哲學(xué)視域下的數(shù)學(xué)語言研究

姬粱飛

摘要：數(shù)學(xué)語言與哲學(xué)有著深厚的歷史淵源。一方面，數(shù)學(xué)語言發(fā)展是哲學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域，它為哲學(xué)提供研究內(nèi)容與證據(jù)。另一方面，哲學(xué)作為世界觀，它又為數(shù)學(xué)語言提供指導(dǎo)思想，哲學(xué)作為方法論，也為數(shù)學(xué)語言發(fā)展提供認(rèn)識與探索工具。數(shù)學(xué)語言的哲學(xué)認(rèn)知水平有助于人提升其道德認(rèn)知水平、樹立正確的世界觀及價(jià)值觀。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語言；哲學(xué)；德育；核心素養(yǎng)

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2017.04.021

中圖分類號：B017

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-1580（2017）04-0070-04

B.Demollins曾言：“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度；沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度；而沒有兩者，人們什么也看不透?！睌?shù)學(xué)語言既屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，又屬于語言學(xué)領(lǐng)域，這種研究已涉及代數(shù)語言學(xué)、統(tǒng)計(jì)語言學(xué)以及算法語言學(xué)等領(lǐng)域。數(shù)學(xué)語言的認(rèn)知水平不僅對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為起到促進(jìn)或限制作用，甚至對其道德認(rèn)知水平、價(jià)值觀、世界觀等產(chǎn)生重要影響。

一、哲學(xué)是模糊的。數(shù)學(xué)語言卻是精確的

中國哲學(xué)的主要成果是古代哲學(xué)，并以道、儒、法、墨等諸家為主要哲學(xué)流派。在認(rèn)識世界方面的哲學(xué)成果主要是以老莊與周易為代表的自然觀；在社會價(jià)值與規(guī)范方面的成果主要是以孔孟學(xué)說為代表的倫理觀。從哲學(xué)角度來說，中國是一個(gè)“道”的國度，“道”在中國哲學(xué)中代表一種獨(dú)特的哲學(xué)思想。莊周認(rèn)為，“道，理也”，“道無不理”。中國古代哲學(xué)是研究宇宙內(nèi)萬事萬物的運(yùn)行規(guī)律，闡釋事物運(yùn)動變化軌跡或軌道的一種學(xué)說。哲學(xué)的英文為Phi.losophy，它沒有統(tǒng)一而明確的定義，在一般意義上哲學(xué)是指對普遍或基本問題進(jìn)行研究的一類學(xué)說。西方哲學(xué)對中國影響最大的是馬克思主義哲學(xué)，目前西方仍存在著各種哲學(xué)派別，延續(xù)與發(fā)展著西方哲學(xué)，其中把現(xiàn)代西方哲學(xué)與馬克思主義革命理論相結(jié)合的哲學(xué)流派又稱西方馬克思主義。哲學(xué)是方法論與世界觀的統(tǒng)一，既是方法論又是世界觀。

語言是人類交流思想、表達(dá)思維活動的一種工具，由詞匯、語音及語法等構(gòu)成，是傳承文明和推動社會發(fā)展的橋梁。數(shù)學(xué)語言是語言的下位概念，既有語言的共性，也有自身的獨(dú)特性。集數(shù)學(xué)之大成者高斯曾把數(shù)學(xué)比喻為上帝的語言，以此類推，數(shù)學(xué)語言則是上帝的口舌了，當(dāng)然，這也只是一種形象的比喻罷了。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家斯托利亞爾說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)語言不斷適應(yīng)與內(nèi)化的過程。數(shù)學(xué)語言是在人類思維發(fā)展過程中逐漸形成的，按照特有的語法規(guī)則，以數(shù)學(xué)符號為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)定義、公理、定理以及公式等專門術(shù)語為要素所構(gòu)成的一種科學(xué)語言。

