數(shù)形結(jié)合思想解題之巧與妙

◎羅興文

(珠海市藝術(shù)高級中學，廣東 珠海 519000)

數(shù)形結(jié)合思想解題之巧與妙

◎羅興文

(珠海市藝術(shù)高級中學，廣東 珠海 519000)

數(shù)形結(jié)合思想在命題中通常體現(xiàn)在兩個方面：一是以形助數(shù)，即借助形的生動性和直觀性闡述數(shù)之間的聯(lián)系；二是以數(shù)輔形，即借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性闡述形的某些屬性.也就是說，“代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化”，它往往有“峰回路轉(zhuǎn)”的神效，既能培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的抽象和概括能力，也能培養(yǎng)學生的數(shù)學技能和思維品質(zhì).解題之巧、解題之妙，盡在解題過程中享受.

以形助數(shù)；以數(shù)輔形；思維品質(zhì)

下面筆者結(jié)合歷年高考或模擬試題，談談數(shù)形結(jié)合思想解題之巧與妙，供同行滋賞.

一、數(shù)形結(jié)合思想研究“零點”問題

A.5 B.6 C.7 D.8

解題思路 函數(shù)的零點?函數(shù)圖像交點(指橫坐標)?方程的實數(shù)根.

解 由函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

所以f(x)=f(2-x)=f(x-2)，

以x+2代入函數(shù)f(x)，得

f(x+2)=f[(x+2)-2]=f(x),

所以函數(shù)f(x)為T=2的周期函數(shù).由x∈[0,1]時，f(x)=x3可以得到f(0)=0，f(1)=1；從而作出x∈[0,1]內(nèi)，f(x)=x3的圖像，再利用f(-x)=f(x)即f(x)為偶函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)f(x)在[-1，1]上一個周期的圖像.如圖1.

圖1

設(shè)φ(x)=x·cosπx，則φ(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱；而g(x)=|xcos(πx)|為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱.

對于f(x)=|x·cosπx|，可得到

二、數(shù)形結(jié)合思想研究集合問題

例2 (江蘇)設(shè)集合

B={(x，y)|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}.

若A∩B≠?，則實數(shù)m的取值范圍是________.

解題思路A，B均為點的集合，關(guān)鍵是考慮參數(shù)m的變化對A，B集合產(chǎn)生什么影響.常言說：結(jié)構(gòu)決定性質(zhì).根據(jù)其結(jié)構(gòu)可以轉(zhuǎn)化為：集合A可能表示一個點或圓面或圓環(huán)區(qū)域；集合B表示兩條平行直線所夾的帶狀區(qū)域.A∩B≠?，可以理解為：或點在帶狀區(qū)域內(nèi)，或圓面或圓環(huán)區(qū)域與帶狀區(qū)域有重疊.

解 對于B，∵2m<2m+1恒成立，∴B≠?.

由A∩B≠?，則A≠?，

(1)若m=0，對于集合A，化為(x-2)2+y2=0，此時，A={(2，0)}僅含一個點.對于集合B，化為0≤x+y≤1，即為夾在兩平行直線x+y=0與x+y=1之間的區(qū)域；點(2，0)不在區(qū)域內(nèi)，故m=0不滿足題意.

(2)若m<0，對于集合A，化為0≤(x-2)2+y2≤m2=|m|2，其幾何意義為以(2，0)為圓心，R=|m|的圓面；對于集合B，化為2m≤x+y≤2m+1，幾何意義為夾在兩條平行直線x+y-2m=0與x+y-2m-1=0之間的帶狀區(qū)域，如圖2所示.

圖2

要滿足A∩B≠?，只需轉(zhuǎn)化為點(2，0)到直線x+y-2m-1=0的距離小于或等于半徑R=|m|即可.

整理得2m2-4m+1≤0.

故m<0不滿足題意.

對于集合B，化為2m≤x+y≤2m+1，其幾何意義為夾在兩條直線x+y-2m=0與x+y-2m-1=0之間的帶狀區(qū)域.

三、結(jié)束語

通過對以上例題的剖析，我們可以感受到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學解題中的魅力.其實，數(shù)形結(jié)合思想從小學就有滲透，初中的數(shù)軸、坐標系、簡單函數(shù)圖像無不顯現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；高中教材中從代數(shù)到幾何，處處烙下數(shù)形結(jié)合思想的“倩影”.我們感受到了數(shù)形結(jié)合解題的巧與妙，應思考這種能力怎樣形成、如何培養(yǎng)；真要使數(shù)形結(jié)合思想在解題中做到得心應手，需要教師在平時的教學中潛移默化地滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想，引導、訓練、強化，只有做到靈活自如，方可得心應手.