葉果洛夫定理教學(xué)研討

◎李 輝 龔邦明

( 1.銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300； 2.興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)

葉果洛夫定理教學(xué)研討

◎李 輝1龔邦明2

( 1.銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300； 2.興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)

本文旨在對葉果洛夫定理(第二版)證明的包含關(guān)系做出解釋，學(xué)生在學(xué)習(xí)到此證明時，對集合語言與分析語言不容易接受.當(dāng)將分析語言轉(zhuǎn)化為集合運算時，等式的包含關(guān)系就顯而易見了，而這也成為理解本定理的關(guān)鍵.

分析語言；集合語言；葉果洛夫定理

一、預(yù)備知識

定義2 設(shè)有一集列{Si}，并且滿足

S1?S2?…?Sn?…，

定義3 設(shè)有一集列{Si}，并且滿足

S1?S2?…?Sn?…，

性質(zhì)1

結(jié)論1 與“存在”相對應(yīng)的是并集運算，與“任意”相對應(yīng)的是交集運算.

二、分析過程

首先，此種的證法偏重于分析語言，但這樣就會造成在用分析語言的思維來分析集合時，顯得抽象，不易理解.但是若我們能將分析語言轉(zhuǎn)化為集合語言，在此定理的開頭提到的包含關(guān)系就能夠迎刃而解.

對于符號E[n，ε]，我們看到在定義時是這樣定義的：

E[n，ε]=E[|fk(x)-f(x)|<ε，?k≥n].

意思是指在?k≥n下，所有滿足|fk(x)-f(x)|<ε的點x構(gòu)成的集合.通過對預(yù)備知識的了解，我們知道與“任意”相對應(yīng)的是交運算，所以，?k≥n反映到集合語言里就是對變量k做交運算，即：

對于符號E[fn(x)→有限f(x)]，是將分析語言與集合語言混合起來的一種表述，如果翻譯成分析表述那就應(yīng)當(dāng)是

?ε>0，?N>0，s.t.

當(dāng)?n>N(ε，x)時，有|fn(x)-f(x)|<ε，

但此處關(guān)鍵是要解決集合之間的包含關(guān)系，所以，我們將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的集合語言.同理，就要把“任意”轉(zhuǎn)化成交運算，“存在”改為并運算，即

而右邊

E[除有限個n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε],

其實是下限集的定義，因為

而由性質(zhì)1知道

故集合E[除有限個n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε]就變?yōu)?/p>

然后，我們將左右兩邊的集合做個比較.

右邊等于

左邊等于

因為右邊是在左邊集合的基礎(chǔ)上再做交運算的結(jié)果，故

E[fn(x)→有限f(x)]?E[除有限個n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε].

故開頭所提出的問題在對這兩種語言有一定的了解的情況下得到了解決.

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文,等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2010.

類別：卓越人才教育培養(yǎng)計劃項目；名稱：卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)計劃；項目編號：2016SJZYRC001.