二、世界是一本以數(shù)學(xué)語言寫成的書（唯物辯證法）

（一）數(shù)學(xué)語言的客觀性。數(shù)學(xué)這門古老的科學(xué)是從人類生活實(shí)踐中發(fā)展而來，起初從原始時(shí)期的“結(jié)繩記事”到后來的阿拉伯?dāng)?shù)字，再從珠算到現(xiàn)代計(jì)算機(jī)，這些都表明數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐。數(shù)學(xué)語言的發(fā)展也是在生活實(shí)踐中抽象出來的。數(shù)學(xué)與客觀事物存在一種映射關(guān)系，它反映著客觀存在物的某種空間形式和數(shù)量關(guān)系，并投射著人類對客觀現(xiàn)實(shí)的描述形式。數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物，但它的直接對象卻是數(shù)學(xué)語言，而且數(shù)學(xué)知識也是存在于數(shù)學(xué)語言之中。比如，線段公理（兩點(diǎn)之間線段最短）是從現(xiàn)實(shí)中抽象出來的，在地面上扔個(gè)肉包子，在沒有其他障礙物的情況下，狗直接奔包子，而不是繞個(gè)彎；“大漠孤煙直”，用數(shù)學(xué)語言描述就是線面垂直關(guān)系；“長河落日圓”，用數(shù)學(xué)語言描述就是線與圓相離、相切及相交。再如，地球儀的經(jīng)緯線是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的，將地球儀分南北半球，每半球均分90份，每份代表1。，其經(jīng)線是用二面角平面角的表達(dá)形式。

“草木本無意，榮枯自有時(shí)。”數(shù)學(xué)語言是客觀規(guī)律的產(chǎn)物，一方面，數(shù)學(xué)語言作為描述數(shù)量關(guān)系或空間形式的一種思維表達(dá)形式，其研究對象是客觀世界的運(yùn)動規(guī)律。數(shù)學(xué)語言來源于現(xiàn)實(shí)生活，它只有應(yīng)用于生活才能體現(xiàn)其存在的價(jià)值。在人類環(huán)境中處處可見，房屋的形狀是由三角形、正方形、矩形、圓形等構(gòu)成，用數(shù)學(xué)語言描述就是點(diǎn)線、線面、面面等關(guān)系。另一方面，數(shù)學(xué)語言是人類抽象思維的表達(dá)形式，它無法脫離感性事物而獨(dú)立存在。再抽象的數(shù)學(xué)語言也離不開現(xiàn)實(shí)世界，不論內(nèi)容還是形式都與現(xiàn)實(shí)存在著一種對應(yīng)關(guān)系。這個(gè)對應(yīng)關(guān)系又受到人類認(rèn)知水平與歷史階段的限制，它只能是自然界或客觀現(xiàn)實(shí)一種無限接近的結(jié)果，而不是絕對的。所以，數(shù)學(xué)語言對客觀現(xiàn)實(shí)而言，它又具有相對獨(dú)立性，它意味著在某種情況下可以脫離具體現(xiàn)實(shí)而獨(dú)立發(fā)展，而且能夠自成體系。

方法論意義：荀子言道：“天有常道矣，地有常數(shù)矣，君子有常體矣?！睌?shù)學(xué)語言是客觀規(guī)律的反映，教師需要重視學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的現(xiàn)實(shí)原型，而不是忽略其現(xiàn)實(shí)性，掌握數(shù)學(xué)語言在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要義。

（二）普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)語言本身就具有普遍聯(lián)系性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言有利于培養(yǎng)聯(lián)系的觀點(diǎn)。理解數(shù)學(xué)語言的普遍聯(lián)系性，需要尋找知識之間的聯(lián)系，從這些聯(lián)系中尋求解決矛盾的途徑和方法，并把握數(shù)學(xué)語言對各種概念的不同表達(dá)形式，從而加以聯(lián)系與推廣，善于抓住概念之間的種屬關(guān)系。比如，Euler Fonllula：e^ix=cosx+i sin x.這個(gè)公式最不可思議之處就是非常巧妙地包含了五個(gè)不同尋常數(shù)0，1，e，π，i.，它把實(shí)數(shù)中兩個(gè)最特殊的數(shù)0、1，兩個(gè)超越數(shù)p、e，虛數(shù)單位i，以及兩個(gè)運(yùn)算關(guān)系符號聯(lián)系起來。它把原本各自獨(dú)立存在的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系在一起，還實(shí)現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)之間的相互轉(zhuǎn)化，令人嘆為觀止。另外，同構(gòu)概念是在映射概念的基礎(chǔ)上建立起來的，在集合論中，函數(shù)、變換運(yùn)算又都統(tǒng)一于映射。函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等概念本身就是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的概念體系。此外，群、環(huán)、域都是用集合語言闡釋的，通過集合語言定義新的運(yùn)算或特殊元素，形成新的性質(zhì)規(guī)律。再如，向量概念，需求區(qū)別向量與數(shù)量的關(guān)系，向量是一種嶄新的數(shù)學(xué)概念，它是對數(shù)量概念的發(fā)展與超越。三角函數(shù)、向量、幾何、復(fù)數(shù)之間存在千絲萬縷的關(guān)系，它們使用著相似的邏輯工具，概念上也有著親緣關(guān)系。在數(shù)學(xué)思想方法上，數(shù)形結(jié)合思想是代數(shù)與幾何的巧妙結(jié)合，笛卡爾發(fā)明的坐標(biāo)系也是數(shù)與形的聯(lián)系。分類討論思想是采用數(shù)學(xué)語言的手段將復(fù)雜問題逐一分類，從而各個(gè)擊破。

