸力豎向分量呈現(xiàn)相同分布規(guī)律的進(jìn)行分類，然后將其代入圖2所示的層間關(guān)系圖，可得如圖3所示的層間傳遞計(jì)算過(guò)程圖，便可推算得到下一層不同位置處球體所承擔(dān)的豎向力分量?；诖?，便可逐層計(jì)算得到三維體心立方堆積體中不同位置處球體的接觸力豎向分量。

圖2 堆積體層與層之間的傳遞關(guān)系

圖3 層間傳遞計(jì)算圖（第2層傳遞給第3層）

3 接觸力理論分布規(guī)律

將上述接觸力傳遞模型用于計(jì)算規(guī)模為“7×7—6×6”（即奇數(shù)層球體數(shù)量為7×7，偶數(shù)層球體數(shù)量為6×6）的等粒徑球體三維體心立方堆積體的接觸力，豎向均布荷載作用下堆積體中不同層位、不同位置處球體的接觸力豎向分量，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 堆積體豎向力分量的理論計(jì)算結(jié)果

由圖4可得，“7×7—6×6”規(guī)模的堆積體中3、5、7、9層中不同位置球體的豎向力分量均呈現(xiàn)以x軸、y軸和z軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱分布規(guī)律。豎向力分量呈現(xiàn)中心區(qū)域小，其他區(qū)域大的“中心區(qū)域凹陷”的現(xiàn)象，且隨著堆積層數(shù)的增加，“中心區(qū)域凹陷”的趨勢(shì)變緩，接觸力大小分布漸趨均勻。此外，不同位置球體的豎向力分量均在空間4個(gè)對(duì)稱的位置出現(xiàn)4個(gè)等大的峰值，且峰值出現(xiàn)的位置不隨堆積層數(shù)的增加而改變，峰值隨著堆積層數(shù)的增加減小。

4 結(jié)語(yǔ)

本研究建立了豎向均布荷載作用下，等粒徑球體三維體心立方堆積體中接觸力豎向分量的計(jì)算模型，利用該模型計(jì)算得到了相應(yīng)堆積體中不同位置處的球體的接觸力豎向分量，發(fā)現(xiàn)豎向力分量整體呈現(xiàn)中間區(qū)域小、其他區(qū)域大的“中間區(qū)域凹陷”規(guī)律，且在4個(gè)固定位置出現(xiàn)4個(gè)等大峰值；隨著堆積層數(shù)的增加，“中間區(qū)域凹陷”的趨勢(shì)減變緩，峰值也逐漸減小。

[1]蔣紅英,魯進(jìn)步.顆粒堆中軸向靜荷載力傳遞實(shí)驗(yàn)分析[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006(5):2-3.

[2]BOUCHAUD J P,CLAUDIN P,LEVINE,etc.Force chain splitting in granular materials:A mechanism for large-scale pseudo-elastic behavior[J].Eur Phys J E,2001(4):451-457.

[3]劉源,繆馥星,苗天德.二維顆粒堆積體中力的傳遞與分布研究[J].巖土工程學(xué)報(bào),2005(4):2-6.

[4]蔣紅英,魯進(jìn)步.顆粒堆中軸向靜荷載力傳遞實(shí)驗(yàn)分析[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006(5):2-3.

[5]蔣紅英.顆粒介質(zhì)傳力特性及其在巖土工程中的若干應(yīng)用問(wèn)題[D].甘肅蘭州:蘭州大學(xué),2005.

[6]GOLDENBERG C,GOLDHIRSCH I.Force chains,micro-elasticity and macro-elasticity[J].Phys Rev Letters,2002,89(8):1-4.

[7]劉建國(guó).顆粒物質(zhì)局部化行為的細(xì)觀研究[D].北京：清華大學(xué), 2013.

[8]蘇梁,蘇強(qiáng),馬良榮.解析法推導(dǎo)顆粒體系在受理過(guò)程中的力鏈分布[J].山西建筑,2011(9):1-2.

[9]蔣紅英,苗天德,魯進(jìn)步.二維顆粒堆中力傳遞的一個(gè)概率模型[J].巖土工程學(xué)報(bào),2006(7):2-5.

U416.1

A

1009-7716（2017）04-0202-03

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2017.04.059

2017-02-27

張春光（1966-），男，上海人，工程師，從事道路交通設(shè)計(jì)工作。