構(gòu)造新數(shù)列求遞推數(shù)列通項(xiàng)

◎劉淑芬 周 李

(華東交大理工學(xué)院，江西 南昌 330022)

構(gòu)造新數(shù)列求遞推數(shù)列通項(xiàng)

◎劉淑芬 周 李

(華東交大理工學(xué)院，江西 南昌 330022)

在研究數(shù)列問題時(shí)，重點(diǎn)、難點(diǎn)問題就是求遞推數(shù)列的通項(xiàng).遞推數(shù)列的通項(xiàng)的求法有多種，筆者認(rèn)為利用化歸的數(shù)學(xué)思想，通過構(gòu)造新數(shù)列把不典型的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比兩種典型的數(shù)列是一種重要的有效的方法.構(gòu)造新數(shù)列需要比較靈活地運(yùn)用一些變形技巧，學(xué)生求這一類問題時(shí)常常會感到力不從心.這也使這一類問題變成難點(diǎn)問題.為此本文介紹了利用構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)的七種通法通則，供讀者參考.

新數(shù)列

一、求由an=pan-1+f(n)確定的數(shù)列通項(xiàng)公式

an=pan-1+f(n)確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式是相對簡單的一種類型.一般方法是構(gòu)造遞推關(guān)系an+g(n)=p[an-1+g(n-1)]，使得數(shù)列{an+g(n)}為等比數(shù)列，所以，只要求出n的函數(shù)g(n)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式也就迎刃而解了.在求解過程中，我們要注意函數(shù)g(n)的結(jié)構(gòu)需要根據(jù)f(n)的結(jié)構(gòu)而定.如果f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，則g(n)也應(yīng)該是一次函數(shù)，如果f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，則g(n)也應(yīng)該是關(guān)于n的二次函數(shù).確定g(n)的結(jié)構(gòu)與f(n)一致之后再通過待定系數(shù)的方法求出g(n).

例1 已知{an}滿足a1=3，an+1=2an+1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、求由an+1=pan+qn確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式

五、求由an+2=p·an+1+q·an確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式

對遞推式an+2=p·an+1+q·an，思路是利用待定系數(shù)變形成an+2+xan+1=y(an+1+xan)的形式，把數(shù)列{an+xan-1}作為等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.其中的常數(shù)x，y利用待定系數(shù)法求得.

例4 (2008年天津卷文科第20題)在數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)·an-q·an-1，(n≥2，q≠0)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

七、利用三角函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式

這一種類型需要對三角函數(shù)公式進(jìn)行遷移和聯(lián)想，結(jié)合已知的遞推關(guān)系的特點(diǎn)構(gòu)造數(shù)列的遞推關(guān)系.

以上七種類型遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法，主要體現(xiàn)了一個重要的數(shù)學(xué)思想，那就是轉(zhuǎn)化化歸思想，轉(zhuǎn)化的目的是把陌生的數(shù)列轉(zhuǎn)化為熟悉的等差、等比數(shù)列來求解，根據(jù)不同的遞推式，采用相應(yīng)的變形手段，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.在變形的過程中可以構(gòu)建一個新數(shù)列，構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化陌生為熟悉，這也是解答數(shù)學(xué)問題的共性之所在.