方法論意義：數(shù)學(xué)語言具有相互聯(lián)系的性質(zhì)，正是因?yàn)檫@種相互聯(lián)系，可以借助某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)已經(jīng)解決的問題化解另一個(gè)領(lǐng)域的問題，這本身就是一種思想方法，對學(xué)生也是一種潛在而影響深遠(yuǎn)的教育資源。

（三）運(yùn)動發(fā)展的觀點(diǎn)。任何事物的發(fā)展都是一個(gè)過程，并總是向前發(fā)展，呈現(xiàn)螺旋式上升的發(fā)展形式?！跋s噪林逾靜，鳥鳴山更幽?！睌?shù)學(xué)語言的發(fā)展也是動中有靜，靜中有動，呈現(xiàn)出一種運(yùn)動形式，既反映客觀世界運(yùn)動發(fā)展的現(xiàn)象，又為人們認(rèn)識世界、改造世界提供新的有力工具。比如數(shù)集，經(jīng)歷了自然數(shù)集、有理數(shù)集、無理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集，從數(shù)環(huán)到數(shù)域，從整數(shù)的離散性到有理數(shù)的稠密性，再由有理數(shù)集的間斷性發(fā)展到實(shí)數(shù)集的連續(xù)性。顯然，數(shù)學(xué)語言每一步的發(fā)展都體現(xiàn)了運(yùn)動發(fā)展的規(guī)律，并是一次質(zhì)的飛躍。另者，函數(shù)概念起初定義為隨著某條曲線的點(diǎn)而變動的量發(fā)展到把函數(shù)看作是變量與常數(shù)或公式方程的組合，再到一種對應(yīng)關(guān)系，最后到集合之間的映射，此時(shí)方將函數(shù)本質(zhì)特征徹底地抽象概括出來。再者，微積分的實(shí)無窮小，發(fā)展到潛無窮小，再到實(shí)無窮小與潛無窮小的交叉，數(shù)學(xué)語言的描述也由靜態(tài)范疇發(fā)展到動態(tài)范疇，人們最終得以正確認(rèn)識無窮小量的意義。此外，模糊數(shù)學(xué)概念也反映了數(shù)學(xué)語言變化發(fā)展的特征，人類起初認(rèn)識確定性變量，造就了經(jīng)典數(shù)學(xué)的誕生與發(fā)展，隨著人類認(rèn)識能力的提升，開始認(rèn)識到隨機(jī)變量，進(jìn)而發(fā)展了隨機(jī)數(shù)學(xué)，后來認(rèn)識了模糊性變量，從而促使模糊數(shù)學(xué)的誕生與發(fā)展。還有幾何語言的發(fā)展，從初等幾何（歐式幾何）、解析幾何（笛卡爾）、射影幾何、微分幾何（變量幾何）發(fā)展到羅氏幾何與黎曼幾何（非歐幾何）等。

方法論意義：數(shù)學(xué)語言在人類歷史長河中，只有不斷地運(yùn)動發(fā)展，才能破殼而出，實(shí)現(xiàn)自身的發(fā)展，它不但呈現(xiàn)出時(shí)間上的持續(xù)性與空間上的廣延性，而且促進(jìn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交替性發(fā)展，更

（七）必然性與偶然性。必然性：雖說世界上有上千種文字語言，但各國的數(shù)學(xué)語言卻是相同的，數(shù)學(xué)語言是國際上通用的語言。數(shù)學(xué)語言能夠在歷史長河中流傳下來，而且完全國際化，這說明數(shù)學(xué)語言的誕生與傳承具有必然性，其相容相通、精確美觀、簡潔緊湊。偶然性：數(shù)學(xué)語言的創(chuàng)作與傳承具有一定的偶然性，其創(chuàng)作主要有兩個(gè)渠道。第一是由某個(gè)歷史時(shí)期的人民大眾所創(chuàng)，廣泛流傳并約定下來，第二是由某個(gè)數(shù)學(xué)家首次使用或發(fā)明。不管哪種渠道，在特定歷史時(shí)期，創(chuàng)作者都會受到社會文化背景、價(jià)值觀念、理想追求以及知識儲備水平等因素的影響。同時(shí)，語言在國際傳播的過程中，翻譯者也會對數(shù)學(xué)語言的解釋賦予個(gè)性化意義。因此，數(shù)學(xué)語言往往蘊(yùn)含著創(chuàng)作者的個(gè)性化意義，也反映著傳承者的某些個(gè)性心理特征，并具有一定的鮮明的文化背景。比如，歐拉認(rèn)為數(shù)學(xué)符號應(yīng)當(dāng)規(guī)則化、簡約化；萊布尼茲認(rèn)為優(yōu)良的數(shù)學(xué)符號能夠節(jié)省思維勞動，它是掌握數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。比如，微積分符號，它是牛頓、萊布尼茲、高斯等諸位數(shù)學(xué)家創(chuàng)作的。某些數(shù)學(xué)語言直接用數(shù)學(xué)家姓名命名或源于經(jīng)典歷史故事或事跡。例如，伯努利方程、辛欽大數(shù)定律、歐拉公式、貝葉斯定理、高斯分布等。如同無理數(shù)并非是沒有道理的數(shù)，虛數(shù)也并非為虛假的數(shù)那樣，它們都有著不同凡響的傳說。

（八）數(shù)學(xué)語言多樣性與特殊性。數(shù)學(xué)語言的語句語法有多種類型，不同類型的語言語句又有不同的結(jié)構(gòu)，比如文字型語言語句、符號型語言語句、圖形圖表型語言語句等。數(shù)學(xué)語言語句也有其特殊性。由于其自身特性，某些數(shù)學(xué)語句存在著獨(dú)特的規(guī)定性，比如數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)專業(yè)名詞或概念，聯(lián)結(jié)規(guī)則與自然語句是有所不同的，還有某些數(shù)學(xué)公式的表達(dá)形式，由不同詞性的語句組成，它往往有別于自然語言的語句形式。

三、數(shù)學(xué)語言的德育價(jià)值

第一，促進(jìn)思想文化的理解與傳承，任何一種思想文化或心智技能必須借助于外部語言方能得以傳承。數(shù)學(xué)語言表達(dá)與傳承數(shù)學(xué)思想、方法、規(guī)則，反映數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，比如分類討論思想方法的應(yīng)用研究。第二，促進(jìn)人類數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)揮。數(shù)學(xué)語言作為研究數(shù)學(xué)思維的工具，其本身是自然科學(xué)與社會科學(xué)相結(jié)合，以嚴(yán)密邏輯的數(shù)理符號為依托，以抽象概括的范式為準(zhǔn)則，以精確簡潔為特點(diǎn)的一種形式化語言。它不僅是數(shù)學(xué)本身的語言，也是其他學(xué)科不可或缺的研究工具，也代表各學(xué)科向數(shù)學(xué)化發(fā)展的一種趨勢。只有掌握數(shù)學(xué)語言規(guī)律與表達(dá)形式，才能徹底發(fā)揮數(shù)學(xué)思維的巨大功能，才有助于提升人的核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)語言蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)辯證思想，它以簡明圖形、規(guī)范符號、深刻公式、形式化語言風(fēng)格把客觀世界的辯證規(guī)律明確地予以表達(dá)。比如人與人距離關(guān)系的對立統(tǒng)一：人和人猶如數(shù)軸上那些有理數(shù)點(diǎn)，他們可以彼此挨得很近，但終究存在著隔閡。人類并不孤單，猶如數(shù)軸上存在著無限的有理數(shù)點(diǎn)，在其任意鄰域內(nèi)都能找到伙伴；但人卻又是異常寂寞的，亦猶如數(shù)軸上無理數(shù)點(diǎn)被標(biāo)出后，突然發(fā)現(xiàn)人的伙伴又都逐個(gè)消失了。求同存異的思想：哪怕兩個(gè)人是站在對立面，只要他們彼此的心還是連續(xù)的，那么他們總能找到一個(gè)雙方平衡點(diǎn)（零點(diǎn)存在性定理）。樂觀自信的心理品質(zhì)：人生的修為是可積的，雖然在人的一生中會存在若干個(gè)間斷點(diǎn)，但這并不影響它的積累（可積的充要條件）。數(shù)學(xué)語言具有豐富的德育功能，深入挖掘其德育因素，對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的世界觀和人生觀教育，培養(yǎng)其優(yōu)秀的心理品質(zhì)和理性思維習(xí)慣，提升其核心素養(yǎng)都有重要意義。這樣的教育才能真正具有活力與生命力，才能培養(yǎng)出更豐富、更和諧、更完整、更有力量的人。